专题3 不等式的概念、性质与解法（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的概念、性质与解法 【复习目标】 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围 4.能够解简单的一元一次不等式（组）并用区间表示 5.能够利用基本不等式比较大小及求最值 一、知识清单 1. 等式的性质 性质1对称性：如果，那么___； 性质2传递性：如果，，那么____； 性质3加减性：如果，那么___； 性质4同乘性：如果，那么____； 性质5 同除性：如果，，那么____； 2. 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： （1）作差法 ； ； （2）作商法 若，则 ； ； 3. 不等式的基本性质： ①对称性： (双向性) ②传递性： c ；(单向性) ③可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性) ④a>b，c>d⇒ (单向性) ⑤可乘性： (单向性) a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性) ⑥a>b>0，c>d>0⇒ (单向性) ⑦乘方法则： （）(单向性) ⑧开方法则：a>b>0⇒ (nN，n≥2)．(单向性) 注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号. 4. 区间及有关概念 （1）一般区间表示设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 5.解一元一次不等式 一元一次不等式通过去分母、去括号、移项、合并同类项均可转化为ax＞b或ax<b的形式．讨论ax>b的解集(类似地可讨论ax<b的解集)： (1) 当a>0时，解集是 ． (2) 当a<0时，解集是 ． (3)当a＝0，b≥0时，解集是 ；当a＝0，b<0时，解集是 　． 6.一元一次不等式组(不妨设b＞a) (1)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图① (2)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图② (3)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图③ (4)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图④. 7.基本不等式 1．基本不等式 (1)若a，b∈R，则(当且仅当 　时等号成立). (2)若a，b∈　 ，则(当且仅当 时等号成立).注：常称为“均值定理”． （3）基本不等式的变式 若，则ab≤ (当且仅当 　时等号成立). 二、考点清单 考点1 等式与不等式的基本性质 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试（一模）已知，且，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的基本性质及赋值法逐项判断即可得解. 【详解】令，满足， 则此时，，故错误； ，此时，故错误； ，此时，故错误； 因为，所以，故正确， 故选：. 【点拔】由已知条件判断不等式是否成立时，利用赋值法（特殊值）可以快速解题。 【即时训练】 1.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校一模）已知，下列不等式中一定成立是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用特殊值法和不等式的性质由作差法即可判断. 【详解】对于A选项，因为，不妨取，，则，故A选项错误； 对于B选项，不妨取，则，故B选项错误； 对于C选项，因为，不妨取，，则，故C选项错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 即，故D选项正确. 故选：D. 2.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）已知，，，且，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断指数函数的单调性 【分析】根据赋值法，不等式的性质和指数函数的单调性即可解得. 【详解】选项A：当时，此时，但，错误. 选项B：当时，此时，但，错误. 选项C：，则，，错误. 选项D：指数函数在上单调递增，则时，必有，正确. 故选：D 3.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 4.已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【详解】，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 考点2 实数比较大小 【典例2】（2025届浙江省职教高考三模）已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据题意，利用作差法，即可判断求解. 【详解】因为， 所以， 即. 故选：B． 【点拔】考生要掌握作差法比较两个数的大小，本题也可以利用特殊值法比较大小。 【即时训练】 5.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）设x是任意的实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】两个式子作差，将差值的大小与0的大小进行比较得出大小关系. 【详解】作差得． 故选：B． 6.（2024届浙江省杭州市余杭区高职学校一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特殊取值法比较大小. 【详解】由题意得令. 故,, 故. 故选:D. 7.若，则和的大小关系为__________. 【答案】 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质及作差法即可求解. 【详解】解:因为,所以 所以 所以 故答案为: 8.用“”与“”号填空：设，则________ 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】运用作差法比较大小即可. 【详解】 ，因为， 所以， 所以， 故答案为： . 考点3 区间的表示与运算 【典例3】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三二模））集合或用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据区间的定义可知选项正确. 【详解】根据区间的定义可知选项正确. 故选：. 【即时训练】 9.（2023届浙江省高职提前招（面向中职）一模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】区间的关系与运算 【分析】根据集合并集运算结合区间表示即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 10.（2023届浙江省宁波市高三高职复习二模）为了缓解交通压力，我们会测试某一时间段的车流量．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，若某天某段十字路口的车流量（单位：辆/分钟）与时间t（单位：分钟）的函数关系式为，，则下列哪个时间段内车流量是增加的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】区间的定义与表示、求sinx的函数的单调性 【分析】根据正弦函数的单调性列出不等式即可得解. 【详解】因为，， 根据题意可知令，解得， 又因为， 时，递增区间为；时，递增区间为， 不完全在区间内，A错误， 不完全在区间和区间内，B错误， ，C正确， 不完全在区间内，D错误， 故选：. 11.不等式可用区间表示为_____________ 【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】用区间表示法表示出来即可. 【详解】不等式可用区间表示为. 故答案为：. 12.如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是________.    【答案】 【知识点】区间的定义与表示 【分析】根据阴影区域表示的不等式进行区间表示. 【详解】由阴影区域可知表示的不等式为，因此所对应的区间为. 故答案为：. 考点4 利用不等式性质求范围 【典例4】（2023届浙江省宁波市二模）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式的性质求值或范围、区间的定义与表示 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】因为，则， 又，则， 所以的范围为， 故选：. 【点拔】求不等式的范围问题一般利用不等式的基本性质如可加减性，可乘性，尤其注意（因数） 【即时即练】 13.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试一模）若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质求解. 【详解】∵，不等式同时乘以，得到. 而，根据不等式的同向可加性，得到. 又∵，不等式两边同时加上，得到. 故得到， 故选：C. 14.（2025届浙江省丽水、简州、湖州市中职学校高三质量检测）已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用不等式的性质判断各个选项. 【详解】根据不等式性质可得，，，， ，所以选项B,C,D错误. 故选:A． 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知，，则的取值范围是__________．（用区间的形式作答） 【答案】 【知识点】利用不等式的性质求值或范围 【分析】利用不等式的性质直接求解即可. 【详解】． . 又．     . 故答案为：. 16.已知，，则的取值范围是_________. 【答案】 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】分别求出的取值范围即可求解的取值范围. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为:. 考点5一元一次不等式（组）的解法 【典例5】（2023届浙江省高职考东杭三模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】利用一元一次不等式组的解法可解. 【详解】转化为不等式组，， ∴， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【即时训练】 17.（2021届浙江省湖州市一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的单调性建立一元一次不等式，即可求解. 【详解】对于函数在定义域上单调递减， 所以不等式中，， 解得，即. 故选：A. 18.（2022届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】不等式两边同时乘以,化为整式不等式解出即可,从而得到不等式的解集. 【详解】解：由可得， ， 即解得， 不等式的解集是. 故选:C. 19.不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】利用一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】，，，， 则不等式的解集为. 故答案为：. 20.不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式组的解集求解参数即可. 【详解】由得，因为不等式组的解集为，所以， 即a的取值范围是． 故答案为：． 考点6 基本不等式 【典例6】（2025届浙江省绍兴市职教高考二模）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时等号成立，此时或（舍）， 所以的最小值为， 故选：. 【点拔】利用基本不等式求最值是高考中一个难点和易错点，考生不但要熟练掌握基本不等式的结构形式更要注意使用的条件：“一正、二定、三相等”例如：已知，求的最小值，错解：.因为等号成立的条件是即，而，所以最小值不是2. 【即时训练】 21.（2025届中职数学温州市三模）已知，若，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据题意结合均值不等式公式即可得解. 【详解】，， 由均值不等式可知，， 所以， 当且仅当或时等号成立，则的最大值为， 故选：. 22.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．10 C．100 D．20 【答案】D 【知识点】求对数函数的定义域、利用基本不等式求最值、对数的运算 【分析】结合对数函数有意义的条件和对数运算，得到，利用基本不等式，即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时的最小值为20. 故选：D. 23.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区三模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为正数满足，根据基本不等式， 化简得，当且仅当等号成立. 则的最大值为. 故选：C. 24.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟）若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最大值是. 故选：A． 25.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市二模）已知，若，则的最小值为___________． 【答案】8 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】通过基本不等式“一正二定三相等”求解即可. 【详解】因为，所以有， 当且仅当即时取等号， 此时有最小值为. 故答案为：. 26.已知，则的最大值为______. 【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】利用基本不等式即可求出. 【详解】因为，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 27.已知，则的最低点坐标为______. 【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】利用基本不等式求最值即可求出最低点坐标. 【详解】时， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为7. 所以的最低点坐标为. 故答案为：. 28.已知和均为正实数，则的最小值为_____. 【答案】 【知识点】利用基本不等式求最值 【分析】首先将式子进行化简，再根据基本不等式进行求最值. 【详解】和均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江,8）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据、、、这几个指数函数和对数函数的单调性即可逐项判断． 【详解】A：∵指数函数在R上单调递减，又，∴，A正确； B：∵指数函数在R上单调递增，又，∴，B错误； C：∵对数函数在上单调递增，又，∴，C错误； D：∵对数函数在上单调递减，又，∴，D错误． 故选：A． 2.（2024年浙江,13）已知皆为正数，且，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求最值. 【详解】已知，则， 因为皆为正数，所以， 所以，当且仅当，时，等式成立， 所以有最小值4， 故选：A. 3. （2023年浙江,3）不等式的解是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本运算即可求解. 【详解】由题，，因为， 故不等式两边同时乘，不等号不变， 即，故不等式的解为. 故选：C. 4.（2023年浙江,16）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为,所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为. 故选：C. 5.（2022年浙江,3）下列不等式（组）中，其解集在数轴上的表示如图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项解不等式或不等式组，对应数轴上的解集即可判断. 【详解】数轴上的解集为， 对于A，解得：，故解集为，不符合题意； 对于B，解得：，故解集为，符合题意； 对于C，解得：，故解集为，不符合题意； 对于D，得：，故解集为，不符合题意. 故选：B. 6. （2021年浙江,5）已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取可排除A、B、C，根据不等式的基本性质可得D正确. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，故B错误； 取，，故C错误； 根据不等式的基本性质，若，则，故D正确. 故选：D 7.（2022年浙江,23）已知，且，则xy的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式解法求解即可. 【详解】，， 即，， 当且仅当即，时取等号， 此时的最大值为. 故答案为：. 8.（2021年浙江,22）已知（，），则的最大值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】∵，，且， ∴，当且仅当时等号成立. 又∵，∴，时等号成立， ∴的最大值为. 二、【考向感知】 1.考情整体概述 不等式是浙江省中职高考数学的高频基础考点，贯穿代数模块始终，既是独立命题的核心内容，也是解决函数、数列、实际应用问题的重要工具。不等式相关内容（概念与性质、一元一次不等式（组）、基本不等式）作为中职数学数与代数领域的核心内容，考查热度稳定，命题难度以基础题、中档题为主，侧重考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力和应用意识，贴合中职学生的认知特点和专业学习需求，极少出现偏题、难题。 从近五年（2021-2025年）真题来看，不等式相关题型在试卷中占比约8%-12%，分值约12-18分，题型主要分布在选择题、填空题，偶尔在解答题中结合实际应用场景考查（如与经济、工程相关的最值问题）。其中，一元一次不等式（组）的解法及应用、不等式的性质是基础必考点，基本不等式侧重考查简单最值应用，整体命题趋势呈现“基础为主、兼顾综合、贴合应用”的特点。 2.趋势预测 结合浙江省中职高考数学取消考纲、依据课程标准命题的最新变化，以及近五年命题规律，未来不等式相关内容的命题将呈现以下趋势： （1）难度稳定，侧重基础：整体难度仍以基础题、中档题为主，不会出现偏题、难题，重点考查三个模块的核心知识点和基本技能，贴合中职数学的教学目标和学生的认知水平。 （2）综合考查增强：不等式将进一步与函数、数列、实际应用问题结合考查，如结合一次函数的定义域、值域考查一元一次不等式（组）的求解，结合数列的通项公式考查不等式的性质，体现不等式的工具性作用。 （3）贴合应用，凸显素养：命题将更注重结合中职学生的生活场景和专业需求，强化实际应用问题的考查，侧重培养学生的数学建模能力和运算求解能力，符合中职教育“注重应用、培养技能”的核心目标。 （4）规范解题要求提升：将进一步强调解题步骤的规范性，尤其是一元一次不等式（组）的解法步骤、数轴表示解集的规范性，以及基本不等式等号成立条件的验证，注重考查学生的严谨性。 3.备考建议 结合命题特点和趋势，针对中职学生的学习特点，提出以下备考建议，助力高效备考： （1）夯实基础，牢记核心知识点：熟练掌握不等式的基本性质，牢记“两边同乘/除以负数，不等号方向改变”的易错点；熟练掌握一元一次不等式（组）的规范解题步骤，能准确用数轴和区间表示解集；牢记基本不等式的适用条件和核心公式，掌握简单的配凑方法。 （2）强化易错点训练：针对各模块的易错点，整理典型错题，反复练习，重点突破“不等式性质的误用”“数轴表示解集不规范”“基本不等式等号条件忽略”等问题，通过对比辨析（如等式与不等式性质对比）、专项训练，加深理解。 （3）注重数形结合思想：在求解一元一次不等式（组）的解集时，养成用数轴表示的习惯，通过数轴直观呈现解集的公共部分，减少漏解、错解；在学习基本不等式时，结合几何意义（如矩形面积与周长的关系），加深对公式的理解。 （4）加强实际应用训练：结合中职专业特色，练习与生活、专业相关的实际应用问题，学会从题干中提取不等关系，建立一元一次不等式（组）或基本不等式模型，提升建模能力和应用意识，重点练习成本、工时、最值等常见场景的题目。 （5）结合真题，针对性备考：整理近五年浙江省中职高考不等式相关真题，分析命题规律和考查重点，模拟真题训练，熟悉题型和难度，提升解题速度和准确率，同时适应命题的综合考查方式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的概念、性质与解法 【复习目标】 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围 4.能够解简单的一元一次不等式（组）并用区间表示 5.能够利用基本不等式比较大小及求最值 一、知识清单 1. 等式的性质 性质1对称性：如果，那么 ； 性质2传递性：如果，，那么_ ； 性质3加减性：如果，那么 ； 性质4同乘性：如果，那么 ； 性质5 同除性：如果，，那么 ； 2. 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： （1）作差法 ； ； （2）作商法 若，则 ； ； 3. 不等式的基本性质： ①对称性： (双向性) ②传递性： ；(单向性) ③可加性：a>b⇔ ；(双向性) ④a>b，c>d⇒ (单向性) ⑤可乘性： (单向性) a>b，c<0⇒ ；(单向性) ⑥a>b>0，c>d>0⇒ (单向性) ⑦乘方法则： (单向性) ⑧开方法则：a>b>0⇒ ．(单向性) 注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号. 4. 区间及有关概念 （1）一般区间表示设,且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 开区间 左闭右开区间 左开右闭区间 闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 5.解一元一次不等式 一元一次不等式通过去分母、去括号、移项、合并同类项均可转化为ax＞b或ax<b的形式．讨论ax>b的解集(类似地可讨论ax<b的解集)： (1) 当a>0时，解集是 ． (2) 当a<0时，解集是 ． (3)当a＝0，b≥0时，解集是 ；当a＝0，b<0时，解集是 　． 6.一元一次不等式组(不妨设b＞a) (1)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图① (2)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图② (3)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图③ (4)不等式组 的解集为 ，在数轴上表示为如图④. 7.基本不等式 1．基本不等式 (1)若a，b∈R，则(当且仅当 　时等号成立). (2)若a，b∈　 ，则(当且仅当 时等号成立).注：常称为“均值定理”． （3）基本不等式的变式 若，则ab≤ (当且仅当 　时等号成立). 二、考点清单 考点1 等式与不等式的基本性质 【典例1】（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试（一模）已知，且，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 1.（2025届浙江省台州市中等职业技术学校一模）已知，下列不等式中一定成立是（   ） A． B． C． D． 2.（2024届浙江省职教高考研究联合体五模）已知，，，且，下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4.已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 考点2 实数比较大小 【典例2】（2025届浙江省职教高考三模）已知，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较 【即时训练】 5.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）设x是任意的实数，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6.（2024届浙江省杭州市余杭区高职学校一模）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.若，则和的大小关系为__________. 8.用“”与“”号填空：设，则________ 考点3 区间的表示与运算 【典例3】（2025届浙江省职教高考研究联合体高三二模））集合或用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 9.（2023届浙江省高职提前招（面向中职）一模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 10（2023届浙江省宁波市高三高职复习二模）为了缓解交通压力，我们会测试某一时间段的车流量．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，若某天某段十字路口的车流量（单位：辆/分钟）与时间t（单位：分钟）的函数关系式为，，则下列哪个时间段内车流量是增加的（    ） A． B． C． D． 11.不等式可用区间表示为_____________ 12.如图数轴，阴影部分的范围用区间表示是________.    考点4 利用不等式性质求范围 【典例4】（2023届浙江省宁波市二模）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【即时即练】 13.（2024届浙江省温州市普通高职单独考试一模）若实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14.（2025届浙江省丽水、简州、湖州市中职学校高三质量检测）已知，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 15.（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知，，则的取值范围是__________．（用区间的形式作答） 16.已知，，则的取值范围是_________. 考点5一元一次不等式（组）的解法 【典例5】（2023届浙江省高职考东杭三模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 17.（2021届浙江省湖州市一模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 18.（2022届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19.不等式的解集为______. 20.不等式组的解集为，则a的取值范围是______． 考点6 基本不等式 【典例6】（2025届浙江省绍兴市职教高考二模）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【即时训练】 21.（2025届中职数学温州市三模）已知，若，则的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 22.（2024届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．10 C．100 D．20 23.（2025届浙江省职教高考嘉兴、宁波地区三模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 24.（2025届浙江职教高考复习第四次模拟）若，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 25.（2024届浙江省宁波市、嘉兴市二模）已知，若，则的最小值为___________． 26.已知，则的最大值为______. 27.已知，则的最低点坐标为______. 28.已知和均为正实数，则的最小值为_____. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江,8）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024年浙江,13）已知皆为正数，且，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最小值 D. 有最大值 3. （2023年浙江,3）不等式的解是（ ）. A. B. C. D. 4.（2023年浙江,16）函数的值域为（ ）. A. B. C. D. 5.（2022年浙江,3）下列不等式（组）中，其解集在数轴上的表示如图的是（ ） A. B. C. D. 6. （2021年浙江,5）已知实数，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7.（2022年浙江,23）已知，且，则xy的最大值为__________． 8.（2021年浙江,22）已知（，），则的最大值为_________. 二、【考向感知】 1.考情整体概述 不等式是浙江省中职高考数学的高频基础考点，贯穿代数模块始终，既是独立命题的核心内容，也是解决函数、数列、实际应用问题的重要工具。不等式相关内容（概念与性质、一元一次不等式（组）、基本不等式）作为中职数学数与代数领域的核心内容，考查热度稳定，命题难度以基础题、中档题为主，侧重考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力和应用意识，贴合中职学生的认知特点和专业学习需求，极少出现偏题、难题。 从近五年（2021-2025年）真题来看，不等式相关题型在试卷中占比约8%-12%，分值约12-18分，题型主要分布在选择题、填空题，偶尔在解答题中结合实际应用场景考查（如与经济、工程相关的最值问题）。其中，一元一次不等式（组）的解法及应用、不等式的性质是基础必考点，基本不等式侧重考查简单最值应用，整体命题趋势呈现“基础为主、兼顾综合、贴合应用”的特点。 2.趋势预测 结合浙江省中职高考数学取消考纲、依据课程标准命题的最新变化，以及近五年命题规律，未来不等式相关内容的命题将呈现以下趋势： （1）难度稳定，侧重基础：整体难度仍以基础题、中档题为主，不会出现偏题、难题，重点考查三个模块的核心知识点和基本技能，贴合中职数学的教学目标和学生的认知水平。 （2）综合考查增强：不等式将进一步与函数、数列、实际应用问题结合考查，如结合一次函数的定义域、值域考查一元一次不等式（组）的求解，结合数列的通项公式考查不等式的性质，体现不等式的工具性作用。 （3）贴合应用，凸显素养：命题将更注重结合中职学生的生活场景和专业需求，强化实际应用问题的考查，侧重培养学生的数学建模能力和运算求解能力，符合中职教育“注重应用、培养技能”的核心目标。 （4）规范解题要求提升：将进一步强调解题步骤的规范性，尤其是一元一次不等式（组）的解法步骤、数轴表示解集的规范性，以及基本不等式等号成立条件的验证，注重考查学生的严谨性。 3.备考建议 结合命题特点和趋势，针对中职学生的学习特点，提出以下备考建议，助力高效备考： （1）夯实基础，牢记核心知识点：熟练掌握不等式的基本性质，牢记“两边同乘/除以负数，不等号方向改变”的易错点；熟练掌握一元一次不等式（组）的规范解题步骤，能准确用数轴和区间表示解集；牢记基本不等式的适用条件和核心公式，掌握简单的配凑方法。 （2）强化易错点训练：针对各模块的易错点，整理典型错题，反复练习，重点突破“不等式性质的误用”“数轴表示解集不规范”“基本不等式等号条件忽略”等问题，通过对比辨析（如等式与不等式性质对比）、专项训练，加深理解。 （3）注重数形结合思想：在求解一元一次不等式（组）的解集时，养成用数轴表示的习惯，通过数轴直观呈现解集的公共部分，减少漏解、错解；在学习基本不等式时，结合几何意义（如矩形面积与周长的关系），加深对公式的理解。 （4）加强实际应用训练：结合中职专业特色，练习与生活、专业相关的实际应用问题，学会从题干中提取不等关系，建立一元一次不等式（组）或基本不等式模型，提升建模能力和应用意识，重点练习成本、工时、最值等常见场景的题目。 （5）结合真题，针对性备考：整理近五年浙江省中职高考不等式相关真题，分析命题规律和考查重点，模拟真题训练，熟悉题型和难度，提升解题速度和准确率，同时适应命题的综合考查方式。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $