(二)等比数列- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(人教A版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (二)等比数列 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1013，偶数项之和为2026，则这 个数列的公比为 A.-4 B.-2 C.2 D.4 2.已知数列{an}为等比数列，其中a4,a12为方程x2十5x十4=0的两根，则ag= A.-2 B.2 C.±2 D.4 3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=3,S4=15,则a5十a6= A.9 B.48 C.70 D.72 4.若数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项 与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，则这个数列的第1项是 A.20 B.180 C.20或180 D.-48 5.已知Sn是等比数列{am}的前n项和，且Sn=2m+1十a,则a1a2一a2a3十a3a4一…十 a9a10= A.8+221 B.-8+221 5 C.821 D.8+221 3 3 6.已知数列(a,为等比数列，a=102,公比q=号若T,是数列(a,的前n项积，则使 T,取得最大值的n为 A.5 B.6 C.7 D.8 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q,下列条件能使{an}既有最大值，又有最小 值的有 A.a1>0,0<q<1 B.a1>0,-1<q<0 C.a1<0,q=-1 D.a1<0,q<-1 数学（人教A版）选择性必修第二册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反 复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史 上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数=3，根据上述运算法则得出 3→10→5→16→8→4→21，共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则 下列叙述正确的是 A.当m=12时，经过9步“雹程”变成1 B.当m=2(k∈N)时，经过k步“雹程”变成1 C.当m越大时，首次变成1需要的“雹程”数越大 D.若m需经过5步“雹程”首次变成1，则n所有可能的取值集合为{5,32} 班级 姓名 分数 题号 1 2 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在正项等比数列{an}中，a1a1o十a5a=20,则lga1十lga2十…十lga1o= 10.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第 一年年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运 营资金，每年年底扣除当年的运营成本α万元（假设每年的运营成本相同），将剩余 资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万 元，则每年的运营成本应不高于 万元.（结果精确到0.01万元，参考数据： 1.34=2.8561) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,2十a4=10,b2b4=a5. (1)求数列{am}的通项公式； (2)求b1十b3十b5十…十b2m-1. 高二同步周测卷二 数学（人教A版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.（本小题满分15分) 已知数列{an}的首项a1=1,且满足am+1=2am十1. (1)证明：数列{am十1}为等比数列，并求{am}的通项公式； 2(am+1) (2)设6。=(a一2)(a,-2求数列6.}的前n项和S.； (3)设cn=(2n+1)(am+1),求数列{cm}的前n项和Tn. 数学（人教A版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 对于数列{an},若{an十am+1}为等比数列，则称{an}具有性质P (1)若数列{am}具有性质P,且a1=a2=1,a3=3,求a5的值； (2)若bn=2”十（一1）”，判断并证明数列{bn}是否具有性质P; (3)设c1十c2十…十cn=n2十n,数列{dn}具有性质P,且d1=1,山一d2=c1,d2十 d3=c2,试求数列{dn}的通项公式 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷二 数学（人教A版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 分 知识点 题型 值 (主题内容) ① ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 选择题 5 由等比数列奇偶项的 和求公比 多 0.80 等比数列性质与二次 2 选择题 5 方程的综合 多 0.72 3 选择题 5 等比数列的性质 中 0.65 选择题 等比数列与等差数列 4 综合 分 0.55 心 由等比数列前n项和 选择题 求通项 必 0.45 6 选择题 等比数列前n项积 / 中 0.30 问题 7 选择题 6 等比数列的最值问题 / 中 0.50 与等比数列有关的数 8 选择题 6 / 难 0.28 学文化题 9 等比数列与对数的 填空题 易 0.71 综合 10 填空题 5 等比数列的实际应用 √ 竹 0.35 等差与等比数列的 11 解答题 13 0.60 综合 等比数列的证明，裂项 12 解答题 15 相消法求和，错位相减 L √ 中 0.45 法求和 与等比数列有关的新 13 解答题 20 / 难 0.28 定义题 ·51· ·数学（人教A版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 所以等比数列{an}有最大值，也有最小值，C正确： 1.C【解析】设该数列的公比为q,由题意可知S馔= a1<0,q<-1时，因为g|>1,所以{an}的奇数项 为负，无最小值，偶数项为正，无最大值，D错误.故 2026,S奇=1013，所以g==2.故选C, 选BC. 2.A【解析】根据题意可得a4·a12=4,a1十a12=一5， 8.ABD【解析】当m=12时，12→6→3→10→5→16→ 故可得a,<0,a2<0.根据等比数列的性质得a,· 8→4→21共经过9步“雹程”变成1，故A正确；当 a12=a=4,解得ag=士2，设{am}的公比为q,则 m=2(k∈N)时，2>2-1→2-2→…→2--山→1 as=a4q<0,故ag=-2.故选A. 经过步“雹程”变成1，故B正确；当m=12时，经过 3.B【解析】由题意可得n∈N,设等比数列{a,}的 9步“雹程”变成1，当m=16时，16→84→21，经 公比为g,可得g=S、S=15,3=4,所以a:十a 过4步“雹程”变成1，故C错误；若m需经过5步“雹 S2 3 程”首次变成1，则有1-2←4-8←16-5或1-24 =g(a1+a2)=16×3=48.故选B. -816-32两种情况，故D正确.故选ABD. 4.C【解析】设前三项的公比为q,后三项的公差为d, 三、填空题 则数列的各项依次为80,80,80,80+d,80+2d,于是 9.5【解析】由题设知aa0=agag=aas=a4a, q’9 a5a6,而a1ao十a5a6=20,则aa6=a1a1o=10,则 (80+(80+d)=136 lga1十lga2+…+lga1o=lg(a1a2…ao)=lg10 得 解方程组得 9=2 80+(80+2d)=132 d-16'或 =5. 10.34.53【解析】记a,为第n年年底扣除运营成本后 直播平台的资金，由题意知an+1=1.3am一a,所以 14-3 ,所以这个数列是20,40,80,96,112，或 a1=600×1.3-a,a2=(600×1.3-a)×1.3-a= d=-64 600×1.32-1.3a-a,a3=(600×1.32-1.3a-a) 180,120,80,16,-48,故其第1项为20或180.故 ×1.3-a=600×1.33-1.3a-1.3a-a,以此类 选C. 推，am=600×1.3"-1.3m-a-…-1.3a-a=600× 5.A【解析】由an=Sw-Sm-1=2+1+a-2"-a=2" 1.3-1-1.3 ,所以a=600X1.3-3≥ (n≥2)，因为{am}为等比数列，a1=4十a,a2=4,所 1500,解得a≤34.53，即每年的运营成本应不高于 4 -=2,可得a=一2，a1=2,易知a1a2, 34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除 一a2a3,a3a,,一agag,aa1o构成首项为8，公比为 运营成本后资金不低于1500万元. 一4的等比数列，所以a1a2一a2ag十a3a4一…一a8ag 四、解答题 +aa6=81-(-4)]-8+2 11.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, 5 5 .故选A (2分) 6.C【解析】因为数列{a}为等比数列，a1=102,公 由题可得/a=1 a2+a4=2a1+4d=10 比g=,所以a.=102×(分) ,所以Tn=a1·a2 解得a1=1 Ad=2' (4分) an,当 am≥1 an=a1+(n-1)d=2n-1. (6分) lan+1≤1 时，T。最大，即 (2)设等比数列{b.}的公比为q, 102× () ≥1 由b2b=b所g=a5=9,b1=1, 得g=3, (8分) 102×(3）)≤1 ,解得n=7.故选C. 会=-3n2 n∈N 数列{b21}是首项为1，公比为3的等比数列， 二、选择题 (10分) 7.BC【解析】a>0,0<q<1时，等比数列{an}单调 递减，故{am}只有最大值a1,没有最小值，A错误； 六b+6十h+…+b,1=1X(1-3)=3”-1 1-3 2· a1>0,一1<q<0时，等比数列{am}为摆动数列，此 (13分) 时a1为最大值，a2为最小值，B正确：a1<0,q=一1 12.解：(1)由a+1=2am十1，可得am+1+1=2(am+1), 时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零， (1分) ·52· 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第二册· a1=1,则a1+1=2,对任意的n∈N*,an十1>0， 证明如下： 则十士=2， (2分) bn=2m+(-1)", a,+1 ∴.b。+b+1=2+(-1)”十2+1+(-1)+1=3·2”， .数列{a十1}是首项为2，公比为2的等比数列， (7分) (3分) .an=20-1. (4分) 则-2 3·2m=2, (8分) (2)由(1)知an=2-1, 即{bn十bn+1}为等比数列， 2m+1 1 1 六b,=(2-3)(2*2-3)=21-3 数列{b}具有性质P. (10分) 2+2-3' (3),c1+c2十…十cw=n2十，令n=1,则c1=2, (6分) 令n=2,则c1十c2=6,得c2=4, (12分) 5.=1-23十223+…+2-8 1 1 1 .由d一d2=c,d2十d=c2,得d-d=2,d2十d =4,.d2=1,d3=3, 1 12”+?-4 2*2-3-12+2-3-2*2-3 (9分) d1+d2=2,d2+d=4, :数列{dn}具有性质P,∴.{d十d+}为等比 (3),cm=(21+1)(am+1)=(2n+1)·2",(10分) 数列， .Tw=3·2+5·22+7·23+…+(2n+1)·2, 设其公比为q’,则q=2, 则2T。=3·22+5·21+…+(2m-1)·2”+(2n十 故d。十dn+1=2”,∴.dn+1十dnr+2=2m+1, 1)·2+1, ∴.dn+2-dn=2", (14分) 两式相减得-Tm=3·21十2·22十2·23十…+2· 当n为偶数时，dn=(dn-dn-2)十(dn-2-d-4)十 2”-(2n+1)·2"1 …+(d,-d2)+d2 =6+8(1-29)-(2m+1D·2+1=-2-(2m-1) 1-2 =202+24+…+2+1=2"1g ·2+1, 3； (16分) (14分) .Tm=(21-1)·2+1+2. (15分) 当n为奇数时，dn=(dn一dn-2)+(dn-2一dn-4)十 …+(da-d)+d 13.解：(1)由题意知数列{a.}具有性质P,则{am十 an+1}为等比数列，设公比为q, =2-9+2-4+…+21+1=2(2-1)+1= 3 由a1=a2=1,a3=3,得a1十a2=2,a2十a3=4, 2"+1 .q=2, (2分) (18分) 3 .aa十a4=8,.a1=5, 又a4+a5=16,.a5=11. (4分) 故4，=2”+(-1)- -,n∈N". (20分) 3 (2)数列{bn}具有性质P. (5分) ·53