(二)等比数列- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第三册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第三册 (二)等比数列 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1013，偶数项之和为2026，则这 个数列的公比为 A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.已知数列{an}为等比数列，其中a4,a12为方程x2十5x十4=0的两根，则ag= A.-2 B.2 C.±2 D.4 3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S4=15,则a5十a6= A.9 B.48 C.70 D.72 4.若数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项 与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是 A.20 B.180 C.20或180 D.-48 5.已知Sn是等比数列{am}的前n项和，且Sn=2m+1十a,则a1a2一a2a3十a3a4一…十 a9a10= A.8+221 B.-8+221 5 C.821 D.8+221 3 3 6.已知数列(a,为等比数列，a=102,公比q=号若T,是数列(a,的前n项积，则使 T,取得最大值的n为 A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值，又有最小 值的有 A.a1>0,0<q<1 B.a1>0,-1<q<0 C.a1<0,q=-1 D.a1<0,q<-1 数学（人教B版）选择性必修第三册第1页（共4页)】 衡水金卷·先享题 8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反 复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史 上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数=3，根据上述运算法则得出 3→10→5→16→8→4→21，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则 下列叙述正确的是 A.当m=12时，经过9步“雹程”变成1 B.当m=2(k∈N)时，经过k步“雹程”变成1 C.当m越大时，首次变成1需要的“雹程”数越大 D.若m需经过5步“雹程”首次变成1，则n所有可能的取值集合为{5,32} 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在正项等比数列{an}中，a1a1o十a5a=20,则lga1十lga2十…十lga1o= 10.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第 一年年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运 营资金，每年年底扣除当年的运营成本α万元（假设每年的运营成本相同），将剩余 资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万 元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据： 1.34=2.8561) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,2十a4=10,b2b4=a5. (1)求数列{am}的通项公式； (2)求b1十b3十b5十…十b2m-1. 高二同步周测卷二 数学（人教B版）选择性必修第三册第2页（共4页） 12.（本小题满分15分) 已知数列{an}的首项a1=1,且满足am+1=2am十1. (1)证明：数列{am十1}为等比数列，并求{am}的通项公式； 2(am+1) (2)设b。a一2)a2一2求数列6，}的前n项和S.: (3)设cn=(2n+1)(am+1),求数列{cm}的前n项和T. 数学（人教B版）选择性必修第三册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 对于数列{an},若{an十am+1}为等比数列，则称{an}具有性质P (1)若数列{am}具有性质P,且a1=a2=1,a3=3,求a5的值； (2)若bn=2”十（一1）”，判断并证明数列{bn}是否具有性质P; (3)设c1十c2十…十cn=n2十n,数列{dn}具有性质P,且d1=1,山一d2=c1,d2十 d3=c2,试求数列{dn}的通项公式 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷二 数学（人教B版）选择性必修第三册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第三册（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 题型 值 (主题内容) I ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 由等比数列奇偶项的 选择题 5 易 0.80 和求公比 等比数列性质与二次 选择题 5 / 易 0.72 方程的综合 选择题 5 等比数列的性质 名 0.65 等比数列与等差数列 4 选择题 综合 名 0.55 由等比数列前n项和 5 选择题 5 中 0.45 求通项 等比数列前n项积 6 选择题 / 问题 必 0.30 选择题 6 等比数列的最值问题 农 0.50 与等比数列有关的数 选择题 6 难 0.28 学文化题 等比数列与对数的 填空题 易 0.71 综合 10 填空题 5 等比数列的实际应用 / / 中 0.35 等差与等比数列的 11 解答题 13 / / 0.60 综合 中 等比数列的证明，裂项 12 解答题 15 相消法求和，错位相减 / / 中 0.45 法求和 与等比数列有关的新 13 解答题 20 难 0.28 定义题 ·63· ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 时a1为最大值，a2为最小值，B正确；a1<0,q=一1 1.C【解析】设该数列的公比为q,由题意可知S 时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， 2026,5=1013,所以g》=2故选C 所以等比数列{am}有最大值，也有最小值，C正确； a<0,g<-1时，因为|q>1,所以{an)的奇数项 2.A【解析】根据题意可得a4·a12=4,a4+a12=一5， 为负，无最小值，偶数项为正，无最大值，D错误.故 故可得a1<0,a12<0.根据等比数列的性质得a· 选BC. a12=a后=4，解得ag=±2，设{am}的公比为q,则 8.ABD【解析】当m=12时，12→6→3→10→5→16→ as=a4q<0,故ag=一2.故选A. 8→4→2→1共经过9步“雹程”变成1，故A正确；当 3.B【解析】由题意可得n∈N,设等比数列{am}的 m=2(k∈N*)时，20→>2-1→24-2→.→2--)→1 公比为g,可得=S、S=153-4,所以，十a: 经过k步“雹程”变成1，故B正确：当m=12时，经过 S2 3 9步“雹程”变成1，当m=16时，16→8→4→2→1，经 =q(a1十a2)=16×3=48.故选B. 过4步“雹程”变成1，故C错误；若m需经过5步“雹 4.C【解析】设前三项的公比为q,后三项的公差为d, 程”首次变成1，则有1←2←4←-8←16←一5或1←2←-4 则数列的各项依次为，080,80+d,80+2山于是 8。-16-32两种情况，故D正确.故选ABD. 三、填空题 80+(80+d)=136 9.5【解析】由题设知a1a1o=a2ag=a3a8=da,= 得 ,解方程组得 /9=2 80 =16或 a5a6,而a1a10十a5as=20,则a5a6=a1a1o=10,则 +(80+2d)=132 lga十lga2+…+lga1o=lg(a1a2…a1o)=lg10 =5. q3 ,所以这个数列是20,40,80,96,112，或 10.34.53【解析】记am为第n年年底扣除运营成本后 d=-64 直播平台的资金，由题意知an+1=1.3am一a,所以 180,120,80,16,一48，故其第1项为20或180.故 a,=600×1.3-a,a2=(600X1.3-a)×1.3-a= 选C. 600×1.32-1.3a-a,a8=(600×1.32-1.3a-a) 5.A【解析】由an=S。-Sa-1=2m+1+a-2a-a=2n ×1.3-a=600×1.33-1.3a-1.3a-a,以此类 (n≥2)，因为{an}为等比数列，a1=4十a,a2=4,所 推，an=600×1.3"-1.3-1a-…-1.3a-a=600 以2=，4=2，可得a=-2,a1=2,易知a1a2, a14十a 13”1-.3a所以a4=600X1.31-113 1-1.3a≥ 一a2a3,a3a,…,一asag,aga1o构成首项为8，公比为 1500,解得a≤34.53，即每年的运营成本应不高于 一4的等比数列，所以a1a2一a2a3十aga4一…一asag 34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除 +aao=8[1-(-4)]=8+22 5 .故选A 运营成本后资金不低于1500万元. 四、解答题 6.C【解析】因为数列{am}为等比数列，a1=102,公 11.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 比g=2,所以a.=102×(3）,所以T.=a·a 由题可得/a,-1 (2分) ag…an,当 an≥1 a2+a4=2a1+4d=10 la+1≤1 时，T。最大，即 解得/a1 d=2' (4分)》 102×(2) ≥1 ∴.an=a1+(n-1)d=2n-1. (6分) 102×(3)广≤1 ,解得n=7.故选C. (2)设等比数列{b}的公比为q, 由b2b4=b所=a5=9,b1=1, n∈N 得g=3, (8分) 二、选择题 7.BC【解析】a:>0,0<q<1时，等比数列{am}单调 ÷2-=30≥2 递减，故{am}只有最大值a1,没有最小值，A错误； .数列{21}是首项为1，公比为3的等比数列， a1>0,一1<q<0时，等比数列{an}为摆动数列，此 (10分) ·64 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第三册· 六b+6+6+…+baw-1=1X(1-3")-3”-1 又a4+a6=16,.a5=11. (4分) 1-3 2· (2)数列{bn》具有性质P. (5分) (13分) 证明如下： 12.解：(1)由a+1=2am十1，可得am+1十1=2(am+1), bn=2m+(-1)", (1分) ∴.bn+b+1=2十(-1)"+2+1+(-1)+1=3·2"， a1=1,则a1+1=2,对任意的n∈N”,an十1>0， (7分) 则十1=2. an十1 (2分) 则1十62=3·2+1 bn十b+13·20 =2 (8分) ∴数列{a十1}是首项为2，公比为2的等比数列， 即{b,十bn+1}为等比数列， (3分) .数列{bn}具有性质P. (10分) ∴.an=2m-1. (4分) (3):c十c2十…十cn=n2+,令n=1,则G=2, (2)由(1)知an=2-1, 令n=2,则G十c2=6,得2=4， (12分) 2+1 1 1 小b,=（2+1-3)(2*2-3)=2+1-32+2-3 .由ds一d2=c1,d2+d8=c2, 得ds-d2=2,d2十d3=4, (6分) ∴.d2=1,d2=3, 1 1 1 1 “S.=12-3十2-32-3+…+2*1-3 ∴.d1十d2=2,d2+d3=4, 数列{dn}具有性质P, 1 12+2-4 2+9-312+-322-3 (9分) ∴.{d.十d+1}为等比数列， (3),c。=(2+1)(am+1)=(2n+1)·2”,(10分) 设其公比为q,则q=2, ∴.Tm=3·2+5·22+7·23+…+(2n+1)·2m, 故dn十d+1=2,∴.dn+1十dn+2=2+1, 则2Tm=3·22+5·23+…+(2m-1)·2"+(2n+ ∴.d+2-dn=2, (14分) 1)·2+1, 当n为偶数时，dn=(d.-dn-2)十(d.-2-dn-4)+ 两式相减得一Tw=3·2+2·22+2·23+…+2· …+(d4-d2)+d2 2-(2n+1)·2+ =202+20-4+…+22+1=2”1 3； (16分) =6+8(1-2g）-(2m+1)·2+1 1-2 当n为奇数时，dn=(dn一dn2)+(d,-2一dn4)十 =-2-(2n-1)·2+1, (14分) …+(dg-d1)+d .Tn=(2n-1)·2+1+2. (15分) =2”-2十2”-‘十…十2十1 13.解：(1)由题意知数列{an}具有性质P, 2(2=1)+1=2”+1 3 3 (18分) 则{a,十a+1}为等比数列，设公比为q, 由a1=a2=1,ag=3,得a1十a2=2,a2十ag=4, 故4，=2+(-1)-1 3 ,n∈N*. (20分) .q=2, (2分) ∴.a3十a4=8,.a4=5, ·65