(一)数列的概念及其函数特性、等差数列- 【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学选择性必修第二册同步周测卷(北师大版)  

高二同步周测卷/数学选择性必修第二册 (一)数列的概念及其函数特性、等差数列 （考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.在等差数列{an}中，a3十a5十a2=18,则a1十ag= A.12 B.10 C.8 D.6 2.已知数列0，lg2,1g3,lg4,…,根据该数列的规律，该数列中小于1的项有 A.8项 B.9项 C.10项 D.11项 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若ag>0,a6十a11<0,则Sn取得最小值时n的 值为 A.6 B.7 C.8 D.9 4等差效列a小，6的前n顶利分别为S工，且S十工-别十a∈N),则8 T A号 B是 c贵 33 D. (3-a)x-3,x≤7 5.已知函数f(x) ,若数列{am}满足an=f(n),n∈N“,且{am}是 a-6, x>7 递增数列，则实数a的取值范围是 A) C.(1,3) D.(2,3) 6.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新 方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原 六十周岁延迟至六十三周岁，男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示： 出生时间 1965年1月-4月1965年5月-8月1965年9月-12月1966年1月-4月 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为 A.62岁3个月 B.62岁5个月 C.62岁8个月 D.63岁 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列四个选项中，正确的是 A.数列的项可以相等 B.数列10,9,8,7可表示为{10,9,8,7} C数列号是，名…的-个通项公式是a,a∈N) D数列哈，言云EN)是递减数列 1 数学（北师大版）选择性必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 8.数列1,1,2,3,5,8,13…是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在他写的《算盘全数》 中提出的，所以它常被称作斐波那契数列.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三 个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和.记斐波那契数列为{an},其前n项和 为Sn,则 A.a8=21 B.a2o2s是偶数 C.a1+a2+a4十a6十…十a2024=a2026 D.af十a2+a3+…+a3o25=a2025a2026 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.在数列{an}中，a1=1,an-an-1=2n(n≥2，n∈N),则ag8= 10.设数列{an}满足am+1十an=6n十3，且au+1>a,则a1的取值范围为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知数列{a,}的首项为a1=2,且满足a+1一 an 4an+1,n∈N*. (1)求证： 为等差数列，并求出数列{an}的通项公式； an (2)请从①bn ;②bn=4am·a+1,这两个条件中选择一个，求数列 1 N2an+1 {bn}的前n项和Tm. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分， 高二同步周测卷一 数学（北师大版）选择性必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知数列{a,的通项公式是a,-兰 3n+i(n∈N*). (1)判断是不是数列{a,)中的项； (2)判断数列{an}的增减性并证明； (3)试判断在区间（日，号）内是否有数列(a中的项，若有，是第几项？ 明理由. 数学（北师大版）选择性必修第二册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 设{am}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,且u一a号=a一a,S,=7. (1)求a和Sn; (2)求{an}的前n项和Tm; (3)试求所有使得amam+1为数列{an}中的项的正整数m的值. 0m+2 若没有，请说 衡水金卷·先享题·高二同步周测卷一 数学（北师大版）选择性必修第二册第4页（共4页）高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（一） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力 Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V.数据处理能力 I,应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 等差数列的性质 易 0.80 确定符合条件的数列 2 选择题 5 项数 的 0.72 3 选择题 等差数列前n项和的 L 中 0.65 最值 由两个等差数列前n 4 选择题 5 项和之比求特定项 / 中 0.60 之比 利用数列的增减性 5 选择题 6 / 0.55 求参 分 6 选择题 5 等差数列的实际应用 L 0.45 选择题 6 数列的概念 J 易 0.75 与数列有关的数学文 选择题 化题 L L 你 0.28 9 填空题 5 累加法求数列的项 √ 中 0.55 隔项成等差的数列 10 填空题 5 中 0.35 问题 基本量法求等差数列 11 解答题 13 的通项，裂项相消法 / 中 0.65 求和 12 解答题 15 数列增减性的证明，确 中 0.60 定数列中的项 等差数列的通项及前n 13 解答题 20 项和，数列各项绝对值 / 中 0.38 的和 ·65· ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 按照奇数、奇数、偶数这三个一组循环排列的，而 1.A【解析】在等差数列中，a3十a十a,=3a:=18,解 2028=3×676,可得a22s是偶数，故B正确；a1十a。 得a5=6.由于a1十ag=2a6,所以a1十ag=12.故 十a4+a6+…+a2024=a3+a4十u6十…十a2o24=a5十 选A. a6十a8十…十a2o21=a7十a8+…十a2o24=…=a20s 2.B【解析】根据规律可得该数列的通项公式为am= 十a224=a225,故C错误；a1十a3十a号十…十a225= lgn,由lgn<1,得n<10.:n∈N,∴.该数列中小于 a1a2十ai十a3+…+aio2s=a2(a1十a2)+a+…十 1的项有9项故选B. a吃o25=a2ag十a3十…十ai25=…=a2024a2025+ai25 3.C【解析】设数列{an}的公差为d,由已知数列 =a202s(a224十a2o25)=a2o25a2026,故D正确.故 {an}为等差数列，则a6十a1=aa十ag<0,又ag>0, 选ABD 所以ag<0,所以d=ag一ag>0,数列{an}为递增数 三、填空题 列，则当n≤8时，an<0,当n≥9时，an>0,所以当n= 9.9701 【解析】在数列{an}中，a1=1,aw一a,1=2n 8时，S。取得最小值.故选C (n≥2，n∈N),所以a2-a=4,a3-a2=6,…,ag8 4心【解折】由是-得子-号发 3n+2'bs a7=196,累加得as-a=4十6+…十196= 9(a1十ag) (4+196)×97=9700,所以a8=9701. 2 2a5=a1十a 2 2×9+321 205 61+69 9(b1+b) Ta 3×9+2-29 .故 1c.(号，号）【解析】a+1十a,=6m+3,则a十a 2 选C =6(n十1)十3，两式相减得am+2一an=6,所以数列 5.D【解析】由题意可知分段函数在每一段上为增函 {a.}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为 3-a>0 6,所以am+1>am等价于a1<a2a3,又a1十a2=9, 数，且f(8)>f(7),即a>1 ,解得 a2=9-a1,ag=a1+6,所以a1<9-a1<a1十6，解 a8-6>(3-a)X7-3 得号<a<号，故a的取值范围为（号号） 2<a<3,故实数a的取值范围是(2,3).故选D. 四、解答题 6.C【解析】设7月出生的男职工退休年龄为{an}, a 1 则1965年7月出生的男职工退休年龄为a1=60 11.解：1因为a+1一4a十且a=之可知a,≠0， 可得1=4a,+1=4+1 (2分) 岁，1966年7月出生的男职工退休年龄为a2=60 +1 an +岁，则(0，是首项为60石公差为子的等差数 即1-1=4， (3分) an+1 an 列，所以1975年7月出生的男职工退休年龄为a1 可知数列（山}是首项为品=2，公差为4的等差数 1 60G十(11-1)×=62号岁.故1975年7月出 列， (4分) 生的男职工退休年龄为62岁8个月.故选C 可得1=2+4(n-1)=4n-2, (5分) 二、选择题 7.AD【解析】对于A,对于常数列，所有项都相等，A 所以am=4n-2 (6分) 正确；对于B,数列10,9,8,7数字有序，但集合 (2)若选①：bn= 1 《10,98,7)中的元素无序，B错误；对于C.数列号， /1 /1 是，亭吾…的一个通项公武是= n十2 1 2m+-2n-,(9分) 2-1+/2+1 2 (m∈N),C错误：对于D,显然数列通项公式为动， 则T=h+h十++6，=号5-1+5-尽 其随n的增大而变小，为递减数列，D正确.故选AD, 8.ABD【解析】依题意可得a1=1,a2=1,aa=2,a4 +√7-W5+…+√2n+I-√2-I)= 3,a5=5,a6=8,a7=13,ag=21,ag=34,…,可得A √2n+I-1 正确；由上述计算，观察分析发现，这个数列的数字是 2 (13分) ·66- 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第二册· 1 若选②：b,=4am·a+1=(2n-1)(2n十1) 由d≠0，得a4+a3=0,即2a1+5d=0,① () 由s=1.得7a+7d=1,即a+3d=1,@ (9分) 联立①②可得a1=-5,d=2, 所以工=么+6+么+…+6=(1-号+司 .am=-5+2(n-1)=2n-7, (5分) S,=-5n+nn2D×2=m-6n (6分) 1 2 2n-1- 2n+1) (2)由an=2n-7,得n≤3时，an<0,n>3时，au>0. 1-+)- (13分) 当n≤3时，Tm=-Sn=-n2+6, (9分) 当n>3时，Tm=-S+(Sn-S)=Sn-2S= 12,解：1令测号合解得a=号 (n2-6n)-2×(-9)=n2-6n+18, -n2+6n(n3) :不是正落数∴骨不是数列a中的项.6分) ∴.T。={ n2-6n+18(n>3) (12分) 3m-2-3m+13-1-3m (2)由题可得a,=3n+i3n+寸 3 (3)由1)得，a=a=山=2m-7)(2m-5)，,13分) am+2 2m-3 3 3 9 设2m-3=t, 故a+1-a,=3n十3n+4(3m+1)(3n+4)' 则aam型=1-4)，i-2)=t+ n∈N*,∴.3n十1>0,3m+4>0,即a+1-am>0, 4m+2 t 6: t .数列{an}是递增数列. (10分) :a,=2n-7为整数，要使aam中为整数，则t为 8冷甘a<号相时<0号 am+2 8的约数， +8 由2m-3=t得t为奇数，.t=士1. (15分) (13分) 当t=1时，m=2,20=1+8-6=3, a 解得名<a<号 由2n-7=3得n=5,此时aaa是数列{an}中的 又n∈N,.n=2, am+2 在区间（合·号）内有且仅有一个数列a,中的 第5项. (17分) 当1=-1时，m=1,aa=-1-8-6=-15, 项，它是第2项，且=兰 (15分) 由2n-7=-15得n=-4,此时0a中不是数列 13.解：(1)设等差数列{am}的公差为d, am+2 {am}中的项. (19分) ,'a一a号=a一a3, .(a2-as)(a2十a5)=(a-a3)(a:十a3), 综上，m=2. (20分) 由等差数列的性质得-3d(a,十aa)=d(a十a), (3分) ·67·