2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（八）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则集合与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．半径为2，圆心角为的角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．数列中，，，则该数列的前10项的和是（   ）. A．1024 B．1023 C．511 D．255 6．已知点，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 B．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 9．已知圆，截直线所得线段长为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 10．下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像 D．函数的图像与函数的图像有交点 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．用系统抽样法（按等距离的规则）从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段（1~8号，9~16号，…，153~160号），若在第1段中用简单随机抽样法确定的号码是3，则第17段应抽出的号码为______． 12．高三毕业前夕，某寝室的同学两两之间相互握一次手，相互赠一张相片，如果全寝室握手的次数比送相片的数量少10，那么这个寝室的人数是________． 13．已知，且是第四象限的角，则的值为______. 14．已知奇函数在上是增函数，若，则m的取值范围是______（结果用区间表示)． 15．已知点为圆：上任意一点，则的最大值为 ______． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等比数列中，已知，前项和为，，公比，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 17．(本小题满分10分) 某工厂生产一批商品，其中一等品占，每件一等品获利20元；二等品占，每件二等品获利10元：次品占，每件次品亏损10元.设为任一件商品的获利金额（单位：元）. (1)求随机变量的概率分布； (2)求随机变量的均值. 18．(本小题满分10分) 如图，在底面为菱形的四棱锥中，面，点E是的中点．    求证： (1)平面； (2)面面． 19.(本小题满分10分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）求的取值范围． 20．(本小题满分10分) 已知函数，其中， (1)当时，把函数写成分段函数的形式； (2)当时，求在区间[1,3]上的最值； (3)设，函数在(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围（用表示）． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，，，，点D在线段AC上，. (1)求BD的长； (2)已知复数z的模为10，且以为辐角，求. 22．(本小题满分10分) 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共1000个，生产一个卫兵需5个工时，生产一个骑兵需7个工时，生产一个伞兵需4个工时．已知总生产时间不超过6000个工时．若生产一个卫兵可获利润50元，生产一个骑兵可获利润60元，生产一个伞兵可获利润30元．该公司怎样分配生产任务，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第8卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（八） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则集合与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系求解即可. 【详解】因为，解得：；，解得：或， 所以，， 所以. 故选：A. 2．下列函数中，为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶函数的判定方法，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，但，则不是奇函数，故错误； 对于B，的定义域为，但不恒成立（当且仅当时成立），则不是奇函数，故错误； 对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，故错误； 对于D，的定义域为，且，则为奇函数，故正确. 故选：D. 3．在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】若成立,由正弦定理 所以,由大边对大角可知. 若,则. 因为. 所以. 所以在中,时的充要条件. 故选:. 4．半径为2，圆心角为的角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将角度转化为弧度，根据弧长公式可求解. 【详解】由于，由题意，根据弧长公式可知， 所求弧长. 故选：C 5．数列中，，，则该数列的前10项的和是（   ）. A．1024 B．1023 C．511 D．255 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义，前n项和公式即可求解. 【详解】由题意得，，，则. 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故选：B. 6．已知点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算的规则求解即可. 【详解】因为点，，则. 故选：D. 7．已知函数，若有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以，故的取值范围为. 故选：A. 8．下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 B．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系即可解得. 【详解】选项A：若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行也可能相交，错误. 选项B：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行，正确. 选项C：若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，错误. 选项D：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行、相交或异面，错误. 故选：B 9．已知圆，截直线所得线段长为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据弦长的一半等于即可求解. 【详解】由题意可知， 已知圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则有. 故选：D 10．下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像 D．函数的图像与函数的图像有交点 【答案】C 【分析】根据题意结合三角函数图像的性质逐项判断即可得解. 【详解】函数的最小正周期为，故错误； 函数在区间内为增函数，内为减函数，内为增函数，故错误； 函数的图像向左平移个单位得，故正确； 函数的值域为，函数的值域为，所以图像没有交点，故错误， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．用系统抽样法（按等距离的规则）从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段（1~8号，9~16号，…，153~160号），若在第1段中用简单随机抽样法确定的号码是3，则第17段应抽出的号码为______． 【答案】131 【分析】由系统抽样的法则，可知第组抽出的号码应为，即可得出结论. 【详解】由题意，可知系统抽样的组数为20，间隔为8， 第1段中用简单随机抽样法确定的号码是3， 则由系统抽样的法则，第17段应抽出的号码为. 故答案为：131. 12．高三毕业前夕，某寝室的同学两两之间相互握一次手，相互赠一张相片，如果全寝室握手的次数比送相片的数量少10，那么这个寝室的人数是________． 【答案】5 【分析】可通过设未知数，分别表示出握手次数和送相片数量，再根据两者数量关系列出方程求解. 【详解】依题意，设这个寝室的人数为人， 则，即， 化简得， 解得或（舍去）. 故答案为：5． 13．已知，且是第四象限的角，则的值为______. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由题意可知，则， 因为是第四象限的角， 所以，则， 故答案为：. 14．已知奇函数在上是增函数，若，则m的取值范围是______（结果用区间表示)． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简求出不等式即可解得. 【详解】由题为上奇函数， 则， 又知在上单调递增， 则，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 15．已知点为圆：上任意一点，则的最大值为 ______． 【答案】 【分析】设，，则其几何意义表示圆上点与连线的斜率，由此可得到直线的方程，再结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】设，，则直线的方程为：， 又因为点在圆上， 则， 即， 则， 化简可得，， 解得，即， 所以的最大值为. 故答案为：． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等比数列中，已知，前项和为，，公比，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列与之间的关系和通项公式即可解得. （2）根据等差数列和等比数列求和公式进行分组求和即可解得. 【详解】（1）由题，数列为等比数列，且，， 即，即， ，即，又知， 解得或（舍去），则 （2）由题，， 则 ， 即. 17．(本小题满分10分) 某工厂生产一批商品，其中一等品占，每件一等品获利20元；二等品占，每件二等品获利10元：次品占，每件次品亏损10元.设为任一件商品的获利金额（单位：元）. (1)求随机变量的概率分布； (2)求随机变量的均值. 【答案】(1)分布列见详解 (2)17 【分析】（1）根据已知给的概率列分布列即可求解. （2）根据离散型随机变量的期望公式计算即可. 【详解】（1）由题知，的所有可能取值为 ， 的概率分布为： （2）由（2）可得. 18.(本小题满分10分) 如图，在底面为菱形的四棱锥中，面，点E是的中点．    求证： (1)平面； (2)面面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的判定定理即可证明 【详解】（1）    设AC与BD交于点O，连接EO， 在中， 点E、O分别为DP、DB的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为四边形ABCD时菱形， 所以, 因为面，面， 所以 ， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以面面． 19.(本小题满分10分) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为 (1)求双曲线C的方程； (2)若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线方程，根据题设条件得到，即可求解. （2）联立直线方程与双曲线方程，根据直线与双曲线有两个不同交点，以及，求解的取值范围. 【详解】（1）∵双曲线C的右焦点为，右顶点为， ∴设双曲线方程为，即，，. 故双曲线方程为. （2）联立直线与双曲线C：的方程，得到， ，整理得，. ∵直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，设， ∴，且. 由得. 将整理得，，即. 解得，. 结合，得 ， 代入， 得到，化简得， 解得， 而且， ∴，得到或. 综上，的取值范围为. 20．(本小题满分10分) 已知函数，其中， (1)当时，把函数写成分段函数的形式； (2)当时，求在区间[1,3]上的最值； (3)设，函数在(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围（用表示）． 【答案】（1）；（2）最大值为18，最小值为4；（3）详见解析. 【分析】（1）当时，． （2）结合函数的图象（图1）可得函数在区间上最大值为，最小值为． （3）当时，函数的图象如图2所示，最小值一定在处取得，最大值在处取得，由此求出、的取值范围．当时，函数的图象如图3所示，最大值一定在处取得，最小值在处取得，由此求出、的取值范围，综合可得结论． 【详解】解：（1）当时，． （2）结合函数的图象（图可得，（1），（2），（3），， 所以函数在区间上最大值为18，最小值为4． （3）当时，函数的图象如图2所示，要使得在开区间有最大值又有最小值， 则最小值一定在处取得，最大值在处取得； 又（a），在区间内，函数值为时，，所以． ，而在区间内函数值为时， ，所以，． 当时，函数的图象如图3所示，要使得在开区间有最大值又有最小值， 则最大值一定在处取得，最小值在处取得． ，在内函数值为时，，所以，，， 在区间内，函数值为 时，，所以． 综上所述，当时，，． 当时，，． 【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，求二次函数在闭区间上的最值，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在中，，，，点D在线段AC上，. (1)求BD的长； (2)已知复数z的模为10，且以为辐角，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，求出的正弦和余弦值，在中，利用正弦定理可求解； （2）利用三角形的外角和定理及两角差的余弦公式，可得，进而得，根据复数的三角形式可得复数z，再由复数的代数运算可求解. 【详解】（1）如图所示，在中，，， 则有，， 在中，， 由正弦定理有， 所以； （2） ， 从而， 所以， 则. 22．(本小题满分10分) 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共1000个，生产一个卫兵需5个工时，生产一个骑兵需7个工时，生产一个伞兵需4个工时．已知总生产时间不超过6000个工时．若生产一个卫兵可获利润50元，生产一个骑兵可获利润60元，生产一个伞兵可获利润30元．该公司怎样分配生产任务，才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】计划生产卫兵玩具个，骑兵玩具个时，每天获得的利润最大，且最大值为元 【分析】由线性规划的应用即可得解. 【详解】解：设计划生产卫兵玩具x个，骑兵玩具y个，每天的利润为z元. 则目标函数为.     即. 线性约束条件为: . 即. 画可行域如下图所示： 列表分析: 顶点坐标 目标函数值 故当,时,z有最大值. 即计划生产卫兵玩具个，骑兵玩具个时，每天获得的利润最大，且最大值为元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $