专项02 方程与不等式组应用（大题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项02 方程与不等式组应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 方程与不等式应用在安徽中考中属于高频次、中难度的必考题型，近五年每年均以解答题形式出现，题型轮动规律明显。 命题趋势： 方程与不等式的应用是安徽中考解答题的必考题型，位置稳定在第16-17题，分值8分，呈现从“基础二元一次方程组”到“传统数学文化+跨学科融合”的双线演进趋势。 2026年预测：2026年将继续以二元一次方程组为主流载体，同时传统文化素材和跨学科情境的融合将进一步深化。 题型01 一元一次方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？ 【思路分析】设计划原定生产万剂疫苗，根据题意得出方程，求解即可． 【规范答题】解：设计划原定生产万剂疫苗， 根据题意得： 解得： 答：这项计划原定生产万剂疫苗． 研考点·通技法 常见考点： 利润问题（售价、进价、利润）、行程问题（相遇、追及）、工程问题、分配问题。 已知部分量与总量关系，求单一未知数。 解题技法： 审题找等量关系：常见如“总价＝单价×数量”、“路程＝速度×时间”。 设未知数（直接设或间接设），列一元一次方程。 解方程后要检验是否符合实际（如人数、长度不能为负或小数）。 破类题·提能力 1．（2026·安徽芜湖·一模）某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量） 2．（2026·安徽·二模）某车间计划用20天加工一批零件，在加工了5天后，引进了智能设备，使工作效率提高了，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加，若该车间仍能按计划完成任务．求m的值． 3．（2026·安徽阜阳·一模）某乡镇为了建设美丽乡村，改善人民的居住环境．计划购买银杏和香樟两种树木作为行道树，两种树苗共种植6000棵．经调查，这批树苗的成活率为，若银杏和香樟两种树苗的成活率分别为和，求购买银杏树苗的数量． 题型02 二元一次方程组应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【思路分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【规范答题】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 研考点·通技法 常见考点： 两个未知量的实际问题，如“鸡兔同笼”、销售中的两种商品数量与总价、两个工程队效率等。 根据两个不同的等量关系列出方程组。 解题技法： 明确两个未知数，分别设出。 找到两个独立的等量关系，列出两个方程。 常用代入消元法或加减消元法求解。 解出后代入原方程组检验，并验证实际意义。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省援疆指挥部加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力新疆皮山县销售农产品．某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元． (1)求A，B两款坚果礼盒的单价； (2)某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元． 2．（2026·安徽合肥·一模）某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？ 题型03 分式方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽阜阳·一模）随着“苏超”联赛的爆火，各球队的足球周边（足球服、围巾等）也随之热卖．某足球俱乐部的第一轮比赛中，足球服、围巾的销售总额分别为15000元、12000元，足球服每套的售价是围巾每条售价的2.5倍，足球服的销售量比围巾的销售量少30件．问足球服、围巾的售价单价分别是多少元？ 【思路分析】设围巾的售价单价是元，则足球服的售价单价为．根据“足球服的销售量比围巾的销售量少30件”列方程求解即可； 【规范答题】解：设围巾的售价单价是元，则足球服的售价单价为． 根据题意得， 解得． 足球服的售价单价为（元）， 答：足球服单价为500元，围巾单价为200元． 研考点·通技法 常见考点： 行程问题中的“速度变化”、工程问题中的“工作效率”、商品打折或提价问题。 分母中含有未知数，往往涉及“提前或推迟时间”、“单价变化”等。 解题技法： 设未知数，根据题意列分式方程。 去分母（乘以最简公分母）化为整式方程求解。 必须验根：将解代入最简公分母，若为零则为增根，舍去；同时检验是否符合实际。 注意单位统一，如时间单位、速度单位。 破类题·提能力 1．（2026·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶1米，求“致远号”的行驶速度． 2．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 3．（2026·山西晋城·一模）为推进智慧城市建设，某社区服务中心计划采购一批智能安防摄像头．第一次用9000元购进若干台，安装后效果良好；第二次又用30000元购进了同型号的智能安防摄像头，所购数量是第一次的3倍，但每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元．求该社区第一次购进智能安防摄像头的数量． 题型04 一元一次不等式应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． (1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【思路分析】（1）根据每天所获利润甲种零件所获利润乙种零件所获利润，可列出函数关系式； （2）根据车间每天所获利润不低于24000元，可列出不等式． 【规范答题】（1）解：根据题意，可得； （2）解：由题意，知，即， 解得， 为整数， 最多安排名工人去制造甲种零件， 即至少应安排11名工人制造乙种零件． 研考点·通技法 常见考点： 方案选择问题（如“哪种更省钱”）、进货问题（不超过、不低于）、利润最大化中的限制条件。 单独一个不等关系，求取值范围。 解题技法： 找出题目中的关键词：“至少”、“至多”、“不超过”、“不少于”等，确定不等号方向。 设未知数，列一元一次不等式。 解不等式，结果通常为整数解（如人数、件数）或连续范围。 结合实际问题取符合条件的值。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 2．（2026·山东济南·一模）济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． (1)求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ (2)文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 3．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 题型05 不等式组的应用问题 析典例·建模型 1．（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【思路分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【规范答题】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 研考点·通技法 常见考点： 多个条件同时限制（如“A不少于B，且不超过C”）。 方案设计问题：给定两种或多种方案，通过不等式组确定可行方案，再从中选最优。 解题技法： 分别根据每个条件列出不等式，组成不等式组。 解不等式组，求出公共解集。 根据实际问题的整数要求，确定所有可能取值。 若需选择最优方案，往往需要再结合一次函数（如总费用）求最值。 破类题·提能力 1．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 3．（2026·湖南·模拟预测）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过30个，甲、乙两种商品的售价分别是12元／个和16元／个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过350元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 题型05 一元二次方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【思路分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【规范答题】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 研考点·通技法 常见考点： 增长率问题（如“两次增长后总量”）、面积问题（矩形长宽变化、小路宽度）、利润问题（降价或涨价后的销量变化）。 数字问题、传播问题等。 解题技法： 增长率模型：设平均增长率为x，则 a(1±x)² = b。 面积问题：通常设未知宽度，用总面积减去空白面积等于实际面积列方程。 利润问题：总利润＝单件利润×销量，常涉及降价后销量增加，列一元二次方程。 解出方程后，根据实际意义（如边长不能为负、增长率不能超过1等）舍去不合题意的根 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 2．（2026·安徽阜阳·一模）已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； (2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； (3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 方程与不等式组应用 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 方程与不等式应用在安徽中考中属于高频次、中难度的必考题型，近五年每年均以解答题形式出现，题型轮动规律明显。 命题趋势： 方程与不等式的应用是安徽中考解答题的必考题型，位置稳定在第16-17题，分值8分，呈现从“基础二元一次方程组”到“传统数学文化+跨学科融合”的双线演进趋势。 2026年预测：2026年将继续以二元一次方程组为主流载体，同时传统文化素材和跨学科情境的融合将进一步深化。 题型01 一元一次方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）某疫苗研发机构启动了一项“月产千万”计划，原定每天稳定生产万剂疫苗，得益于一项生产技术的突破，实际每天能多生产万剂，最终任务提前天完成，并且总产量比原计划多出万剂，问：这项计划原定生产多少万剂疫苗？ 【思路分析】设计划原定生产万剂疫苗，根据题意得出方程，求解即可． 【规范答题】解：设计划原定生产万剂疫苗， 根据题意得： 解得： 答：这项计划原定生产万剂疫苗． 研考点·通技法 常见考点： 利润问题（售价、进价、利润）、行程问题（相遇、追及）、工程问题、分配问题。 已知部分量与总量关系，求单一未知数。 解题技法： 审题找等量关系：常见如“总价＝单价×数量”、“路程＝速度×时间”。 设未知数（直接设或间接设），列一元一次方程。 解方程后要检验是否符合实际（如人数、长度不能为负或小数）。 破类题·提能力 1．（2026·安徽芜湖·一模）某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量） 【答案】6月份销售额相对5月份销售额的增长率为 【分析】设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为．5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为． 由题意得：． 解得， 答：6月份销售额相对5月份销售额的增长率为35%． 2．（2026·安徽·二模）某车间计划用20天加工一批零件，在加工了5天后，引进了智能设备，使工作效率提高了，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加，若该车间仍能按计划完成任务．求m的值． 【答案】 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间求出引进智能设备前的工作效率，以及引进智能设备后的工作效率，再根据前5天完成的工作量与后15天完成的工作量之和等于增加后的总工作量建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 3．（2026·安徽阜阳·一模）某乡镇为了建设美丽乡村，改善人民的居住环境．计划购买银杏和香樟两种树木作为行道树，两种树苗共种植6000棵．经调查，这批树苗的成活率为，若银杏和香樟两种树苗的成活率分别为和，求购买银杏树苗的数量． 【答案】购买了银杏树苗2400棵 【分析】设购买银杏树苗x棵，根据“这批树苗的成活率为，若银杏和香樟两种树苗的成活率分别为和，”，列出方程即可． 【详解】解：设购买银杏树苗x棵，由题意，得： ， 解得． 答：购买了银杏树苗2400棵． 题型02 二元一次方程组应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）在万物皆可沉浸的时代，智慧旅游燃起了前所未有的热度．某景区借助和技术，开发了“红楼梦戏剧幻城”和“驾驶冲上云霄”两个项目．两个项目每次体验成本和收益如下表：已知某天这两个项目共体验140次，成本为4240元，则这天两个项目收益共多少元？ 体验项目 成本（元/次） 收益（元/次） 红楼梦戏剧幻城 35 25 驾驶冲上云霄 24 20 【思路分析】设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次．根据题意列二元一次方程组，求出x，y，再计算收益即可． 【规范答题】解：设体验“红楼梦戏剧幻城”x次，体验“驾驶冲上云霄”y次． 根据题意得， 解得， （元） 答：这天两个项目收益共3200元． 研考点·通技法 常见考点： 两个未知量的实际问题，如“鸡兔同笼”、销售中的两种商品数量与总价、两个工程队效率等。 根据两个不同的等量关系列出方程组。 解题技法： 明确两个未知数，分别设出。 找到两个独立的等量关系，列出两个方程。 常用代入消元法或加减消元法求解。 解出后代入原方程组检验，并验证实际意义。 破类题·提能力 1．（2026·安徽合肥·一模）近年来，安徽省援疆指挥部加大消费扶贫力度，通过全省上下联动，助力新疆皮山县销售农产品．某食品公司推出A，B两款援疆坚果礼盒，其中2盒A和3盒B共需580元，3盒A和2盒B共需545元． (1)求A，B两款坚果礼盒的单价； (2)某公司计划购买A，B两款坚果共100盒，且B款不超过A款的，求该公司最多需花费多少元． 【答案】(1)A款礼盒单价是95元，B款礼盒单价是130元 (2)购买100盒礼盒，最多需花费10900元 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款礼盒的售价； （2）设A款礼盒购买x盒，则B款礼盒为盒，根据B款不超过A款的确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最多花费． 【详解】（1）解：设A款礼盒单价是a元，B款礼盒单价是b元， 则可列方程组为， 解得． 答：A款礼盒单价是95元，B款礼盒单价是130元． （2）解：设A款礼盒购买x盒，则B款礼盒为盒， 由此可得， 解得． 设总费用为w，则． w随x增大而减小， 当，w有最大值，． 答：购买100盒礼盒，最多需花费10900元． 2．（2026·安徽合肥·一模）某物流公司引进了两台智能分拣机器人——“快快”和“稳稳”，用于夜间自动化分拣包裹．机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元．求“快快”和“稳稳”各自工作1小时，需要支付的费用分别是多少元？ 【答案】快快和稳稳各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元 【分析】设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元，根据机器人同时工作6小时需支付费用共180元．如果“快快”单独工作4小时，然后“稳稳”再单独工作8小时，需支付费用共168元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是x、y元， 根据题意，得 ， 解得： ， 答：“快快”和“稳稳”各自工作1小时，支付的费用分别是18元和12元． 3．（2026·安徽亳州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 题型03 分式方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽阜阳·一模）随着“苏超”联赛的爆火，各球队的足球周边（足球服、围巾等）也随之热卖．某足球俱乐部的第一轮比赛中，足球服、围巾的销售总额分别为15000元、12000元，足球服每套的售价是围巾每条售价的2.5倍，足球服的销售量比围巾的销售量少30件．问足球服、围巾的售价单价分别是多少元？ 【思路分析】设围巾的售价单价是元，则足球服的售价单价为．根据“足球服的销售量比围巾的销售量少30件”列方程求解即可； 【规范答题】解：设围巾的售价单价是元，则足球服的售价单价为． 根据题意得， 解得． 足球服的售价单价为（元）， 答：足球服单价为500元，围巾单价为200元． 研考点·通技法 常见考点： 行程问题中的“速度变化”、工程问题中的“工作效率”、商品打折或提价问题。 分母中含有未知数，往往涉及“提前或推迟时间”、“单价变化”等。 解题技法： 设未知数，根据题意列分式方程。 去分母（乘以最简公分母）化为整式方程求解。 必须验根：将解代入最简公分母，若为零则为增根，舍去；同时检验是否符合实际。 注意单位统一，如时间单位、速度单位。 破类题·提能力 1．（2026·安徽马鞍山·一模）人工智能是研究用计算机来模拟人的某些思维过程和智能行为（如学习、推理、思考、规划等）的学科，主要包括计算机实现智能的原理、制造类似于人脑智能的计算机，使计算机能实现更高层次的应用．某校为迎接五十周年校庆举行创新大赛，决赛是用电脑程序控制智能赛车在指定赛道上进行50米比赛，“领航号”和“致远号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“领航号”到达终点时，“致远号”才行驶到全程的，“领航号”比“致远号”每秒多行驶1米，求“致远号”的行驶速度． 【答案】 【分析】设“致远号”的行驶速度为,则“领航号”的行驶速度为,根据“当“领航号”到达终点时,“致远号”才行驶到全程的，列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设“致远号”的行驶速度为，则“领航号”的速度为，根据题意得， ， 解得， 经检验，当时，是原分式方程的解，并符合题意， ∴“致远号”的行驶速度为． 2．（2026·安徽淮南·一模）我省的黄山毛峰、祁门红茶、太平猴魁等都是中国名茶．随着科技的发展，机器人参与了采茶工作，已知每台机器人每小时的采茶量比一名熟练采茶工的2倍还多1千克，且每台机器人采摘25千克茶叶与一名熟练采茶工采摘10千克茶叶所需要的时间相同．设一名熟练采茶工每小时采茶量为千克． (1)每台机器人每小时采茶量为___________千克； (2)若每台机器人每天工作8小时，则每台机器人每天采茶多少千克？ 【答案】(1) (2)每台机器人每天采茶40千克 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）列分式方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得，每台机器人每小时采茶量为千克； （2）解：由题意得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际情况． （千克）． 答：每台机器人每天采茶40千克． 3．（2026·山西晋城·一模）为推进智慧城市建设，某社区服务中心计划采购一批智能安防摄像头．第一次用9000元购进若干台，安装后效果良好；第二次又用30000元购进了同型号的智能安防摄像头，所购数量是第一次的3倍，但每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元．求该社区第一次购进智能安防摄像头的数量． 【答案】 【分析】该社区第一次购进智能安防摄像头台，则第二次购进台，根据第二次每台智能安防摄像头的进价比第一次贵50元列出方程进行计算即可． 【详解】解：设该社区第一次购进智能安防摄像头台，则第二次购进台， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：该社区第一次购进智能安防摄像头台． 题型04 一元一次不等式应用问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽合肥·一模）一个车间有25名工人，每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件4个，每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元．在这25名工人中，车间每天安排名工人制造甲种零件，其余人制造乙种零件． (1)求该车间每天所获利润（元）与之间的函数表达式； (2)如果要车间每天所获利润不低于24000元，至少应安排多少工人去制造乙种零件？ 【思路分析】（1）根据每天所获利润甲种零件所获利润乙种零件所获利润，可列出函数关系式； （2）根据车间每天所获利润不低于24000元，可列出不等式． 【规范答题】（1）解：根据题意，可得； （2）解：由题意，知，即， 解得， 为整数， 最多安排名工人去制造甲种零件， 即至少应安排11名工人制造乙种零件． 研考点·通技法 常见考点： 方案选择问题（如“哪种更省钱”）、进货问题（不超过、不低于）、利润最大化中的限制条件。 单独一个不等关系，求取值范围。 解题技法： 找出题目中的关键词：“至少”、“至多”、“不超过”、“不少于”等，确定不等号方向。 设未知数，列一元一次不等式。 解不等式，结果通常为整数解（如人数、件数）或连续范围。 结合实际问题取符合条件的值。 破类题·提能力 1．（2026·陕西西安·一模）某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 【答案】最多可以购买29个A型书签 【详解】解：设购买个A型书签，则购买个B型书签， 由题意，得：， 解得：； ∴最多可以购买29个A型书签． 2．（2026·山东济南·一模）济南某文创公司计划生产A，B两种泉水主题礼盒，用于推广济南泉水文化．若生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元． (1)求每件A礼盒、B礼盒的成本分别为多少元？ (2)文化节结束后，公司计划再生产100盒礼盒作为线上销售产品，且A礼盒数量不多于B礼盒数量的，生产A礼盒多少件时成本最少？最少成本是多少元？ 【答案】(1)每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元 (2)生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元 【分析】（1）设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元，生产3件A礼盒和1件B礼盒的成本为210元，生产2件A礼盒和4件B礼盒的成本为340元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设生产A礼盒m件，列不等式求出自变量的取值范围，再设生产总成本为w元，列一次函数解析式并根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设每件A礼盒的成本是x元，每件B礼盒的成本是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每件A礼盒的成本是50元，每件B礼盒的成本是60元． （2）解：设生产A礼盒m件，则生产B礼盒件， 由题意得：， 解得：， 设生产总成本为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w有最小值，此时， 答：生产A礼盒40件时成本最少，最少成本是5600元． 3．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】(1)元 (2)件 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． （2）解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 题型05 不等式组的应用问题 析典例·建模型 1．（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【思路分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【规范答题】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 研考点·通技法 常见考点： 多个条件同时限制（如“A不少于B，且不超过C”）。 方案设计问题：给定两种或多种方案，通过不等式组确定可行方案，再从中选最优。 解题技法： 分别根据每个条件列出不等式，组成不等式组。 解不等式组，求出公共解集。 根据实际问题的整数要求，确定所有可能取值。 若需选择最优方案，往往需要再结合一次函数（如总费用）求最值。 破类题·提能力 1．（2026·云南·一模）请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【分析】（1）设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个，根据题意列出一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 2．（2026·黑龙江·一模）城市社区绿化是提升城市生态品质的重点工程，2025年某市推出社区绿化苗木补贴政策，某小区计划采购甲（灌木）、乙（草本）两种绿化苗木．已知购进2株甲种苗木和3株乙种苗木共需23元，购进4株甲种苗木和1株乙种苗木共需31元． (1)求购进1株甲种苗木和1株乙种苗木各需多少元？ (2)若该小区计划购进甲、乙两种苗木共15株，结合绿化区域布局，投入资金不少于80元又不超过100元（已扣除补贴）．设购进甲种苗木m株，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种苗木每株每年遮阴面积大约5平方米，乙种苗木每株每年遮阴面积大约2平方米．设小区年遮阴总面积为s平方米，在此前提下，哪种购买方案的年遮阴面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； (2)共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； (3)购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 【分析】（1）设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株，根据题意列不等式组，再根据正整数得到的可能取值，即可得解； （3）设小区年遮阴总面积为s平方米，根据题意得出关于的一次函数，利用一次函数的增减性即可得解． 【详解】（1）解：设购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元， 则，解得：， 答：购进1株甲种苗木需元，1株乙种苗木需元； （2）解：设购进甲种苗木m株，则购进乙种苗木株， 由题意得：， ， 为正整数， 的可能取值为、、、、， 共有5种购买方案：①购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；②购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；③购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；④购进甲种苗木株，购进乙种苗木株；⑤购进甲种苗木株，购进乙种苗木株； （3）解：设小区年遮阴总面积为s平方米， 则， ， 随的增大而增大， 由（2）可知，的最大取值为，此时 购进甲种苗木株，购进乙种苗木株时面积最大，最大面积是69平方米． 3．（2026·湖南·模拟预测）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少3元，且用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过30个，甲、乙两种商品的售价分别是12元／个和16元／个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过350元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)甲商品进价为每个9元，乙商品进价为每个12元 (2)商场有两种方案，方案①：购进甲商品82个，乙商品29个；方案②：购进甲商品85个，乙商品30个 【分析】（1）设甲商品的进价是元，则乙商品的进价是元，根据用90元购进甲商品的数量与用120元购进乙商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，根据乙的数量不超过30个，销售两种商品的总利润超过350元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲商品进价为每个元，则乙商品进价为每个元， 则， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：甲商品进价为每个9元，乙商品进价为每个12元． （2）解：设购进乙商品个，则购进甲商品个 得 解得，其中为正整数， 或30， 则或85， 答：商场有两种方案，方案①：购进甲商品82个，乙商品29个；方案②：购进甲商品85个，乙商品30个． 题型05 一元二次方程应用问题 析典例·建模型 1．（2026·湖南娄底·一模）2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国在机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元． (1)求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； (2)该市2026年机器人产业总产值的目标是600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目标？ 【思路分析】（1）设年平均增长率为x，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．列出方程求解，并取符合实际的值即可； （2）按照这个年平均增长率增长，即可求出该市2026年机器人产业总产值，比较即可解答． 【规范答题】（1）解：设年平均增长率为x，根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为； （2）解：按照这个年平均增长率增长，该市2026年机器人产业总产值为（亿元）亿元， 答：不能实现目标． 研考点·通技法 常见考点： 增长率问题（如“两次增长后总量”）、面积问题（矩形长宽变化、小路宽度）、利润问题（降价或涨价后的销量变化）。 数字问题、传播问题等。 解题技法： 增长率模型：设平均增长率为x，则 a(1±x)² = b。 面积问题：通常设未知宽度，用总面积减去空白面积等于实际面积列方程。 利润问题：总利润＝单件利润×销量，常涉及降价后销量增加，列一元二次方程。 解出方程后，根据实际意义（如边长不能为负、增长率不能超过1等）舍去不合题意的根 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 2．（2026·安徽阜阳·一模）已知一件商品原售价为120元/件，商场计划对其进行降价促销，每件先降价11.8元，销量不理想，又每件降价11元，销售异常火爆．若视作平均每次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率是 【分析】设该商品每次降价的百分率为x，利用原价每次降价的百分率该商品经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为．由题意，得． 解得，（舍去）． 答：每次降价的百分率是． 3．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； (2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； (3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)50元/件 (3)该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元，见解析 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【详解】（1）解：该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为； （2）解：根据题意得， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； （3）解：该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得， 整理得， ， 此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $