专题1 集合及其表示（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合及其表示 【复习目标】 1.理解集合、元素及其关系； 2.理解常用数集，空集； 3.掌握集合的表示法（列举法、描述法）. 【考点1 集合的概念】 1. 集合的定义：由一些确定的、不同的对象组成的整体叫做集合（简称集），集合中的每一个对象叫做这个集合的______（填“元素”或“个体”）. 2. 集合的核心特征： （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是______的（填“确定”或“不确定”），不能模棱两可. （2）互异性：集合中的元素一定是______的（填“互不相同”或“可以重复”），相同元素在集合中只出现一次. （3）无序性：集合中的元素没有______之分（填“顺序”或“大小”），如{1,2}与{2,1}表示同一个集合. 3. 元素与集合的关系：若a是集合A的元素，记作______；若a不是集合A的元素，记作______（用符号表示）. 4. 常用数集及其记法： （1）自然数集（非负整数集）：记作______，包含0,1,2,3, （2）正整数集：记作______或______，包含1,2,3, （3）整数集：记作______，包含,-2,-1,0,1,2, （4）有理数集：记作______，包含所有整数和分数. （5）实数集：记作______，包含所有有理数和无理数. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 所有漂亮的鲜花 B. 著名的科学家 C. 小于5的正整数 D. 接近1的数 2. 下列各项中，不能组成集合的是（ ） A. 所有直角三角形 B. 本班成绩优秀的学生 C. 方程的实数解 D. 大于0且小于10的偶数 3. 若集合M是由英文单词“mathematics”中的字母组成的集合，则集合M中的元素个数为 (　) A. 4　 B. 6　 C. 8　 D. 11 4. 已知集合，则不能取的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 5. 集合与的关系是（ ） A. 同一个集合 B. 两个不同的集合 C. 元素个数不同 D. 无法判断 6. 下列关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. 下列属于集合特征的是（ ） A. 确定性 B. 互异性 C. 无序性 D. 唯一性 8. 下列元素与集合的关系表述正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 9. 已知集合，(1)若，则______；(2)若，则______. 10. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______. 【考点2 集合的表示法】 1. 列举法：把集合中的元素______出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法，适用于元素个数______的集合（填“有限”或“无限”）. 注意：列举时不重复、不遗漏，元素顺序无关，如集合{2,4,6}也可表示为{4,2,6}. 2. 描述法：用集合中元素的______来表示集合的方法，一般形式为{ x | P(x) }，其中x是集合的代表元素，P(x)是元素x所具有的______. 注意：（1）代表元素要明确，如{ x | x>2 }与{ y | y>2 }表示同一个集合；（2）描述的特征性质要准确，不能出现歧义. 3. 韦恩图法：也叫文氏图，是利用_______的曲线来表示集合的一种方法，常用于表示集合之间的关系，一般用平面上的矩形、圆形或椭圆形表示一个集合. 4. 区间表示法：适用于表示___集合（填“数集”或“非数集”），如{x | 1≤x<3}可表示为____. 5. 空集：不含任何元素的集合，记作______；注意： ≠{0}（{0}含元素0，空集不含任何元素）. 【即时训练】 一、单选题 1. 用列举法表示小于6的所有自然数组成的集合，正确的是（ ） A. {0,1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,5} C. {1,2,3,4,5} D. {1,2,3,4} 2. 方程的解集用列举法表示为（ ） A. {1} B. {2} C. {1,2} D. (1,2) 3. 集合用列举法表示为（ ） A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4,5} D. 全体小于5的自然数 4. 用描述法表示集合，正确的是（ ） A. B. {} C. D. {} 5. 下列集合表示方法正确的是（ ） A. {1,2,2} B. C. {实数集} D. 空集记作{} 6. 下列集合不同于其他三个集合的是（ ） A. B. {偶数} C. D. {2,4,6,8} 二、多选题 7. 下列集合能用列举法表示的有（ ） A. 大于1且小于5的整数 B. 小于100的自然数 C. 所有实数 D. 方程的解 8. 下列集合表示方法是描述法的有（ ） A. B. C. D. 正方形 三、填空题 9. (1)用列举法表示方程的实数根组成的集合：______； (2)用描述法表示所有正偶数组成的集合：______. 10. (1)集合是空集，则的取值范围为______（用描述法表示）； (2)方程组的解集为______（用列举法表示）. 11. 用列举法表示集合 __________. 12. 在平面直角坐标系中，集合是第 象限内的点组成的集合. 【考点3 集合的分类】 集合的分类主要有两种常用标准：按______个数分类和按元素类型分类. 1. 按元素个数分类： （1）有限集：含有______个元素的集合（填“有限”或“无限”），如{1,2,3}、{x | x是小于5的正整数}. （2）无限集：含有______个元素的集合（填“有限”或“无限”），如N、Z、Q、R，以及{x | x>2}. （3）空集：不含______元素的集合，记作______，空集是______集（填“有限”或“无限”）. 2. 按元素类型分类（补充）： （1）数集：元素是______的集合（填“数”或“非数”），如自然数集N、实数集R，是最常见的集合类型. （2）非数集：元素不是数的集合，如{中国的直辖市}、{三角形}，元素为具体事物或图形等. 注意：（1）空集是有限集；（2）判断有限集与无限集的关键是看元素的个数是否可以一一列举完毕. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列集合中，属于有限集的是（ ） A. 自然数集N B. {x | x是大于3的整数} C. {1,3,5,7} D. 实数集R 2. 下列集合中，属于无限集的是（ ） A. {x | x是小于10的正奇数} B. {0} C. {x | x²=4} D. {x | x是实数且x≠0} 3. 下列关于空集的说法，正确的是（ ） A. 空集含有1个元素0 B. 空集记作{} C. 空集是有限集 D. 空集是无限集 4. 下列集合中，与其他三个集合类型不同的是（ ） A. {实数} B. C. D. 二、多选题 5. 下列集合中，是有限集的有（ ） A. {x | x是方程x²-5x+6=0的解} B. {中国的省级行政区} C. N* D. {x | 0<x<10} 6. 下列集合中，是无限集的有（ ） A. {1,2,3} B. Z C. {x | x是正方形} D. Q 三、填空题 7. 设集合 ，集合 . （1）集合 是______（填“有限集”或“无限集”）； （2）集合 是______（填“有限集”或“无限集”）. 1.（2010年湖北省高职统考第1题）下列符号分别是自然数集，实数集，有理数集和整数集的是( ) A . N, Q, Z., R B. N, Z, Q, R C. N, R, Q, Z D. Z, R, Q, N 2.（2009年湖北省高职统考第1题）下列集合①，②，③，④中有限集的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升.针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合及其表示 【复习目标】 1.理解集合、元素及其关系； 2.理解常用数集，空集； 3.掌握集合的表示法（列举法、描述法）. 【考点1 集合的概念】 1. 集合的定义：由一些确定的、不同的对象组成的整体叫做集合（简称集），集合中的每一个对象叫做这个集合的 元素 （填“元素”或“个体”）. 2. 集合的核心特征： （1）确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是 确定 的（填“确定”或“不确定”），不能模棱两可. （2）互异性：集合中的元素一定是 互不相同 的（填“互不相同”或“可以重复”），相同元素在集合中只出现一次. （3）无序性：集合中的元素没有 顺序 之分（填“顺序”或“大小”），如{1,2}与{2,1}表示同一个集合. 3. 元素与集合的关系：若a是集合A的元素，记作；若a不是集合A的元素，记作（用符号表示）. 4. 常用数集及其记法： （1）自然数集（非负整数集）：记作 N ，包含0,1,2,3, （2）正整数集：记作 或_____，包含1,2,3, （3）整数集：记作 Z ，包含,-2,-1,0,1,2, （4）有理数集：记作 Q ，包含所有整数和分数. （5）实数集：记作 R ，包含所有有理数和无理数. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列各组对象中，能构成集合的是（ ） A. 所有漂亮的鲜花 B. 著名的科学家 C. 小于5的正整数 D. 接近1的数 【考点】集合的概念-集合中的元素具有确定性 【答案】C 【解析】A、B、D中的对象不具有确定性（“漂亮”、“著名”、“接近”无明确标准），不能构成集合；C中小于5的正整数为1,2,3,4，对象确定，能构成集合. 2. 下列各项中，不能组成集合的是（ ） A. 所有直角三角形 B. 本班成绩优秀的学生 C. 方程的实数解 D. 大于0且小于10的偶数 【考点】集合的概念-集合中的元素具有确定性 【答案】B 【解析】B中“成绩优秀”没有统一的评判标准，对象不具备确定性，无法构成集合；其余选项对象均确定，可构成集合. 3. 若集合M是由英文单词“mathematics”中的字母组成的集合，则集合M中的元素个数为 (　) A. 4　 B. 6　 C. 8　 D. 11 【考点】集合的概念-集合中的元素具有互异性 【答案】C 【解析】集合M中互不相同的元素有m、a、t、h、e、i、c、s共8个. 4. 已知集合，则不能取的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 【考点】集合的概念-集合中的元素具有互异性 【答案】B 【解析】根据集合中元素的互异性，集合中元素不能重复，故不能取1、2. 5. 集合与的关系是（ ） A. 同一个集合 B. 两个不同的集合 C. 元素个数不同 D. 无法判断 【考点】集合的概念-集合中的元素具有无序性 【答案】A 【解析】集合中的元素具有无序性，元素完全相同的两个集合为同一集合. 6. 下列关系表述正确的是（ ） A. B. C. D. 【考点】元素与集合的关系、常用数集的记法 【答案】D 【解析】0是自然数，；是无理数，；π是一个无限不循环小数，；是整数，. 二、多选题 7. 下列属于集合特征的是（ ） A. 确定性 B. 互异性 C. 无序性 D. 唯一性 【考点】集合的概念-集合中元素具有的三个特征 【答案】ABC 【解析】集合中元素的三大核心特征为确定性、互异性、无序性，不存在唯一性这一特征. 8. 下列元素与集合的关系表述正确的有（ ） A. B. C. D. 【考点】元素与集合的关系 【答案】ACD 【解析】N为非负整数集，不属于N；正整数集包含5，有理数集Q包含分数，实数集R包含无理数. 三、填空题 9. 已知集合，(1)若，则______；(2)若，则______. 【考点】集合的概念-集合中的元素具有互异性 【答案】（1）或； （2）0. 【解析】（1）解方程得或，且均满足集合中元素的互异性； (2)解方程 得 或，与集合已有元素重复，舍去，故. 10. 用符号“∈”或“∉”填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______. 【考点】元素与集合关系 【答案】；∈；∉；∈ 【解析】结合常用数集范围及元素与集合关系判断即可. 【考点2 集合的表示法】 1. 列举法：把集合中的元素 一一列举 出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法，适用于元素个数 有限 的集合（填“有限”或“无限”）. 注意：列举时不重复、不遗漏，元素顺序无关，如集合{2,4,6}也可表示为{4,2,6}. 2. 描述法：用集合中元素的 特征性质 来表示集合的方法，一般形式为{ x | P(x) }，其中x是集合的代表元素，P(x)是元素x所具有的 特征性质 . 注意：（1）代表元素要明确，如{ x | x>2 }与{ y | y>2 }表示同一个集合；（2）描述的特征性质要准确，不能出现歧义. 3. 韦恩图法：也叫文氏图，是利用 封闭 的曲线来表示集合的一种方法，常用于表示集合之间的关系，一般用平面上的矩形、圆形或椭圆形表示一个集合. 4. 区间表示法：适用于表示 数集 集合（填“数集”或“非数集”），如{x | 1≤x<3}可表示为. 5. 空集：不含任何元素的集合，记作；注意： ≠{0}（{0}含元素0，空集不含任何元素）. 【即时训练】 一、单选题 1. 用列举法表示小于6的所有自然数组成的集合，正确的是（ ） A. {0,1,2,3,4} B. {0,1,2,3,4,5} C. {1,2,3,4,5} D. {1,2,3,4} 【考点】集合的表示方法-列举法 【答案】B 【解析】自然数包含0，小于6的自然数为0、1、2、3、4、5. 2. 方程的解集用列举法表示为（ ） A. {1} B. {2} C. {1,2} D. (1,2) 【考点】集合的表示方法-列举法 【答案】C 【解析】解方程得，，方程的解集用列举法表示为{1,2}. 3. 集合用列举法表示为（ ） A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4,5} D. 全体小于5的自然数 【考点】集合的表示方法-描述法列举法 【答案】A 【解析】x属于自然数集且x<5，符合条件的元素为0、1、2、3、4. 4. 用描述法表示集合，正确的是（ ） A. B. {} C. D. {} 【考点】集合的表示方法-列举法描述法 【答案】C 【解析】解方程得，集合为，符合要求.其它选项都仅含一个元素，不符合要求. 5. 下列集合表示方法正确的是（ ） A. {1,2,2} B. C. {实数集} D. 空集记作{} 【考点】集合的表示方法 【答案】B 【解析】A不符号元素的互异性；C正确表示为R或是实数或实数；D空集记作，是含元素的集合. 6. 下列集合不同于其他三个集合的是（ ） A. B. {偶数} C. D. {2,4,6,8} 【考点】集合的表示方法 【答案】D 【解析】A、B、C均表示全体偶数构成的集合，D表示仅含元素2,4,6,8的集合. 二、多选题 7. 下列集合能用列举法表示的有（ ） A. 大于1且小于5的整数 B. 小于100的自然数 C. 所有实数 D. 方程的解 【考点】集合的表示方法-列举法 【答案】ABD 【解析】C中实数有无数个，无法一一列举，其余选项元素均可一一列举，适合用列举法表示. 8. 下列集合表示方法是描述法的有（ ） A. B. C. D. 正方形 【考点】集合的表示方法 【答案】ACD 【解析】集合的描述法是利用元素的特征性质来表示集合的方法，一般形式为，也可使用文字描述. A：符合描述法一般形式，是描述法；B：是点集，只有一个元素，是列举法；C：{符合描述法一般形式，是描述法；D：正方形用文字描述集合元素的特征，属于描述法的文字形式. 三、填空题 9. (1)用列举法表示方程的实数根组成的集合：______； (2)用描述法表示所有正偶数组成的集合：______. 【考点】集合的表示方法 【答案】(1)； (2)（或或）. 【解析】(1)解方程得，用列举法表示即可. (2)抓住正偶数能被2整除且为正整数的特征书写. 10. (1)集合是空集，则的取值范围为______（用描述法表示）； (2)方程组的解集为______（用列举法表示）. 【考点】集合的表示方法 【答案】(1)； (2). 【解析】(1)集合是空集，说明一元二次方程无实数根. 对于一元二次方程（），无实根的充要条件是判别式. 本题中，，，因此： 令，即：解不等式： 按题目要求用描述法表示的取值范围，即; (2)解方程组，用加减消元法： 将两个方程相加： , 化简得：，解得. 将代入，得： 因此方程组的解为. 按题目要求用列举法表示解集（方程组的解集是有序数对的集合），即. 11. 用列举法表示集合 __________. 【考点】集合的表示法 【答案】 【解析】已知集合 ，其中 是自然数集（正整数和 ）， 是整数集。要使 为自然数，需满足： 是 的正约数（分母不能为 ，且结果为自然数，故 ）， 的正约数为：， 分别求解 ： 当 时，；当 时，；当 时，；当 时，；当 时，；当 时，. 因此用列举法表示为： 12. 在平面直角坐标系中，集合是第 象限内的点组成的集合. 【考点】集合的表示法 【答案】二、四 【解析】1. 理解集合 的含义 条件 表示： 和 的符号相反（一个为正，一个为负），也就是： 情况 1： 且 ；情况 2： 且 2. 对应平面直角坐标系的象限 四个象限的坐标符号规律：第一象限：（同号，乘积为正）；第二象限：（异号，乘积为负）；第三象限：（同号，乘积为正）；第四象限：（异号，乘积为负）. 所以满足 的点，对应的是第二象限和第四象限内的点. 【考点3 集合的分类】 集合的分类主要有两种常用标准：按 元素 个数分类和按元素类型分类. 1. 按元素个数分类： （1）有限集：含有 有限 个元素的集合（填“有限”或“无限”），如{1,2,3}、{x | x是小于5的正整数}. （2）无限集：含有 无限 个元素的集合（填“有限”或“无限”），如N、Z、Q、R，以及. （3）空集：不含 任何 元素的集合，记作，空集是 有限 集（填“有限”或“无限”）. 2. 按元素类型分类（补充）： （1）数集：元素是 数 的集合（填“数”或“非数”），如自然数集N、实数集R，是最常见的集合类型. （2）非数集：元素不是数的集合，如{中国的直辖市}、{三角形}，元素为具体事物或图形等. 注意：（1）空集是有限集；（2）判断有限集与无限集的关键是看元素的个数是否可以一一列举完毕. 【即时训练】 一、单选题 1. 下列集合中，属于有限集的是（ ） A. 自然数集N B. {x | x是大于3的整数} C. {1,3,5,7} D. 实数集R 【考点】集合的分类-有限集 【答案】C 【解析】A、B、D集合中元素的个数无限，属于无限集；C中集合元素为1,3,5,7，个数有限，属于有限集. 2. 下列集合中，属于无限集的是（ ） A. {x | x是小于10的正奇数} B. {0} C. {x | x²=4} D. {x | x是实数且x≠0} 【考点】集合的分类-无限集 【答案】D 【解析】A、B、C集合中的元素个数有限（分别为1,3,5,7；0；±2），属于有限集；D中x是实数且x≠0的元素有无数个，属于无限集. 3. 下列关于空集的说法，正确的是（ ） A. 空集含有1个元素0 B. 空集记作{} C. 空集是有限集 D. 空集是无限集 【考点】空集的概念 【答案】C 【解析】A错误，空集不含任何元素；B错误，空集记作，{}是含有一个元素的集合；C正确，空集是特殊的有限集；D错误，空集不是无限集. 4. 下列集合中，与其他三个集合类型不同的是（ ） A. {实数} B. C. D. 【考点】集合的分类 【答案】A 【解析】本题考查的是集合的分类，不是考查集合的表示方法. B、C、D集合中的元素个数有限，都是有限集；A集合中实数有无数个，是无限集，与其他三个类型不同. 二、多选题 5. 下列集合中，是有限集的有（ ） A. {x | x是方程x²-5x+6=0的解} B. {中国的省级行政区} C. N* D. {x | 0<x<10} 【考点】集合的分类 【答案】AB 【解析】A中方程的解为2和3，元素个数有限，是有限集；B中中国省级行政区个数有限（34个），是有限集；C、D中集合元素个数无限，是无限集. 6. 下列集合中，是无限集的有（ ） A. {1,2,3} B. Z C. {x | x是正方形} D. Q 【考点】集合的分类 【答案】BCD 【解析】A：集合{1,2,3}中只有3个元素，是有限集；B：Z是整数集，是无限集；C：集合是正方形集合，是无限集；D：Q是有理数集，是无限集. 三、填空题 7. 设集合 ，集合 . （1）集合 是______（填“有限集”或“无限集”）； （2）集合 是______（填“有限集”或“无限集”）. 【考点】集合的分类 【答案】（1）有限集（2）无限集 【解析】（1）的取值范围是之间的整数，即，共9个值，对应的也有9个，故为有限集. （2）取所有整数，对应的也有无限多个，故为无限集. 1.（2010年湖北省高职统考第1题）下列符号分别是自然数集，实数集，有理数集和整数集的是( ) A . N, Q, Z., R B. N, Z, Q, R C. N, R, Q, Z D. Z, R, Q, N 【考点】本题考查常见数集的符号表示，属于集合基础概念题，核心是准确记忆自然数集、实数集、有理数集、整数集的专用符号. 【答案】C 【解析】明确各数集符号： 自然数集：（表示非负整数集，包含0和正整数）； 整数集：（源自德语Zahlen，意为整数）； 有理数集：（源自Quotient，意为商，有理数可表示为两个整数的商）； 实数集：（Real number的首字母）. 匹配题干要求：题干依次要求自然数集、实数集、有理数集、整数集，对应符号为、、、. 确定答案：对应选项为C. 2.（2009年湖北省高职统考第1题）下列集合①，②，③，④中有限集的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】本题考查集合的分类（有限集/无限集），核心是理解有限集（元素个数有限）与无限集（元素个数无限）的定义，并结合不同数集的性质判断集合元素数量. 【答案】B 【解析】逐一分析每个集合的元素特征，判断是否为有限集： 集合①： 自然数包含0,1,2,3,，满足的元素为0,1,2,3,4,5，共6个元素，是有限集. 集合②： 整数包含,-1,0,1,2,3,，满足的整数有3,4,5,，元素个数无限，是无限集. 集合③： 满足的整数为3,4,5，共3个元素，是有限集. 集合④： 有理数包含整数、分数等，满足的有理数有无数个（如6.1,6.01,6.001,），元素个数无限，是无限集. 综上，有限集为①和③，共2个，对应答案为B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $