15.3 互斥事件和独立事件（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十五章 概率 15.3 互斥事件和独立事件 知识点一 互斥事件 1.定义：在一次试验中，两个事件A与B不可能同时发生，即A∩B=∅，称事件A与B为互斥事件。 2.概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 推广：n个两两互斥事件和的概率：P(A1∪A2 ∪⋯∪An )=P(A1)+P(A2 )+⋯+P(An)。 即学即练 （22-23高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件： ①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生， ③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生， 其中为互斥事件的序号是__． 知识点二 对立事件 1.对立事件（互逆事件）：若A、B互斥，且A∪B=Ω（必然事件），即A∩B=∅且A∪B=Ω，称A 与B互为对立事件，记B= 2.核心关系：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.概率公式：P(A)+P()=1，即P(A)=1−P()（“正难则反” 的核心依据）。 即学即练 （2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 知识点三 相互独立事件 1. 定义：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 核心性质：（1）若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 （2）独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 3. 概率公式：（1）积事件概率：P(AB)=P(A)P(B)（独立事件专用，区别于互斥事件的和事件公式）。 （2）推广到n个相互独立事件A1 ,A2 ,…,An：P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2)…P(An)。 即学即练 （25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 题型01 判断所给事件是否是互斥关系 判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 2．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是______.①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 题型02 互斥事件与对立事件关系的辨析 判断事件对立的两步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 典｜例｜精｜析 （多选）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型03 互斥事件的概率加法公式 1.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 2.解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 典｜例｜精｜析 （2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，求出现1点或2点的概率； 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 题型04 确定所给事件的对立关系 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·河南郑州·期末）甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件为“甲、乙、丙都投中”，则与互为对立事件的是（   ） A．甲、乙、丙恰有两人投中 B．甲、乙、丙都没有投中 C．甲、乙、丙至少有一人没有投中 D．甲、乙、丙至多有一人没有投中 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 题型05 写出某事件的对立事件 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 .变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 2．（25-26高三·全国·一轮复习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 题型06 利用对立事件的概率公式求概率 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 题型07 独立事件的判断 1.定义法：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 性质法：若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. .变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 2.（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 题型08 相互独立事件与互斥事件 1.互斥事件判断：核心是 “不能同时发生”，需结合试验结果逐一验证，避免与 “独立事件” 混淆。 2.对立事件判断：需同时满足 “互斥” 和 “必有一个发生” 两个条件，缺一不可。对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 典｜例｜精｜析 （多选）（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． .变｜式｜巩｜固 1．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 2．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 题型09 独立事件的乘法公式 典｜例｜精｜析 （25-26高二下·福建莆田·月考）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 题型10 独立事件的实际应用 公式适用场景： 1.求 “至少一个发生” 的概率：优先用对立事件（1−P(都不发生)），简化计算； 2.求 “同时发生” 的概率：独立事件用P(AB)=P(A)P(B)，非独立需结合古典概型等计算； 3.求 “恰好一个发生” 的概率：P(AB)+P(AB)（若A、B独立，可展开为P(A)(1−P(B))+P(B)(1−P(A))）。 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 概率 15.3 互斥事件和独立事件 知识点一 互斥事件 1.定义：在一次试验中，两个事件A与B不可能同时发生，即A∩B=∅，称事件A与B为互斥事件。 2.概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 推广：n个两两互斥事件和的概率：P(A1∪A2 ∪⋯∪An )=P(A1)+P(A2 )+⋯+P(An)。 即学即练 （22-23高一·全国·单元测试）某小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学去参加演讲比赛，有下列4对事件： ①至少有1名男生和至少有1名女生，②恰有1名男生和恰有2名男生， ③至少有1名男生和全是男生，④至少有1名男生和全是女生， 其中为互斥事件的序号是__． 【答案】②④ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】互斥事件是指不能同时发生的事件，由此判断各个选项中的两件事是否能同时发生，从而作出判断． 【详解】互斥事件是指不能同时发生的事件， ①至少有1名男生和至少有1名女生，不是互斥事件，当取出的2个人正好是1名男生和1名女生时，这两件事同时发生了． ②恰有1名男生和恰有2名男生，这两件事不能同时发生，故是互斥事件． ③至少有1名男生和全是男生，不是互斥事件，因为“至少有1名男生”包含了“全是男生”的情况． ④至少有1名男生和全是女生，是互斥事件，因为这两件事不能同时发生． 故答案为：②④． 知识点二 对立事件 1.对立事件（互逆事件）：若A、B互斥，且A∪B=Ω（必然事件），即A∩B=∅且A∪B=Ω，称A 与B互为对立事件，记B= 2.核心关系：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.概率公式：P(A)+P()=1，即P(A)=1−P()（“正难则反” 的核心依据）。 即学即练 （2026·广东汕头·模拟预测）“”是“事件A与事件B互为对立事件”的（   ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、确定所给事件的对立关系 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 知识点三 相互独立事件 1. 定义：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 核心性质：（1）若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 （2）独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 3. 概率公式：（1）积事件概率：P(AB)=P(A)P(B)（独立事件专用，区别于互斥事件的和事件公式）。 （2）推广到n个相互独立事件A1 ,A2 ,…,An：P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2)…P(An)。 即学即练 （25-26高二下·辽宁沈阳·月考）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 题型01 判断所给事件是否是互斥关系 判断事件是否互斥的两步骤 第一步，确定每个事件包含的结果； 第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的． 典｜例｜精｜析 （24-25高二上·上海黄浦·期末）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有________ . ①A：“所取3件中至多2件次品”，B：“所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B：“所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”. 【答案】②③ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】对于①，写出两个事件的基本事件，两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误；对于②，两事件不可能同时发生，②正确；对于③，写出两个事件的基本事件，得到③正确；对于④，两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 【详解】对于①，A：“所取3件中至多2件次品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少2件为次品”包含2个基本事件，即3件次品；2件次品，1件正品； 两事件均包含2件次品，1件正品，故不是互斥事件，①错误； 对于②，A：“所取3件中有一件为次品”，和B：“所取3件中有二件为次品”不可能同时发生，为互斥事件，②正确； 对于③，B：“所取3件中至少有一件为次品”包含3个基本事件，即1件次品，2件正品；2件次品，1件正品；3件次品； 与A：“所取3件中全是正品”不可能同时发生，故为互斥事件，③正确； 对于④，A：“所取3件中至多有2件次品”，包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； B：“所取3件中至少有一件是正品”包含3个基本事件，即3件正品；1件次品，2件正品；2件次品，1件正品； 两事件为同一事件，故不是互斥事件，④错误. 故答案为：②③ 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 2．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）从一批产品（其中正品､次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是______.①恰好有1件次品和恰好有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1件次品；④至少有1件次品和全是正品. 【答案】①④ 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件的概念逐个判断即可. 【详解】从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件， 恰有1件次品和恰有2件次品是互斥的； 至少有1件次品和全是正品是互斥的； 至少有件正品和至少有件次品能同时发生，两者不是互斥事件； 至少有件次品和全是次品能同时发生，两者不是互斥事件； ∴①④是互斥事件. 故答案为：①④ 题型02 互斥事件与对立事件关系的辨析 判断事件对立的两步骤 第一步，判断是互斥事件； 第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立． 典｜例｜精｜析 （多选）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【知识点】确定所给事件的对立关系、互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 【答案】ABC 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、事件的运算及其含义、判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误. 【详解】选项ABC错误，反例如下： 在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2， 取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5， 显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误； 是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误； ，C错误， 由条件无法确定事件的关系，D正确. 故选：ABC 2．（25-26高一上·江西南昌·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【知识点】确定所给事件的对立关系、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 题型03 互斥事件的概率加法公式 1.求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 2.解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析． 典｜例｜精｜析 （2026高一·全国·专题练习）袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式列出方程组求解即可. 【详解】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）抛掷一枚骰子，观察出现的点数，设事件为“出现1点”，事件为“出现2点”．已知，求出现1点或2点的概率； 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】应用互斥事件的加法公式求概率即可. 【详解】抛掷一枚骰子，“出现1点”和“出现2点”不能同时发生，所以事件与事件互斥， 故出现1点或2点的概率为． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式计算求解； （2）应用互斥事件的概率加法公式计算求解. 【详解】（1）∵事件与事件是互斥事件．∴由互斥事件的概率加法公式得： （2）∵事件与事件是互斥事件，∴由互斥事件的概率加法公式得： 题型04 确定所给事件的对立关系 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·河南郑州·期末）甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件为“甲、乙、丙都投中”，则与互为对立事件的是（   ） A．甲、乙、丙恰有两人投中 B．甲、乙、丙都没有投中 C．甲、乙、丙至少有一人没有投中 D．甲、乙、丙至多有一人没有投中 【答案】C 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】由题意结合对立事件的定义可得. 【详解】由题意可得与互为对立事件的是甲、乙、丙不是都投中的，也即至少有一人没有投中. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 2．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、互斥事件与对立事件关系的辨析 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 题型05 写出某事件的对立事件 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·云南·期末）连续抛一枚硬币三次，事件“至多有一次硬币正面朝上”的对立事件是（   ） A．至少有一次硬币正面朝上 B．至少有两次硬币正面朝上 C．至少有一次硬币反面朝上 D．至少有两次硬币反面朝上 【答案】B 【知识点】写出某事件的对立事件、确定所给事件的对立关系 【分析】根据对立事件定义判断求解. 【详解】因为事件“至多有一次硬币正面朝上”是“0次或1次硬币正面朝上”， 对立事件是“2次或3次硬币正面朝上”，即“至少有两次硬币正面朝上”. 故选：B. .变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 【答案】C 【知识点】写出某事件的对立事件、确定所给事件的对立关系 【分析】写出某人连续投篮3次，包含的所有基本事件，利用对立事件的定义可得答案. 【详解】某人连续投篮3次，包含的基本事件有①全部没投中，②1次投中，2次没投中， ③2次投中，1次没投中，④全部投中这4个， 事件“至少投中2次”包含基本事件③和④， 事件“投中1次或全部没投中”包含基本事件①和②，则它们互为对立事件， 其他选项不合要求. 故选：C. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（   ） A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 【答案】D 【知识点】写出某事件的对立事件 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 题型06 利用对立事件的概率公式求概率 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解． 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·全国·课堂例题）一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【答案】得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率公式计算即可. 【详解】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，． 题型07 独立事件的判断 1.定义法：对于两个事件A、B，若事件A的发生不影响事件B发生的概率，即P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立。 2. 性质法：若A与B独立，则与B、A与、与也相互独立。 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不相互独立，理由见解析 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的判断、计算古典概型问题的概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）写出所有的样本点，再根据古典概率公式即可得出答案； （2）利用独立性事件同时发生的乘法公式及互斥事件发生的加法公式计算，再验证与是否相等即可判断. 【详解】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. .变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 2.（25-26高二下·云南怒江·月考）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念以及事件的概率求法逐一判断即可. 【详解】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 题型08 相互独立事件与互斥事件 1.互斥事件判断：核心是 “不能同时发生”，需结合试验结果逐一验证，避免与 “独立事件” 混淆。 2.对立事件判断：需同时满足 “互斥” 和 “必有一个发生” 两个条件，缺一不可。对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件（对立是互斥的特例）。 3.独立事件与互斥事件无必然联系（独立强调 “互不影响”，互斥强调 “不能同时发生”，二者不可混淆）。 典｜例｜精｜析 （多选）（25-26高一上·江西抚州·期末）抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（     ） A．A与B是相互独立事件 B．A与B是互斥事件 C．与C是对立事件 D． 【答案】AD 【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件与对立事件关系的辨析、互斥事件的概率加法公式、判断所给事件是否是互斥关系 【分析】选项A：根据古典概型判断相互独立事件；选项B：根据互斥事件的定义判断互斥事件；选项C：先列出 和 的所有样本点，验证两者是否互斥，再验证它们的并集是否为全集，或概率和是否为 1，从而判断是否为对立事件；选项D：先判断事件 和 是否互斥（无共同样本点），再使用互斥事件的概率加法公式计算即可判断. 【详解】选项A：由已知得，因为，， 所以，即与互不影响，A正确. 选项B：事件与事件能同时发生，故与不是互斥事件，B错误. 选项C：， ， 故事件与不是对立事件，C错误. 选项D：因为事件，事件， 则不可能同时发生，故与互斥，所以，D正确. 故选：AD. .变｜式｜巩｜固 1．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 2．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【知识点】独立事件的判断、相互独立事件与互斥事件 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 题型09 独立事件的乘法公式 典｜例｜精｜析 （25-26高二下·福建莆田·月考）小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】先明确积分为0分终止的所有可能比赛场次情况，上述情况的概率相加，得到比赛终止时积分为0分的总概率. 【详解】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一下·江苏无锡·期末）设随机事件、相互独立，且，，则______． 【答案】/ 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求出的值，再利用求解即可. 【详解】因为随机事件、相互独立，且，， 则， 故. 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】/ 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解. 【详解】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 题型10 独立事件的实际应用 公式适用场景： 1.求 “至少一个发生” 的概率：优先用对立事件（1−P(都不发生)），简化计算； 2.求 “同时发生” 的概率：独立事件用P(AB)=P(A)P(B)，非独立需结合古典概型等计算； 3.求 “恰好一个发生” 的概率：P(AB)+P(AB)（若A、B独立，可展开为P(A)(1−P(B))+P(B)(1−P(A))）。 典｜例｜精｜析 （24-25高一下·河南·期末）、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【答案】(1) (2) (3)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由见解析 【知识点】独立事件的实际应用、独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得出的值； （2）对三局的输赢情况进行分类讨论，结合题意可求出、两队打平的概率； （3）设丁获胜的概率为，对队三位棋手的出场顺序进行分类讨论，求出每种情况下的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以． 故． （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立事件的实际应用、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据获胜规则，结合相互独立事件的概率乘法公式可得； （2）根据前4局甲乙各胜两局求解即可； （3）根据2局结束比赛、4局结束比赛和6局结束比赛，利用相互独立事件的概率乘法公式求解可得. 【详解】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 2．（2025高一·全国·专题练习）已知甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为0分和2分的概率； (2)求甲队得2分且乙队得1分的概率． 【答案】(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为. (2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 【知识点】独立重复试验的概率问题、独立事件的实际应用 【分析】（1）（2）运用独立事件概率相关知识，可容易解出. 【详解】（1）设甲队总得分为0分为事件，甲队总得分为2分为事件. 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率. 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余2人答对，其概率. （2）设乙队得1分为事件，甲队得2分且乙队得1分为事件.则 ， 所以. 综上，(1)甲队总得分为0分和2分的概率分别为；(2)甲队得2分且乙队得1分的概率为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $