(三)数列综合- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(人教A版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (三)数列综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.用数学归纳法证明：1+2十…十(2m十3)=(n十2)(2n十3)，在验证n=1成立时，左边 所得的代数式是 A.1 B.1+3+5 C.1+2+3+4 D.1+2+3+4+5 2.已知等差数列{an}的公差为3，若a1,a2,a4成等比数列，则a1十a2= A.-10 B.6 C.9 D.12 3.已知数列(a,}满足a,=2sin(受+晋，其前n项和为S,则S: A.√3-1 B.-1 C.3 D.2 4.19×2+17×+15×2十…+1×20 A18+品 B17十品 C18+易 D.17+是 5.已知函数f(x)满足f(x十1)-f(x)=2x-1,且f(0)=1,设数列{an}满足am= f(n),则数列{am}的前n项和的表达式为 A.n2-2n+2 B.n2-n+1 C.n(n-1)(2n-1) 6 D.n(n+1) 2 一n+1 6.设S.为如图所示的数阵中前行所有数之和，则满足S≤1000的n的最大值为 第1行1 第2行12 第3行1222 第n行1222…2m-1 A.6 B.7 C.8 D.9 数学（人教A版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7,州效学归纳法证明不等式十2+3十…十>的过程中，下列说达正 确的是 A.使不等式成立的第一个自然数no=1 B.使不等式成立的第一个自然数，=2 C,n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是(2十1)(2k+2 D.m=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是(2十2)(2k十3) 8.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大的数学家，用他名字定义的函数f(x)= [x]([x]表示不超过x的最大整数)称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为 s,且S=a,十)令么=5十则下列结论正确的有 A.an=n(n∈N*) B.Sn=n(n∈N*) C.[b1+b2+…+b3]=6 1+十… D.SS. 1>18 S1 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知数列{am}的前n项和为Sn,且an=（一1)”n,则S1= 10.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动 的民间艺术.已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为1的圆形纸片，记为⊙O, 在⊙O内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为⊙O,并裁去该正方形与 内切圆之间的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，·，重复上述裁剪操作 次，最终得到该剪纸，则第9次操作后，所有被裁部分的面积之和为 高二同步周测卷三 数学（人教A版）选择性必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 13.(本小题满分20分) 11.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sm,且a1=2,2Sn=(n十1)an,n∈N. 设数列{an}满足a1=3,且am+1=a元-(n十1)am十1(n∈N*). (1)求数列{am}的通项公式； (1)求a2,a3,a4,并由此猜想出(an}的一个通项公式； 令b=,2一，数列b,的前n项和为M,是否存在正整数m,n(2<m<n),使 (2)用数学归纳法证明你的猜想成立. 得M2,Mm,Mn成等差数列？若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由； ③》记6=E-1,证明：空号<3m∈N). 12.(本小题满分15分) 已知数列a的首项a=号，且清足a,2a行 3a (1)求证：数列上-1为等比数列： an (②)记数列日的前a项和为5 (i)求Sn; (iⅱ)求满足条件Sm>2026的最小整数n. 数学（人教A版）选择性必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷三 数学（人教A版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（三） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 知识点 题型 分 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 数学归纳法，验证初值 易 0.80 等差数列与等比数列 2 选择题 5 / 的综合 的 0.72 3 6 周期数列与三角函数 选择题 中 0.65 的综合 4 选择题 5 错位相减法求和 中 0.60 5 选择题 5 累加法求数列的通项 √ K 0.55 6 选择题 5 数阵问题 多 0.45 数学归纳法，确定n=k 选择题 至n=k十1时增加 / 邻 0.75 的项 与数列有关的数学文 选择题 6 0.28 化题 L 你 9 填空题 并项求和法求数列前n 0.55 项和 10 填空题 5 等比数列的实际应用 中 0.35 利用数学归纳法证明 11 解答题 13 / 0.65 命题 中 12 解答题 15 等比数列与不等式的 综合 分 0.60 13 解答题 20 裂项相消法求和 难 0.25 ·55· ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】当n=1时，2m+3=2×1十3=5，所以左 式相减得2十中2(24+2+万' 11 边为1+2+3十4+5.故选D. 所以n=k推导n=k十1时，不等式的左边增加的式 2.C【解析】：数列{am}是公差为3的等差数列，∴.a1= 1 a2一3，a4=a2十6，，a1,a2,a4成等比数列，.a号= 子是(2+1)(2h+2)故C正确，D错误，故选BC. a1a4,即a号=(a2-3)(a2十6)，解得a2=6,故a1十 8,BCD【解折】对于AB.:S=(a,十)∴当 a2=a2-3十a2=9.故选C. 1 3.A【解析】因为{am》是周期为4的周期数列，且 n≥2时25=S-S1+3-3>5-1=1… a1=3,a2=一1，ag=-V3,a=1,所以S=0,则 S2028=S×506+2=a1十a2=√3-1.故选A. 又5=号(a+)=aa>0.则a=1.数列 4D【解标】令S=19×号+17×是+15×安+…十 {S}是首项为1，公差为1的等差数列，.S号=n→ S.=n,an=√元一√-I,故A错，B对；对于C, 1×品则S=19×是+17×分+15×+…+1 -8+n+a号(a- ×六，两式相减得25=19×号-2（会十十…十 6十M+…+:=号(V丽+V府-巨-1) ）-1×品-号+品，所以s=17+品.故选D 号质+7-2)∈(6,7)[+6++be]= 5.C【解析】由题意可知a+1一an=2n一1，则am 6微C对：对于D:发-后>后 2 am-1=2n-3,…,a2一a1=1,累加可得ar一a1=2n 3+…+1=2m-3+1)xm-1=(m-1)2,且 2 2(v中I-m.∴写+++5>2[2- f(1)-f(0)=-1=a1一1，即a1=0,满足上式，所 以an=(n一1)2，所以{am}的前n项和的表达式为 +(5-√2)+…+（√10I-100)]=2(√10I- 1)>18,故D对.故选BCD. 乃a:=nm-2n-D.故选C 三、填空题 6 6.C【解析】图中第n行各数依次构成首项为1，公比 9.一11【解析】根据题意得S2:=a1十a2+…十a2r= 为2的等比数列，其所有数之和为二号=2”-1.则 -1+(2-3)+(4-5)+(6-7)+…+ (20-21)=-11. 数阵中前n行所有数之和Sn=(2一1)十(22一1)+ 10.2044一511x【解析】设⊙0，的半径为R.,易知 (23-1)十…+(2-1)=(2十22+23+…十2")-n 512 2(1-2°）-n=2*1-n-2,由5.≤1000，可得 1-2 O0,的半径为号R,即R1=号R所 R,-② 2"+1-n-2≤1000，即2+1-n-1002≤0，当n=9 时，210-9-1002=13>0，Sn≤1000不成立：当n= 以(R)是以R,=号为首项，号为公比的等比数 8时，2”-8-1002=-498<0，S。≤1000成立.所以 满足Sn≤1000的n的最大值为8.故选C 列，故=R(修)-(）-（号），得到 二、选择题 70【解析】当1=1时，可得)<号，当0=2时，可 ⊙0，的面积为S,=R=x(分)厂=票，又第n次 得号十子培>界即使不等式成立的第一个自然 裁剪操作的正方形边长为2R.=(3)产，故第n 数=2，故A错误，B正确：当n=k时，可得左边= 次裁剪操作裁掉的面积为(2R,)2一Sn= 市十2十中十十中当a=十1时：可得 111 ())委=点=，所以第 左边=中2+十…+6中+欢中十欢十2两 1 1 次栽剪操作后，栽掉的面积之和为(4一x)(号+员 ·56· 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 13.解：(1)因为2Sn=(n+1)am,n∈N*, 十…十 ）=(4-) [-(号)》门 所以当n≥2时，2Sm-1=na-1, 1-2 两式相减得2a,=(n十1)a,一na,1,即=，” an-1 n-1 (4-x)(1一2)所以第9次操作后，所有被裁部 累乘得a.=×X…×号Xa1=× ag-14m-艺 分的面积之和为(4一元)(1-) 2044-511x 512 四、解答题 经检验a1=2也符合上式，所以an=2. (4分) 11.解：(1)由a1=3,得a2=a-2a1+1=4, (1分) 由a2=4,得a3=a号-3a2+1=5, (2分) (2)因为名：所以6，=2mX2m十) 由a3=5,得a4=a号-4a十1=6， (3分) 1 由此猜想{an}的一个通项公式：an=n十2. (6分) 2m(n+1)= ) (2)用数学归纳法证明： 所以M=[(-)+（-）+…+ ①当n=1时，a1=3满足am=n十2，命题成立： (8分) (日点)]=-克) (7分) ②假设当n=k(k∈N*)时命题成立，即a=k十2， 假设存在正整数m,n(2<m<n),使得M2,Mm,Mn (9分) 成等差数列，则M十Mn=2Mm, 则当n=k+1时，a+i=a一(k十1)ae十1= m+3+n十有即m=5-18 即2 =1+1 (k+2)2-(k+1)(k+2)十1=k+3=(k+1)十2， n十4 (9分) 命题仍然成立， (12分) 显然n十4是18的正约数， 由①和②可知am=n十2对Hn∈N‘都成立.(13分) 又因为n>m>2, 12.解：(1)由题意，数列(a.}满足aH一2a,十' 3a 所以n+4>6, 所以n十4=9或18， 可得六-甘士+号 当n十4=9，即n=5时，m=3; 当n+4=18,即n=14时，m=4. 所以存在正整数，n(2<m<n),使得M2,M,Mn 3 an 成等差数列， 又a,=所以-1号0 此时m=3,n=5或m=4,n=14. (12分) (3)由题意知，cn=2”-1, (13分) 所以一 当=1时，号-2心3，不等武成立 (14分) 当2时，因为号”<石-可 所以数列{日-1是首项为号，公比为宁的等比数 2"-1 ,(16分) (7分) 21)由)可得d-1=号×（兮）=2· 所以立<2+(2十 (号)广所以品=2（号）广+1. 7++27)=24(1-) =3- 2"-1 (18分) a3 =2(兮+京+安++)n 因为2”-1>0，所以2>0,3-2<3， [-()] 所以a≥2时公 <3. 1 +n=n+1 (11分) （1)若S>2026,即m+1- >2026. 因为函数y=x十1一3为单调递增函数， 所以满足S,>2026的最小整数n的值为2026. (15分) ·57·