2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（九）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（九） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则集合与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系求解即可. 【详解】因为，解得：；，解得：或， 所以，， 所以. 故选：A. 2．下列函数中，为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶函数的判定方法，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】对于A，的定义域为，但，则不是奇函数，故错误； 对于B，的定义域为，但不恒成立（当且仅当时成立），则不是奇函数，故错误； 对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，故错误； 对于D，的定义域为，且，则为奇函数，故正确. 故选：D. 3．在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】若成立,由正弦定理 所以,由大边对大角可知. 若,则. 因为. 所以. 所以在中,时的充要条件. 故选:. 4．半径为2，圆心角为的角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将角度转化为弧度，根据弧长公式可求解. 【详解】由于，由题意，根据弧长公式可知， 所求弧长. 故选：C 5．数列中，，，则该数列的前10项的和是（   ）. A．1024 B．1023 C．511 D．255 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义，前n项和公式即可求解. 【详解】由题意得，，，则. 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以. 故选：B. 6．已知点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算的规则求解即可. 【详解】因为点，，则. 故选：D. 7．已知函数，若有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以，故的取值范围为. 故选：A. 8．下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 B．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置关系即可解得. 【详解】选项A：若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面可能平行也可能相交，错误. 选项B：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行，正确. 选项C：若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，错误. 选项D：若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线可能平行、相交或异面，错误. 故选：B 9．已知圆，截直线所得线段长为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据弦长的一半等于即可求解. 【详解】由题意可知， 已知圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则有. 故选：D 10．下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像 D．函数的图像与函数的图像有交点 【答案】C 【分析】根据题意结合三角函数图像的性质逐项判断即可得解. 【详解】函数的最小正周期为，故错误； 函数在区间内为增函数，内为减函数，内为增函数，故错误； 函数的图像向左平移个单位得，故正确； 函数的值域为，函数的值域为，所以图像没有交点，故错误， 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．四川师大附中高2021级有学生600人，学生依次编号为001，002，003，…，600.现用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，已知编号为003的同学在样本中，则第11个编号是___________ 【答案】 【分析】利用系统抽样的特点即可求解. 【详解】由题意可知，抽样间隔为， 抽取的第一个样本编号为，则抽样编号为， 所以抽取的第11个编号是. 故答案为：. 12．某乒乓球队有5名队员，需派3名参加比赛．教练计划从2名主力队员中选1名排在第二场的位置，从其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，那么共有______种不同的出场安排（用数字作答）． 【答案】12 【分析】将2主力队员和3名非主力队员分开排列组合。 【详解】2名主力队员选1人到第二场，则. 其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，则. 故总共有种出场安排. 故答案为：12. 13．若，则_____________ 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式化简，再由同角三角函数的商数关系求值即可. 【详解】由， 得 即， 整理得， 所以. 故答案为：. 14．若，则x的取值范围可表示为区间______． 【答案】 【分析】根据题意结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】， 因为函数，底数，所以函数在上为增函数， 则，解得， 所以x的取值范围为， 故答案为：. 15．设函数若，则实数__________. 【答案】或 【分析】由分段函数的定义,指数函数及对数函数的性质即可得解. 【详解】因为函数 . 当时. 解得. 当时,整理得. 解得或（舍）. 所以的取值为或. 故答案为:或. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知条件判断数列是等比数列，然后根据等比数列的定义即可求出数列的通项公式； （2）利用（1）即可求出，再利用等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以数列是公比的等比数列. 又因为， 所以. 因此，数列的通项公式是. （2）因为， 所以，， 由此可知是首项为，公差为的等差数列. 又因为， 所以. 17．(本小题满分10分) 盒中有7个小球，其中3个红球，4个黄球，现从中任取3球，设为取到的红球个数. (1)求的分布列； (2)求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可知的可能取值为，依次计算出其概率，最后列出分布列. （2）根据分布列中的数据计算出数学期望即可. 【详解】（1）的所有可能取值为. ， ， ，. 则的分布列为： 0 1 2 3 （2）. 18.(本小题满分10分) 如图，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，．    (1)求证：； (2)若是上一点，平面，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，，即证明平面， 进而证明. （2）设，连接，由条件证明是的中点，进而利用求的面积，最后求三棱锥的体积即可. 【详解】（1）在直棱柱中， 底面是等腰直角三角形， 所以，又平面， 所以平面， 又平面， 所以； （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 在矩形，O是的中点， 所以D为AB的中点， 所以， .    19.(本小题满分10分) 已知函数，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2) 【分析】（1）先求解函数的定义域，再由函数奇偶性的概念判断即可. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）由，得的定义域为，定义域关于原点对称， 因为 所以为偶函数． （2）由得 因为函数在其定义域内为增函数， 所以，解得 故原不等式的解集为 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l的斜率为时，在x轴上是否存在一点P(异于点F），使x轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列出关于、、的方程求解； （2）先根据已知条件求出直线与椭圆的交点坐标关系，再根据轴上任意一点到直线与到直线的距离相等得到，进而求出点坐标. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为， 已知椭圆的离心率， 当直线与轴垂直时，直线的方程为， 代入椭圆方程可得， 又因为，所以，则， 那么，解得， 又，， 所以，解得，从而， ∴椭圆C的标准方程为． （2）由（1）可得， 根据题意可设直线，， 设，，，， 联立方程， 消去y得， 则， 可得，，① 由题意可知x轴为直线与直线的对称轴， 则， 可得， 因为，可得， 整理得，② 将①代入②得，解得， ∴存在点P，使x轴上任意一点到直线与到直线的距离相等，此时. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求； (2)如图，为边上一点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角利用同角三角函数平方关系即可求得. （2）解法一：设，在中，利用余弦定理求出的值及，再求得，即可得解； 解法二：由图形中角度的关系结合正弦定理、三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，由已知条件结合正弦定理得， 因为，所以，于是，又， 所以，因为，所以 （2） 解法一：设， 易知，所以 在中，由余弦定理得，解得. 所以； 在中，，，，所以， 由勾股定理得，所以，所以. 解法二：因为，所以，因为， 所以，，所以， 因为A为锐角，所以， 又，所以，， 所以 . 22．(本小题满分10分) 某公司生产甲、乙两种产品，已知每生产1t甲产品要消耗A原料2t，B原料3t；生产1t乙产品要消耗A原料1t，B原料5t．每销售1t甲产品可获得利润6万元，每销售1t乙产品可获得利润4万元．该公司在一个生产周期内可供利用的A原料不超过11t，B原料不超过27t.在一个生产周期内甲、乙两种产品的产量各为多少时，可使该公司获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】甲、乙两种产品各生产4t、3t时，所获利润最大为36万元 【分析】先由题意得出约束条件，作出可行域，再根据目标函数即可求解最大值. 【详解】设在一个生产周期内甲、乙两种产品各生产（t），所获利润为万元， 则有目标函数， 作出可行域，如图所示： 目标函数，即， 则表示斜率为的直线在轴上截距的4倍， 由解得即， 所以当过时，取最大值， 因此，当时，最大利润为（万元）， 即甲、乙两种产品各生产4t、3t时，所获利润最大为36万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第9卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（九） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则集合与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．半径为2，圆心角为的角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 5．数列中，，，则该数列的前10项的和是（   ）. A．1024 B．1023 C．511 D．255 6．已知点，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，若有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列命题正确的是（    ） A．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 B．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行 C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 D．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 9．已知圆，截直线所得线段长为，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 10．下列命题中正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数在区间内是减函数 C．函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像 D．函数的图像与函数的图像有交点 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．四川师大附中高2021级有学生600人，学生依次编号为001，002，003，…，600.现用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，已知编号为003的同学在样本中，则第11个编号是___________ 12．某乒乓球队有5名队员，需派3名参加比赛．教练计划从2名主力队员中选1名排在第二场的位置，从其余3名非主力队员中选2名排在第一、三场位置，那么共有______种不同的出场安排（用数字作答）． 13．若，则_____________ 14．若，则x的取值范围可表示为区间______． 15．设函数若，则实数__________. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 17．(本小题满分10分) 盒中有7个小球，其中3个红球，4个黄球，现从中任取3球，设为取到的红球个数. (1)求的分布列； (2)求. 18.(本小题满分10分) 如图，在直棱柱中，底面是等腰直角三角形，．    (1)求证：； (2)若是上一点，平面，求三棱锥的体积． 19.(本小题满分10分) 已知函数，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求不等式的解集． 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l的斜率为时，在x轴上是否存在一点P(异于点F），使x轴上任意一点到直线与到直线的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. (1)求； (2)如图，为边上一点，，，求的面积. 22．(本小题满分10分) 某公司生产甲、乙两种产品，已知每生产1t甲产品要消耗A原料2t，B原料3t；生产1t乙产品要消耗A原料1t，B原料5t．每销售1t甲产品可获得利润6万元，每销售1t乙产品可获得利润4万元．该公司在一个生产周期内可供利用的A原料不超过11t，B原料不超过27t.在一个生产周期内甲、乙两种产品的产量各为多少时，可使该公司获得最大利润？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $