第三章 二次函数综合题- 【一战成名新中考】2026安徽数学中考必考知识点题组特训

1．若抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1． （1）求b的值． （2）若点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上． ①若x2＝2x1+0.5，求n﹣m的最大值． ②若x2﹣x1＝t，且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，直接写出t的值． 2．定义：若两个二次函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称y1，y2互为“对称二次函数”． （1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，求它的“对称二次函数”的顶点坐标； （2）已知关于x的二次函数和，其中y1的图象经过点（2，1），若y1+y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式； （3）在（2）的条件下，当n≤x≤n+1时，y2的最小值为﹣2，求n的值． 3．抛物线顶点为A（2，1），抛物线与y轴交于点B，直线AB经过点C（1，0） （1）求b，c，d的值； （2）已知点P（m，n）和Q（3m﹣4，3n），且点P在抛物线y1上． （Ⅰ）判断点Q（3m﹣4，3n）是否在抛物线y2上，说明理由； （Ⅱ）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线AB于点D、E，当m≥2时，求PD﹣QE的最大值． 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣x2+bx（b≠0）上任意两点． （1）若抛物线经过点（2，0），求此时该抛物线的顶点坐标； （2）设该抛物线的对称轴为直线x＝h． ①若对于x1＝h﹣1，x2＝2h，都有y1＞y2，求h的取值范围； ②若对于h﹣2≤x1≤h+1，﹣2≤x2≤﹣1，存在y1＜y2，求h的取值范围． 5．在平面直角坐标系中，A（1，6），B（﹣2，3），抛物线C的函数表达式为：y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0） （1）若抛物线经过A、B两点，求函数表达式； （2）若抛物线只经过A点且对称轴为直线x＝2，求该二次函数的最大值； （3）如果抛物线经过点C（2a，3），D（x1，y1），E（x2，y2）三点，若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 6．新情境投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从A（0，1.5）处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m．把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度GF＝0.2m，壶的高度EF＝0.72m． （1）求抛物线L的表达式． （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围． 7．已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1． （1）若a＝2，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）若抛物线对称轴为直线x＝﹣1． ①点A（x1，y1）、B（x2，y2）在这条抛物线上，当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，请判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②点C（m，p）、D（n，q）是这条抛物线上不同的两点，点E（m，n）在直线y＝﹣x+2上，求p+q的取值范围． 8．已知二次函数的图象经过点（﹣4，10）和（4，﹣6）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若该二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图． ①若一次函数y＝kx+m的图象经过B，C两点，求不等式的解集； ②点P是直线BC上一动点，求AP的最小值． 9．如图1，抛物线与x轴交于点A，点B（6，0）（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求b，c的值； （2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，AP，PB． （ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S△ACM﹣S△PBM＝8，求此时点P的坐标； （ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求S△PAQ+S△PBQ的最大值． 10．已知抛物线y＝m（x﹣1）2+3与直线y＝kx+1（k≠0）交于抛物线的顶点A和另一点B（3，a）． （1）求k，a，m的值． （2）平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与y轴的交点为C（0，3），与x轴的其中一个交点的横坐标为1．直线x＝t分别交直线AB、抛物线、新抛物线于点D、E、F． （i）当1＜t＜3时，若EF＝5DE，求点E，F的坐标； （ii）当EF＞4时，求t的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），抛物线y＝﹣x2+4bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； （2）若c＝6﹣4b2，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜2b），且MP∥AB． （i）求MP的长； （ii）当b＝﹣1时，平移抛物线y＝﹣x2+4bx+c，使其顶点仍在直线PM上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 12．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P． （1）求线段AB的长； （2）若PM＝2PN，求点M的坐标； （3）若点M在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 14．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+k和抛物线y＝ax2+bx﹣1都经过点A（2，﹣3），且抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点B（﹣2，1）和点C（﹣2，9）中的一个点． （1）求k，a，b的值； （2）若将抛物线y＝ax2+bx﹣1沿y轴方向向上平移n个单位长度，其顶点恰好在直线y＝﹣x+k上，求n的值； （3）若点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交直线y＝﹣x+k于点M，交抛物线y＝ax2+bx﹣1于点N，是否存在点P，使得MN＝1？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝16米．明明同学设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了明明的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定DE与CF的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，明明又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 参考答案 1．若抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1． （1）求b的值． （2）若点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上． ①若x2＝2x1+0.5，求n﹣m的最大值． ②若x2﹣x1＝t，且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，直接写出t的值． 【解答】解：（1）由题意得：b﹣1＝1，则b＝4； （2）由（1）知，y＝﹣x2+4x+c， ①设x1＝a，则x2＝2a+0.5， 则n﹣m＝﹣（2a+0.5）2+2（2a+0.5）+c﹣a2+4a﹣c＝﹣3（a）2， 即n﹣m的最大值为：； ②x1＝a，则x2＝a+t， 则n﹣m＝﹣（a+t）2+2（a+t）+c+a2﹣4a﹣c＝t， 整理得：（t+1）（t+2a）＝0， ∵x1＝a≥0，上式恒成立， 则t+1＝0，则t＝﹣1． 2．定义：若两个二次函数y1，y2的图象关于x轴对称，则称y1，y2互为“对称二次函数”． （1）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，求它的“对称二次函数”的顶点坐标； （2）已知关于x的二次函数和，其中y1的图象经过点（2，1），若y1+y2与y1互为“对称二次函数”，求函数y2的表达式； （3）在（2）的条件下，当n≤x≤n+1时，y2的最小值为﹣2，求n的值． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴其顶点为（1，﹣2）． ∴其关于x轴对称的顶点为（1，2）． ∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为（1，2）． （2）由题意，∵， ∴其“对称二次函数”为﹣y＝﹣2x2+4mx+3m﹣2，即y＝2x2﹣4mx﹣3m+2． 又∵，， ∴y1+y2＝（﹣2+a）x2+（4m+b）x+3m﹣4． ∵y1+y2与y1互为“对称二次函数”， ∴2＝﹣2+a，﹣4m＝4m+b，3m﹣4＝﹣3m+2． ∴a＝4，m＝1，则b＝﹣8m＝﹣8． ∴函数y2的表达式为y2＝4x2﹣8x﹣2． （3）由题意，y2＝4x2﹣8x﹣2＝4（x﹣1）2﹣6， ∴此时对称轴是直线x＝1． ∴当x＝1时，y2取最小值为﹣6． 又∵当n≤x≤n+1时，y2的最小值为﹣2， ∴①当n+1＜1时，即n＜0， ∴当x＝n+1时，y2取最小值为4（n+1﹣1）2﹣6＝﹣2． ∴n＝﹣1或n＝1（不合题意，舍去）． ②当n＞1时， ∴当x＝n时，y2取最小值为4（n﹣1）2﹣6＝﹣2． ∴n＝0（不合题意，舍去）或n＝2． 综上，n＝﹣1或n＝2． 3．抛物线顶点为A（2，1），抛物线与y轴交于点B，直线AB经过点C（1，0） （1）求b，c，d的值； （2）已知点P（m，n）和Q（3m﹣4，3n），且点P在抛物线y1上． （Ⅰ）判断点Q（3m﹣4，3n）是否在抛物线y2上，说明理由； （Ⅱ）过点P、Q分别向x轴作垂线，交直线AB于点D、E，当m≥2时，求PD﹣QE的最大值． 【解答】解：（1）∵抛物线顶点为A（2，1）， ∴y＝﹣3（x﹣2）2+1＝﹣3x2+12x﹣11； ∴b＝12，c＝﹣11， 设直线AC的解析式为y＝kx+b'， ∴， 解得， ∴y＝x﹣1， 当x＝0时，y＝﹣1， ∴B（0，﹣1）， 将B点代入， ∴d＝﹣1； （2）（Ⅰ）点Q（3m﹣4，3n）在抛物线y2上，理由如下： ∵点P在抛物线y1上， ∴﹣3m2+12m﹣11＝n， ∵d＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x﹣1， 当x＝3m﹣4时，﹣（3m﹣4）2+4（3m﹣4）﹣1＝3（﹣3m2+12m﹣11）＝3n， ∴点Q（3m﹣4，3n）在抛物线y2上； （Ⅱ）∵P（m，﹣3m2+12m﹣11），Q（3m﹣4，﹣9m2+36m﹣33）， ∴D（m，m﹣1），E（3m﹣4，3m﹣5）， 当2≤m时，PD﹣QE＝m﹣1﹣（﹣3m2+12m﹣11）﹣（﹣9m2+36m﹣33﹣3m+5）＝12（m）2， 当m时，PD﹣QE有最大值； 当m时，PD﹣QE＝m﹣1﹣（﹣3m2+12m﹣11）﹣（3m﹣5﹣9m2﹣36m+33）＝﹣6（m）2， 当m时，PD﹣QE有最大值； 综上所述：PD﹣QE有最大值． 4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣x2+bx（b≠0）上任意两点． （1）若抛物线经过点（2，0），求此时该抛物线的顶点坐标； （2）设该抛物线的对称轴为直线x＝h． ①若对于x1＝h﹣1，x2＝2h，都有y1＞y2，求h的取值范围； ②若对于h﹣2≤x1≤h+1，﹣2≤x2≤﹣1，存在y1＜y2，求h的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可得0＝﹣4+2b， 解得b＝2， ∴此时该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， ∴此时该抛物线的顶点坐标为（1，1）． （2）①∵抛物线y＝﹣x2+bx的对称轴为直线x＝h， ∴，即b＝2h， ∴y＝﹣x2+2hx． ∵x1＝h﹣1，x2＝2h， ∴，． ∵对于x1＝h﹣1，x2＝2h，都有y1＞y2， ∴h2﹣1＞0， 解得h＞1或h＜﹣1，即h的取值范围为h＞1或h＜﹣1． ②由①知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2hx， ∴，∴．． 当x1＝h﹣2时，；当x1＝h+1时，； 当x2＝﹣1时，y2＝﹣1﹣2h；当x2＝﹣2时，y2＝﹣4﹣4h． ∵h﹣2≤x1≤h+1，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝h， ∴． 当﹣2≤h≤﹣1时，y2一定存在大于y1的值； 当h＜﹣2时，， ∴﹣4﹣4h＞h2﹣4， 解得﹣4＜h＜0， ∴﹣4＜h＜﹣2； 当h＞﹣1且h≠0时，， ∴﹣1﹣2h＞h2﹣4， 解得﹣3＜h＜1， ∴﹣1＜h＜1且h≠0， 综上所述，h的取值范围为﹣4＜h＜1且h≠0． 5．在平面直角坐标系中，A（1，6），B（﹣2，3），抛物线C的函数表达式为：y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0） （1）若抛物线经过A、B两点，求函数表达式； （2）若抛物线只经过A点且对称轴为直线x＝2，求该二次函数的最大值； （3）如果抛物线经过点C（2a，3），D（x1，y1），E（x2，y2）三点，若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）由条件可得：， ∴， ∴y＝x2+2x+3； （2）由题意可知：， ∴， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴当x＝2时，y最大＝7． （3）由条件可知：抛物线的对称轴是直线； ①当a＞0时，此时抛物线开口向上， 当x＞a时，y随着x的增大而增大， ∵对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2， ∴3a＜3， ∴a＜1， 又∵a＞0， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a， 此时a﹣3a＞4﹣a， 解得a＜﹣4， 又∵a＜0， ∴a＜﹣4； 综上，当0＜a＜1或a＜﹣4时，都有y1＜y2． 6．新情境投壶投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏．投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为1m）．某同学将箭从A（0，1.5）处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线L：y＝ax2+bx+c的一部分，且当箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m．把壶近似看作矩形DEFG，已知壶口的宽度GF＝0.2m，壶的高度EF＝0.72m． （1）求抛物线L的表达式． （2）若箭刚好由点G处擦边投入壶中，求人离壶的距离OE． （3）在（2）的条件下，该同学再次投掷，仅调整了将箭抛出时的高度，其他条件不变，要使得箭再次投入壶中，请直接写出OA的取值范围． 【解答】解：（1）∵箭的最大高度为2m时，距离投出点的水平距离为1m， ∴抛物线的顶点为（﹣1，2）， ∴y＝a（x+1）2+2， ∵抛物线经过点A（0，1.5）， ∴a+2＝1.5， 解得a＝﹣0.5， ∴y＝﹣0.5（x+1）2+2x2﹣x； （2）令x2﹣x0.72， 解得x＝﹣2.6或x＝0.6（舍）， ∴OE＝2.6﹣0.2＝2.4（米）， ∴人离壶的距离OE为2.4米； （3）设再次投掷时箭的飞行轨迹对应的抛物线轨迹为yx2﹣x+n， 将（﹣2.4，0.72）代入，（﹣2.4）2﹣（﹣2.4）+n＝0.72， 解得n＝1.2， ∴yx2﹣x+1.2， ∴1.2m≤OA≤1.5m． 7．已知抛物线y＝x2﹣（a+2）x+2a+1． （1）若a＝2，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）若抛物线对称轴为直线x＝﹣1． ①点A（x1，y1）、B（x2，y2）在这条抛物线上，当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，请判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②点C（m，p）、D（n，q）是这条抛物线上不同的两点，点E（m，n）在直线y＝﹣x+2上，求p+q的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝2时，抛物线为y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1）； （2）由题意得，抛物线的对称轴是直线x1， ∴a＝﹣4， ∴抛物线为y＝x2+2x﹣7． ①∵﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2， ∴1＜﹣x1＜2，2＜x2+1＜3． ∴0＜﹣1﹣x1＜1． ∴对称轴直线x＝﹣1到A的距离小于到B的距离． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∴y1＜y2； ②∵点E（m，n）在直线y＝﹣x+2上， ∴n＝﹣m+2， ∵抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣7， 又点C（m，p）、D（n，q）是这条抛物线上不同的两点， ∴p＝m2+2m﹣7，q＝n2+2n﹣7＝（2﹣m）2+2（2﹣m）﹣7， ∴p+q＝m2+2m﹣7+m2﹣6m+1 ＝2m2﹣4m﹣6 ＝2（m﹣1）2﹣8． ∵C，D为不同的两点， ∴m≠2﹣m． ∴m≠1． ∵对于任意m≠1都有（m﹣1）2＞0， ∴2（m﹣1）2﹣8＞﹣8． ∴p+q＞﹣8． 8．已知二次函数的图象经过点（﹣4，10）和（4，﹣6）． （1）求该二次函数的表达式； （2）若该二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如图． ①若一次函数y＝kx+m的图象经过B，C两点，求不等式的解集； ②点P是直线BC上一动点，求AP的最小值． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（﹣4，10）和（4，﹣6）， 将点（﹣4，10）和（4，﹣6）代入， 得， 解得， ∴二次函数表达式为． （2）①令y＝0，即， 解得x＝﹣2或x＝6， ∴B（6，0）， 令x＝0，得y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， ∵一次函数过B、C两点，不等式的解集是二次函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围， ∴结合图象可知，解集为x＜0或x＞6． ②设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B（6，0）、C（0，﹣6）， 得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣6， 即x﹣y﹣6＝0， ∴点A（﹣2，0）到直线BC的距离， ∴AP的最小值为． 9．如图1，抛物线与x轴交于点A，点B（6，0）（点A位于点B左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC． （1）求b，c的值； （2）连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的一点，连接AC，AP，PB． （ⅰ）如图2，AP与BC交于点M，若S△ACM﹣S△PBM＝8，求此时点P的坐标； （ⅱ）如图3，过点P作PQ∥AC交BC于点Q，连接AQ，求S△PAQ+S△PBQ的最大值． 【解答】解：（1）∵B（6，0），OB＝OC， ∴OB＝OC＝6， ∵点C位于原点下方， ∴C（0，﹣6）， ∴c＝﹣6， 把点B（6，0）代入抛物线中， 得， 解得b＝﹣2， 故b，c的值分别为﹣2，﹣6； （2）（ⅰ）由（1）可知抛物线的解析式为， 当y＝0时，， 解得x1＝﹣2，x2＝6， ∴A（﹣2，0）， ∴AB＝6﹣（﹣2）＝8， 设点P的坐标为，其中0＜t＜6，则：， 整理，得t2﹣4t﹣4＝0， 解得（舍去），， 当时，， ∴此时点P的坐标为； （ⅱ）如图，连接PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E， ∵PQ∥AC， ∴S△PAQ＝S△PCQ， ∴S△PAQ+S△PBQ＝S△PCB， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B、点C的坐标分别代入得： ， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣6， 设点P，则E（m，m﹣6）， ∴， ∴， ∵， ∴当m＝3时，S△PAQ+S△PBQ有最大值，最大值为． 10．已知抛物线y＝m（x﹣1）2+3与直线y＝kx+1（k≠0）交于抛物线的顶点A和另一点B（3，a）． （1）求k，a，m的值． （2）平移该抛物线得到新抛物线，若新抛物线与y轴的交点为C（0，3），与x轴的其中一个交点的横坐标为1．直线x＝t分别交直线AB、抛物线、新抛物线于点D、E、F． （i）当1＜t＜3时，若EF＝5DE，求点E，F的坐标； （ii）当EF＞4时，求t的取值范围． 【解答】解P（1）已知抛物线y＝m（x﹣1）2+3与直线y＝kx+1（k≠0）交于抛物线的顶点A和另一点B（3，a）， ∴抛物线的顶点为A（1，3）， 将点A的坐标代入直线y＝kx+1中，得： 3＝k+1， 解得k＝2． ∴直线AB的解析式为y＝2x+1． 将点B的坐标代入y＝2x+1中，得： a＝2×3+1＝7． ∴点B的坐标为（3，7）． 将点B的坐标代入y＝m（x﹣1）2+3，得： 7＝m（3﹣1）2+3， 解得m＝1； （2）（i）由（1）知，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+3， 平移该抛物线得到新抛物线，新抛物线与y轴的交点为C（0，3），与x轴的其中一个交点的横坐标为1． 设新抛物线的解析式为y＝（x﹣p）2+q，将点C（0，3），（1，0）代入新抛物线的解析式，得： ， 解得， ∴新抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1． ∵直线x＝t分别交直线AB、抛物线、新抛物线于点D，E，F， ∴点D（t，2t+1），点E（t，（t﹣1）2+3），点F（t，（t﹣2）2﹣1）． ∵点A（1，3），点B（3，7），1＜t＜3， ∴点D在线段AB上，且yD＞yE＞yF． ∴DE＝2t+1﹣[（t﹣1）2+3]＝﹣t2+4t﹣3，EF＝（t﹣1）2+3﹣[（t﹣2）2﹣1]＝2t+1． ∵EF＝5DE， ∴2t+1＝5（﹣t2+4t﹣3）， 解得． 当时，点，点； 当t＝2时，点E（2，4），点F（2，﹣1）； （ii）联立y＝（x﹣1）2+3与y＝（x﹣2）2﹣1，得： （x﹣1）2+3＝（x﹣2）2﹣1， 解得． ∴当时，点E在点F上方，当时，点E在点F下方． 由（2）①知，EF＝|（t﹣1）2+3﹣[（t﹣2）2﹣1]|＝|2t+1|． 当时，可知EF＝2t+1＞4， 解得． 当时，可知EF＝﹣2t﹣1＞4， 解得． 综上所述，t的取值范围为或． 11．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），抛物线y＝﹣x2+4bx+c（b，c为常数，b＜0）的顶点为P． （1）当抛物线经过点A，B时，求点P的坐标； （2）若c＝6﹣4b2，抛物线上的点M的横坐标为m（m＜2b），且MP∥AB． （i）求MP的长； （ii）当b＝﹣1时，平移抛物线y＝﹣x2+4bx+c，使其顶点仍在直线PM上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． 【解答】解：（1）由题意，∵A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+4bx+c上， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4． ∴， ∴点P的坐标为． （2）（i）由题意，∵c＝6﹣4b2， ∴抛物线y＝﹣x2+4bx+c＝﹣x2+4bx+6﹣4b2＝﹣（x﹣2b）2+6， ∴P（2b，6）， ∵MP∥AB， ∴设直线MP的解析式为y＝x+h， ∴2b+h＝6． ∴h＝6﹣2b． ∴直线MP的解析式为y＝x+6﹣2b． 联立y＝x+6﹣2b与y＝﹣（x﹣2b）2+6， ∴x1＝2b，x2＝2b﹣1． ∵m＜2b， ∴点M的横坐标为2b﹣1，纵坐标为2b﹣1+6﹣2b＝5， ∴M（2b﹣1，5）． ∴． （ii）由（i）可得，点P，M的坐标分别为P（2b，6），M（2b﹣1，5）． ∴当b＝﹣1时，点P，M的坐标分别为P（﹣2，6），M（﹣3，5）． ∴可得直线PM的解析式为y＝x+8． 设平移后所得抛物线对应的表达式为y＝﹣x2+px+q， ∴其顶点坐标为． 又∵顶点在直线y＝x+8上， ∴． ∴抛物线与y轴交点的纵坐标． ∵， ∴q有最大值，当p＝1时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为． 12．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P． （1）求线段AB的长； （2）若PM＝2PN，求点M的坐标； （3）若点M在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 当y＝0时，得：x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3． ∵点A在点B的左侧， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝|﹣1﹣3|＝4； （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． ∵MN⊥x轴， ∴设M（m，m2﹣2m﹣3），则P（m，m﹣3），N（m，0）， ∴PM＝|（m2﹣2m﹣3）﹣（m﹣3）|＝|m2﹣3m|，PN＝|m﹣3|， ∵PM＝2PN， ∴|m2﹣3m|＝2|m﹣3|， ∴m2﹣3m＝2m﹣6或m2﹣3m＝6﹣2m， 解得：m1＝2，m2＝3（不合题意，舍去），m3＝﹣2，m4＝3（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，5）； （3）存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似；理由如下： ∵MN⊥x轴， ∴设M（n，n2﹣2n﹣3），且0＜n＜3，则P（n，n﹣3），N（n，0）， ∴PN＝3﹣n，BN＝3﹣n，PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n． ∵△BPN和△CPM相似，且∠CPM＝∠BPN＝45°， ∴∠CMP＝∠BNP＝90°或∠MCP＝∠BNP＝90°． 当∠CMP＝90°时，CM⊥MN，且PM＝CM， ∴﹣n2+3n＝n，即n2﹣2n＝0， 解得：n1＝0（不合题意，舍去），n2＝2， ∴M（2，﹣3）； 当∠MCP＝90°时，如图，过点M作MD⊥y轴于点D， 则∠DCM＝∠CMD＝∠CMP＝45°， ∴CD＝DM， ∴CD＝﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+2n，DM＝n， ∴﹣n2+2n＝n， 解得n1＝0（不合题意，舍去），n2＝1， ∴M（1，﹣4）， 综上所述，存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似；点M的坐标 为（2，﹣3）或（1，﹣4）． 13．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入yx2+mx+n得，解得， ∴抛物线解析式为yx2x+2； （2）存在． 抛物线的对称轴为直线x， 则D（，0）， ∴CD， 如图1，当CP＝CD时，则P1（，4）； 当DP＝DC时，则P2（，），P3（，）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（，4）或（，）或（，）； （3）当y＝0时，x2x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（4，0），C（0，2）代入得，解得， ∴直线BC的解析式为yx+2， 设E（x，x+2）（0≤x≤4），则F（x，x2x+2）， ∴FEx2x+2﹣（x+2）x2+2x， ∵S△BCF＝S△BEF+S△CEF4×EF＝2（x2+2x）＝﹣x2+4x， 而S△BCD2×（4）， ∴S四边形CDBF＝S△BCF+S△BCD ＝﹣x2+4x（0≤x≤4）， ＝﹣（x﹣2）2 当x＝2时，S四边形CDBF有最大值，最大值为，此时E点坐标为（2，1）． 14．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+k和抛物线y＝ax2+bx﹣1都经过点A（2，﹣3），且抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点B（﹣2，1）和点C（﹣2，9）中的一个点． （1）求k，a，b的值； （2）若将抛物线y＝ax2+bx﹣1沿y轴方向向上平移n个单位长度，其顶点恰好在直线y＝﹣x+k上，求n的值； （3）若点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交直线y＝﹣x+k于点M，交抛物线y＝ax2+bx﹣1于点N，是否存在点P，使得MN＝1？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+k经过点A（2，﹣3），将点A的坐标代入得： ﹣3＝﹣2+k， 解得：k＝﹣1； ∴直线y＝﹣x+k＝﹣x﹣1， 当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）﹣1＝1， ∴点B（﹣2，1）在直线y＝﹣x﹣1上， ∵直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+bx﹣1都经过点（0，﹣1）和点A（2，﹣3）， ∴抛物线y＝ax2+bx﹣1不可能经过点B（﹣2，1），即抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点C（﹣2，9），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得； （2）由（1）得抛物线， ∴抛物线的顶点为， 对于y＝﹣x﹣1，当时，， ∴； （3）存在点P，使得MN＝1；理由如下： 设点P的坐标为（p，0）， ∴点M坐标为（p，﹣p﹣1），点N坐标为（p，p2﹣3p﹣1）． 分三种情况： ①当p＜0时，如图1，根据题意得（p2﹣3p﹣1）﹣（﹣p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p﹣1＝0， 解得，（舍去）， 此时点P坐标为； ②当0＜p＜2时，如图2，根据题意得（﹣p﹣1）﹣（p2﹣3p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p+1＝0， 解得p1＝p2＝1， 此时点P坐标为（1，0）； ③当p＞2时，如图3，根据题意得（p2﹣3p﹣1）﹣（﹣p﹣1）＝1， 整理得p2﹣2p﹣1＝0， 解得（不合题意，舍去），， 此时点P坐标为； 综上所述，点P坐标为或（1，0）或． 15．问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，AB＝8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝16米．明明同学设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了明明的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定DE与CF的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题： （1）求抛物线的函数表达式； （2）当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，明明又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．求符合设计要求的矩形周长的最大值． 【解答】（1）解：∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝8， ∴， ∴点B的坐标为（4，0）， ∵OP＝16， ∴点P的坐标为（0，16）， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+16， ∵点B（4，0）在抛物线y＝ax2+16上， ∴16a+16＝0， 解得：a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+16（﹣4≤x≤4）； （2）解：由点D，E在抛物线y＝﹣x2+16上， 不妨设点E的坐标为（m，﹣m2+16）， ∵DE∥AB，交y轴于点F， ∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+16， ∴DE＝2m， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴， ∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+16﹣4＝﹣m2+12， 根据题息，得DE+CF＝9， ∴﹣m2+12+2m＝9， 解得：m1＝3，m2＝﹣1 （不符合题意，舍去）， ∴m＝3． ∴DE＝2m＝6，CF＝﹣m2+12＝3， 答：DE的长为6米，CF的长为3米； （3）解：如图矩形灯带为GHML， 根据题意，得A（﹣4，0），B（4，0），C（0，4）， 设直线AC和BC的表达式分别为：y＝kx+4，y＝px+4， 故﹣4k+4＝0，4p+4＝0， 解得k＝1，p＝﹣1， 故直线 AC和BC的表达式分别为：y＝x+4，y＝﹣x+4， 设点G（m，﹣m2+16）、H（﹣m，﹣m2+16）、L（m，m+4）、M（﹣m，m+4）， 则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+16﹣m﹣4）＝﹣2（m+1.5）2， 根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为， 故矩形周长的最大值为米． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/8 16:31:03；用户：帐号65；邮箱：hxnts65@xyh.com；学号：37372741 学科网（北京）股份有限公司 $