(六)计数原理、概率、统计综合(本册内容)- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(人教B版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (六)计数原理、概率、统计综合（本册内容） (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知随机变量X~N(100,o2),且P(X≥130)=0.15，则P(70<X<100)= A.0.15 B.0.35 C.0.70 D.0.79 2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的回归直线方程为y= 2x十a,样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)处的残差为 A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 3.现有编号均为1,2,3,4的4个小球和4个盒子，把4个小球随机放进4个盒子里，每 个盒子放1个小球，则恰好有2个小球与盒子的编号相同的概率为 A B司 c品 D.3 ·64 .已知随机变量X~B(3,P)(0<力<1)，且P(X=2)+4P(X=3)=8,若Y=2X+ 则E(Y)= A.1 B.3 C.4 D.6 5.北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明清皇宫及其收藏的基础上建立起 来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆.2025年北京故宫博 物院迎来建院100周年.用2025,100,2,0,2,5这6个数可以组成的不同的十一位数 的个数为 A.594 B.300 C.298 D.297 6.“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史 上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义.为弘扬中国优秀传统文化， 某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中 庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且每人选取的书均不相同，比赛 时有以下两种方案：方案一，这4位同学从这4本书中有放回地随机抽取1本并选择 其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为X;方案二，这4位同学从这4本书 中不放回地随机抽取1本并选择其中的内容诵读，记抽到自己准备的书的人数为 Y,则 A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) C.E(X)<E(Y),D(X)>D(Y) D.E(X)=E(Y),D(X)<D(Y) 数学（人教B版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了探究在某次数学测试中成绩优秀是否与性别有关，小华进行了深入的调查，并绘 制了如表所示的2×2列联表： 男 女 总计 优秀 m 27 70 不优秀 58 n 110 总计 a b 180 经计算得x≈1.315（附：P(x≥2.706）=0.1)，则下列结论正确的是 A.m=43 B.b=79 C.在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为“数学成绩优秀与性别有关” D.没有90%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关” 8.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分， 先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每球交 换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜，每局 11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球. 假设甲发球时甲得分的概率为号，乙发球时甲得分的概率为)，各球的比赛结果相互 独立，且各局的比赛结果也相互独立，则下列说法正确的是 A.若每局比赛甲获胜的概率均为号，则该场比赛甲以3：2获胜的概率为品 发球，则该局比赛打完前4个球甲得 C.若某局比赛甲先发球，双方比分为8：8，则该局比赛甲以1：9获胜的概率为号 D.若某局比赛目前比分为10：10，则该局比赛甲获胜的概率为号 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在(2x一1)(x一2)6的展开式中，x4的系数为 高二同步周测卷六 数学（人教B版）选择性必修第二册第2页（共4页）》 10.在陈塘关，哪吒发现仙童的仙术成绩x(类似数学成绩)、法定操控成绩y(类似物理 成绩)、灵符绘制成绩之（类似化学成绩）两两成正相关关系.哪吒随机抽取了55名仙 童并统计了其三项成绩，若仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为，法定操控成 绩y和灵符绘制成绩x的相关系数为三，则仙术成绩x和灵符绘制成绩：的相关系数的 最大值为 附：r /∑-z- 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 对于春节联欢晚会上表演的机器人团体舞蹈节目，某机构随机抽取了100名观众进 行问卷调查，得到了如下数据 喜欢机器人团体舞蹈节目 不喜欢机器人团体舞蹈节目 男性 40 10 女性 20 30 (1)能否有99.9%的把握认为性别与是否喜欢机器人团体舞蹈节目有关？ (2)从这100名观众中任选1名，记事件A为“选到的观众是男性”，事件B为“选到的观 众喜欢机器人团体舞蹈节目”，比较P(BA)和P(BA)的大小，并解释其意义， n (ad-bc)2 附：x=a+b+aa+c)h+Dn=a+b+c+d. a=P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12.(本小题满分15分) 某新能源汽车配件公司从2018年至2024年的利润情况如表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 利润y(单位：亿元) 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中数据，可以认为变量y与x线性相关， (1)计算y与x的相关系数，并判断y与x的线性相关程度；（结果精确到0.01） (2)求出y关于x的回归直线方程，并预测该新能源汽车配件公司2026年的利润； (3)把利润不超过4.5亿元的年份叫做“试销年”，从2020年至2024年这5年中任 选3年，X表示选到“试销年”的个数，求X的分布列和数学期望， 数学（人教B版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 参考数据： ∑(x,-)(-y)=14,∑(-y)2=7.08,∑(x-)2=28, √28×7.08≈14.08. 参考公式：对于一组数据(u1,1),(u2,2),…,(um,vm),相关系数r= ;回归直线u=十α的斜率和截距的最小二乘估计 (w,-u) (u-0) i=1 (u:-u)(O 公式分别为3= a=v-Bu. (u-)2 13.(本小题满分20分) 人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为AI,是新一轮科技革命和产业变革的 重要驱动力量.近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为A】手机）逐渐成为市 场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的 顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分Z(单位：分)制作了 如下的频数分布表 分组（单位：分） [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 10 15 20 30 15 10 (1)若该手机大卖场中某手机店经销A,B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比 为2，B品牌中A1手机占比为子，且A,B品牌手机的数量之比是2：1.现从该手机 店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； (2)为提升A】手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环 节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，每位 顾客抽中一、二等奖的概率分别为子，？，其余情况不获得奖金：②每位顾客允许连 续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI 手机的顾客所获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； (3)由频数分布表可以认为从该手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意 度评分Z近似地服从正态分布N(,σ)，其中：近似为样本平均数x,o近似为样本 的标准差s,且求得s≈14.31.现将满意度评分超过84.81分的定义为顾客对AI手 机“非常满意”，若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了A】手机，记这些顾客中 对AI手机“非常满意”的人数为Y,事件“Y=”的概率为P(Y=),求使P(Y=) 取最大值时k的值.（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 附：若随机变量Z~N(4,o2),则P(u一o≤Z≤u十o)≈0.683，P(u一2o≤Z≤μ十2o) ≈0.954，P(μ-3≤Z≤4+3o)≈0.997. 高二同步周测卷六 数学（人教B版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（六） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题号 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 值 (主题内容) V ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 由正态分布求概率 易 0.80 2 选择题 5 求样本的残差 易 0.72 古典概型与计数原理 3 选择题 5 易 0.70 的综合 二项分布与期望性质 选择题 5 的综合 分 0.55 选择题 5 排列组合 中 0.45 6 选择题 与期望、方差有关的数 0.35 学文化题 / 中 7 选择题 6 对独立性检验的理解 中 0.69 相互独立事件概率的 8 选择题 6 / 0.45 乘法公式 中 9 填空题 5 二项式定理 的 0.65 10 填空题 与相关系数有关的最 值问题 华 0.28 11 解答题 独立性检验与条件概 13 率的综合 L L 公 0.65 线性回归与超几何分 12 解答题 15 布的综合 L / 中 0.55 13 解答题 20 全概率公式、二项分 / / / / 0.35 布、正态分布的综合 ·55· ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 D(Y).故选D. 1.B【解析】由X~N(100,o2),得a=100,故P(70< 二、选择题 X<100)=0.5-P(X≥130)=0.5-0.15=0.35.故 7.ABD【解析】由2×2列联表得m=70-27=43, 选B. n=110一58=52，则b=27十n=79,故AB正确：因为 2.C【解析】依题意得6.5=2×3十a,则a=0.5,所以 x≈1.315<2.706，所以没有90%的把握认为“数学 回归直线方程为y=2x十0.5，当x=2.5时，y=2× 成绩优秀与性别有关”，故C错误，D正确.故 2.5十0.5=5.5，所以样本点(2.5,7)处的残差为7 选ABD. 5.5=1.5.故选C. 8.AC【解析】对于A,甲以3：2获胜的情况为前4局 3.A【解析】把4个小球随机放进4个盒子里，每个盒 子放1个小球的放法共有A种，恰好有2个小球与 甲胜2局，第5局甲胜，则概率为C×(号)× 盒子的编号相同的放法有C?种，所以恰好有2个小 (号)》×号-号，故A正确：对于B,打完前4个球 球与盒子的缩号相同的概率为P=景员=子，故 甲得3分的情况为甲发两球甲得2分，乙发两球甲得 选A 1分或甲发2球甲得1分，乙发两球甲得2分，则概率 4.C【解析】因为X~B(3,p)(0<p<1),且P(X=2) 为（号）'xC×2×是+C×号×3×（分）' +P(X=3)=名，所以C1-)+4C分=各， 号，故B结误：对于C,比分为8：8后由甲发球，甲以 7 即P+3p=8,因为f八p)=p+3p在(0.1D上单 11:9获胜的情况为4次发球，前3球甲胜2球，第4 调递增，且/（号）-名，所以b=号，则E(X)=3p 球甲鞋，则概率为（号）'×号×分+C×号×× =号，所以E(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1=2×号 (2)）=号，故C正确：对于D,设打成10：10后再打 十1=4.故选C. 2个球时甲的得分为X,则P(X=0)-之×号×司 5.D【解析】因为首位数字不能为0，所以从2025， 100,2,2,5这5个数中任选一个排在首位，有5种排 +2××=日，PX=D=×(×+号 法，剩余5个数进行全排列，有A种排法，又两个2 交换位置所得的十一位数相同，且2,0,2,5排列成的 ×)+×（×+×号）=x=2) 2025与2025相同，所以用2025,100,2,0,2,5组成 的不同的十一位数的个数为是-3=297，放选D 合×号×号+宁×合×号-号设该局比赛甲获 胜为事件B,则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)= 6.D【解析】由题可知方案一中这4位同学抽到自己 P(B),P(B|X=2)=1,由全概率公式得P(B)= 准备的书的概率均为子，则X~B(4,)∴E(X) P(X=0)P(B|X=0)+P(X=1)P(B|X=1)+ 4×=1,D(X)=4×子×(1-)=是.方案= P(X=2)P(BX=2)=吉×0+P(B)+子解得 中Y的可能取值为0,1,2,4，则P(Y=0)= PB)=号故D错误，故远AC A -8,Py-1)=CC=1 C+C(1+A)=9=3 三、填空题 A 31 9.一380【解析】(x-2)的展开式中含x的项为 P(Y=2)= 是=PY=)=六= Cx3(-2)3=-160x3,含x的项为Cx(-2)2= 60x,所以在(2x-1)(x-2)°的展开式中，x的系数 :E(Y)=0×是+1X号+2×子+4×7=1， 为-160×2-60=-380. DY)=0-1)×音+(1-1)×号+(2-1)× 10.15+7 24 【解析】设X=(x1,x2,…,xa),Y=（y1, 子+(4-1)Xa=1,E(X)=E(Y),D(X)< y,…,ym),Z=(之12…，2m),记X=(x1-x,x2 x,…,xn-x),Y'=(y-y,y2-y,…,yn-y),Z= ·56· 高二周测卷 ·数学（人教B版）选择性必修第二册· (一之，2一，…，m一乏)，由相关系数公式r= 又i=号×(1+2+…+6+7)=4， ∑(x-)y- 知r=cos(X', y=号×(2.9+3.3+…+5.2+5.9)=4.3， 所以a=y-8z=4.3-0.5×4=2.3, 所以y关于x的回归直线方程为y=0.5x十2.3， Y),设X与Y的夹角为aY与Z的夹角为B,因为 (7分) 仙术成绩x和法定操控成绩y的相关系数为号，法 当x=9时，y=0.5×9十2.3=6.8， 即预测该新能源汽车配件公司2026年的利润为 定操控成绩y和灵符绘制成绩：的相关系数为子， 6.8亿元. (9分) 所以c0sa=吾as日=子，由这两个夹角都是锐 (3)由题意知2020年至2024年这5年中的“试销 年”有2个， 角，得a<B,所以X′与Z的夹角的范围为[β-a,a十 所以X的可能取值为0,1,2， ],则X'与Z'夹角的余弦值的最大值为cos(B-a) 则P(X=0)=意-市 =c叶sin sin=号×是+√-需× P(X=1)= CC3 √一是=1占之匹，所以仙术成绩x和灵符绘 C5, 24 P(X=2)= 普-品 (12分) 制成绩x的相关系数的最大值为]5十√四 所以X的分布列为： 24 四、解答题 0 1 2 11.解：(1)由列联表中的数据计算得×2= 100×(40×30-10×20)=50 ≈16.667，(4分) 1 50×50×60×40 因为查表可得P(x≥10.828)-0.001，且16.667 则E(X)=0×品+1×号+2×品-号 3 (15分) >10.828, 所以有99,9%的把握认为性别与是否喜欢机器人 13.解：(1)记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件C1, 团体舞蹈节目有关。 (6分) “抽取到的手机是B品牌手机”为事件C2,“抽取到 (2)依题意得P(BA)=nAB)=40=4, 的手机是AI手机”为事件D, n(A)50 =5,(8分) P(B|A)-I(AB)=202 则P(C)=子.P(G)=}PDG)= n(A)505 (10分) P(DIC:)- 则P(BA)>P(B|A). (11分) 所以P(D)=P(C)P(D|C)+P(C2)P(D|C2) 意义：这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节 目的概率比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的概 (4分) 率大. (2)X的可能取值为0,300,600,900,1200， (或这100名观众中男性喜欢机器人团体舞蹈节目 的人数比女性喜欢机器人团体舞蹈节目的人数多，) Px=0)=(1--)广=6 (13分) 12.解：(1)由题得r= Px=00)=C×(1--2)×2- (x,-x)(y,-y） px=60o)=2×号+C××(1--)） √-) 14 14 √28X7.08 ≈14.08≈0.99， 所以变量y与x的线性相关性较强. (3分) PX=120)=×-, (9分) ∑(-x)(y:-) 所以X的分布列为 (2)由题得3 14 28 =0.5, (n-) (5分) ·57· ·数学（人教B版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 0 300 600 900 1200 记n=10000,p=0.1585, 则P(Y=k)=Cb(1-p)=(k=0,1,2,…, 1 P 1 3 10000). 16 8 16 由CpC1-p)≥Cp-11-p)1 则E(X)=0X 1 +300×- 1 +600X3 +900× 1 Cp(1-p)≥C+p+1(1-p)1' 16 4 +1200×六=60. (12分) 得 1-p (3)样本平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.2 n-kk+1 +75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,(13分) 即(n十1)p-1≤k≤(n十1)p, (18分) 随机选1名顾客，该顾客对A1手机“非常满意”的概 即10001p-1≤k≤10001p, 率为P(Z>84.81)=P(Z>十。)=- 1-Pr 即1584.1585≤k≤1585.1585，所以k=1585, 所以当k=1585时，P(Y=k)取得最大值.(20分) o≤Z≤4十c)]≈0.1585， 则Y~B(10000,0.1585), (15分) ·58·