第10天 长方体和正方体的测量-【王朝霞系列】2026年小升初数学重点校各地真题精编卷

三角形AOB的面积-①的面积；三角形AOB和三角 ≈归纳总结 形BOC等底等高，上面半圆被分成六等份，①与② n是正方体每条棱上的小正方体个数 的面积相等，即三角形AOB的面积+①的面积=扇 涂色面数 位置 小正方体个数 形BOC的面积，所以涂色部分面积=扇形AOB的 三面 顶点 8个 面积-扇形BOC的面积；扇形AOB的面积是扇形 BOC的面积的2倍，所以这个近似梯形的面积是 两面 棱中间 12(n-2)个 3.14×(24÷2)2÷2÷3×(2-1)=75.36(cm2)。 一面 面中间 6(n-2)2个 不涂色 内部 (n-2)3个 第9天立体图形的认识 级服理程服WW联亚知识通关超型形W程超W张程极四 6.FD 知识点1观察物体 二、7.C -、1.A2.B3.D4.A 8.C【解析】先看长，能放8÷2=4（个）；再看宽，能放 5.B【解析】根据从上面看到的图形可知，这个几何 6÷2=3(个)；最后看高，放5÷2=2（层）…1(dm)。 体最下面一层有3个小正方体；根据从左面看到的 所以最多能放4×3×2=24（个）正方体木块。 图形可知，这个几何体有上下两层、前后两排，后 9.B 排第二层没有小正方体，前排第二层至少有1个小 三、(5+3+4)×4÷12=4(cm) 正方体，所以搭成这个立体图形至少要用3+1=4 答：这个正方体框架的棱长是4cm （个)小正方体。 知识点3圆柱和圆锥的认识 二、 E 一、1.4【解析】因为一个圆柱的底面周长等于高，所 D 以把这个圆柱的侧面沿高展开是一个正方形。如图： 45° 8m A B C 正方形最多可画4条对称轴。 5×5÷2=12.5(m2) 答：涂色部分的面积为12.5m。 2.83 知识点2长方体和正方体的认识 3.1：4【解析】圆的周长与扇形的曲线部分长度相 -、1.482.383.①⑤②⑧③⑥ 4.54 等，所以2mr=x2mR,可得r:R=1:4。 5.2832 【解析】两面涂色的小正方体在大长方体 二、4.D5.D6.D 意●多 m用鼎》形m加形m鼎形团思维闯关m形肥团用鼎初形那团形形围 的棱上，如图： 每条棱上有3个两面 1.A2.D 多帝海 3.解：设这个水桶的底面直径是ddmc 涂色的小正方体的有4条棱；每条棱上有2个两面 3.14d+d=24.84d=6 涂色的小正方体的有8条棱，所以两面涂色的小正 答：这个水桶的底面直径是6dm。 方体有4×3+8×2=28（个）。一面涂色的小正方 【解析】设底面直径是ddm,如图： 体在大长方体的面上，如图： 每个面 上有6个一面涂色的小正方体的有4个面；每个面 24.84dm 上有4个一面涂色的小正方体的有2个面，所以一 列出方程3.14d+d=24.84,解得d=6,所以这个水 面涂色的小正方体有4×6+2×4=32（个）。 桶的底面直径是6dm。 第10天长方体和正方体的测量 12.假设长方体的底面边长为acm,则a2=300。 形物形形团形取翅形W心知识通关型mmu m mwm加服团 长方体侧面展开图的面积：4a×4a=16a2=16× 知识点1长方体和正方体的表面积 300=4800 -、1.长方522.3843.105 长方体的表面积：4800+2×300=5400(cm2) 4.118【解析】把一个长方体截成两个长方体，只截 答：这个长方体的表面积是5400cm2。 一次，增加两个横截面，要使这两个长方体的表面 知识点2长方体和正方体的体积 积之和最小，则要使增加的面积最小，需要沿着平 -、1.1000102.96192 行于4cm×3cm的面切割，这样就增加了2个4cm 3.62.5【解析】如图： ×3cm的面。根据长方体的表面积公式：S=(ab+ 10cm 4 cm ah+bh)×2,求出原来长方体的表面积，然后再加 上两个横截面的面积：(5×4+5×3+4×3)×2+ 长增加4cm,体积增加25cm3,由此可求出右侧面 4×3×2=118(cm2)。 的面积，根据长方体的体积=底面积×高可求出 之归纳总结 原来长方体的体积是25÷4×10=62.5(cm3)。 每切一刀，增加两个面（一刀两面）。 4.32 要想表面积增加的最少，就与最小的一面平行切； 二、5.A6.C7.B 要想表面积增加的最多，就与最大的一面平行切。 三、8.15×15×8-5×5×8=1600(cm3) 例 9.表面积：(5×13+5×2+13×2)×2+2×3×4= cm 226(cm2) 5 cm 4 cm 与上下面 与左右面 与前后面 体积：5×13×2+2×2×3=142(cm3) 平行切 平行切 平行切 四、10.6×6×3.5=126(dm3) 126÷2×6=378(dm3) 表面积 表面积 最大 最小 378dm3=378L 答：这个容器的容积是378L。 5.6000 11.不相符6×4×10=240(cm3) 6.2025 【解析】由题意可知，需要糊上彩色纸的面 240cm3=240mL 有5个，分别是上面和4个侧面，所以刘叔叔至少 240<245,所以不相符。 要买15×15+15×30×4=2025(cm2)的彩色纸。 鼎加服理M加透加加W加m思维闯关扭形M四形极用Mm酒 二、7.C 1.1.5【解析】长方体体积=底面积×高，木块浸入 8.B【解析】如图 通过平移可知切去它 水中部分的体积等于上升部分水的体积，木块浮 出水面的高度是2cm,则木块浸入水中部分的高 的}后，切刻面的后面和左面分别向前面和右面 度为5-2=3(cm),木块浸入水中部分的体积为5 ×5×3=75(cm3),所以将木块从容器中取出，水面 平移，正好与剩余的面分别组成原正方体的面，所 将下降75÷50=1.5(cm)。 以减少的面是切去部分上、下两个小正方形的面， 2.648【解析】根据题千可得，用原正方体的体积减 这两个小正方形的边长都是6÷2=3(cm),所以减 去3个长、宽、高分别是4cm、4cm、10cm的小长方 少的表面积是3×3×2=18(cm)。 体的体积去计算这块正方体木块剩下的体积时， 9.B10.A 因为最中间的棱长为4cm的小正方体的体积被多 三、11.20×10+(20×2+10×2)×2=320(m2) 减了2次，所以再加上2个棱长为4cm的小正方体 2dm=0.2m320÷(0.2×0.2)=8000(块) 的体积，才是这块正方体木块剩下的体积，即10× 答：共需要8000块这样的瓷砖。 10×10-4×4×10×3+4×4×4×2=648(cm3) 小升初各地真题精编卷·数学 63 3.8×4÷2×6=96(cm3) 积等于圆柱的体积减去中间小正方形孔形成的 答：这个柱体的体积是96cm3。 长方体的体积。利用圆柱及长方体的体积公式， 计算出20枚铜钱的体积是3.14×(2÷2)2×4 第门天圆柱和圆锥的测量 0.5×0.5×4=11.56(cm3),每枚铜钱的体积是 M形》形mmM形mmmm知识通关形形m形Mm形mMm 11.56÷20=0.578(cm)。 知识点1圆柱的表面积 11.我同意亮亮的说法。 -、1.216.66 甲立体图形：3.14×32×3=84.78(cm3) 2.3【解析】因为6π>4π，所以这个圆柱的底面半 3×3.14×32×(6-3)=28.26(cm) 径最大是6m÷m÷2=6÷2=3(cm)。 3.7494.2 84.78+28.26=113.04(cm3) 5.30144【解析】指挥台上面的面积等于底层圆柱 乙立体图形：3.14×32×6=169.56(cm3) 3×3.14×32×(6-3)=28.26(cm) 的上底面面积：3.14×(120÷2)2=11304(cm2),侧 面的面积等于三个圆柱的侧面积之和：3.14×120 169.56-28.26=141.3(cm3) ×20+3.14×100×20+3.14×80×20=18840 113.04<141.3,所以旋转出来的甲、乙两个立体 (cm),所以需要粉刷的面积是11304+18840= 图形的体积不相等。 30144(cm2)。 知识点3不规则物体的体积 二、3.14×15×6+3.14×20×10+3.14×(20÷2)2= -、1.D 1224.6(cm2) 2.A【解析】从图中可知，倒放瓶子的空白部分的 答：该蛋糕需要涂抹奶油的面积是1224.6cm。 高是7-5=2(cm),瓶子的容积=左图水的体积+ 知识点2圆柱和圆锥的体积 右图空白部分的体积=10×4+10×2=60(cm3), -、1.9:1 60cm3=60mL。 2.345415700【解析】由图可知这根木头与水接 3.B【解析】由题可得米堆的体积是对应圆锥体积 触的面积为两个底面的半圆和侧面积的一半，即 一个底面圆的面积加上圆柱侧面积的一半，为 的四分之一，设圆锥底面半径为r,可得4×2×3×r +mdh÷2.1m=100cm,底面半径是20÷2=10(cm), 接触水的面积是3.14×102+3.14×20×100÷2= 8解得白所以米的你积为×3×个白广× 3454(cm2)。没入水里部分的体积是这根木头 体积的一半，为mr2h÷2,即3.14×102×100÷2= ×名-四（立方尺），又周为1解未的体板的为16品 15700(cm3)。 立方尺，则推就的米约有0：1622料。 3.215【解析】挖去的圆柱最大时，它的底面直径等 二、1.一个小球的体积：5×5×4=100(cm3) 于正方体的棱长，高等于正方体的棱长，所以挖去 一个大球的体积：5×5×(10-4)=150(cm3) 的体积是3.14×(10÷2)2×10=785(dm3),剩下部 答：一个大球的体积是150cm3,一个小球的体积是 分的体积是10×10×10-785=215(dm)。 100cm3。 4.1505005.0.942 【解析】一个小球的体积等于长是5cm、宽是5cm、 二、6.D7.C 高是4cm的长方体的体积，一个大球的体积等于 三、8.3.14×(12.56÷3.14÷2)2×5=62.8(m) 长是5cm、宽是5cm、高是(10-4)cm的长方体的 9.3.14×(2÷2)2×(6+7)÷2=20.41(m3) 体积，利用长方体的体积=长×宽×高，结合题中 四、10.3.14×(2÷2)2×4-0.5×0.5×4=11.56(cm3) 数据计算即可。 11.56÷20=0.578(cm3) 2.实验中的长方体容器还可以用圆柱形容器代替， 答：每枚铜钱的体积是0.578cm。 长方体的体积=底面积×高，圆柱的体积=底面 【解析】由图可知，20枚相同的铜钱摞在一起的体 积×高。（答案合理即可） 小升初各地真题精编卷·数学 ≈解题技巧 把不规则物体通过捏压等方式转化 90°，画出旋转后的图 ,点A'即 等积 成规则的长方体或正方体，长方体 B 变形法或正方体的体积就是不规则物体的 体积。 点A的新位置，与点C同列，且比，点C高1行，用数 利用有刻度的量杯记录放入不规则 对表示是(5,6)。 物体（完全浸入水中，水未溢出且不 2.正西80【解析】观察题图，点C在，点B的正东 排水法 溶于水)前后的水位，水面上升的那部 方向，那么点B就在，点C的正西方向。点A在点C 分水的体积就是不规则物体的体积。 的北偏东或东偏北方向，问题是问“东偏北”，角度 是∠4。因为AC=BC,所以∠2=∠1=40°，根据三 M NM NMMNI型MW思维闯关m mmu nmu mmm mm mn 角形的内角和是180°可求出∠3=180°-40°×2= 1.7:350.24【解析】通过观察图形可知，A部分 100°，∠4=180°-∠3=180°-100°=80°。 是高为8+6=14(cm)的圆柱体积的一半，B部分 3.南西北西南23 是高为4+(6+4-8)=6(cm)的圆柱体积的一 之解题技巧 半，因为这两个圆柱底面积相等，所以A、B两部 根据“上北下南，左西右东”及图上标注的 分的体积比等于高的比，为14：6=7：3。A部分 其他信息，即可解答。 的体积为3.14×(4÷2)2×14÷2=87.92(cm3),B 4.（4,4) 部分的体积为3.14×(4÷2)2×6÷2=37.68(cm3), 二、5.C6.C7.C 所以A部分体积比B部分多87.92-37.68=50.24 三、8.(1)北东40100 (cm3)。 (2) 北 2.8dm=0.8m 60° 商场 小广场 4x1.5×4÷写÷0.8=90(m) 20° 。小东家 答：沙堆的底面积是90m。 【解析】车厢的长是4m,宽是1.5m,高是4m,装满 552 沙后，这些沙的形状就是一个长和高都是4m、宽 图书馆 1.5m的长方体，那么这堆沙的体积为4×1.5×4= 40> 50m 24(m),即圆锥形沙堆的体积是24m,8dm=0.8m, 小明家 根据圆维的体积公式V=}h,可得圆维形沙堆的 (3)先向西偏北55°方向走150m到达小广场，再向 底两积是24÷写08=90(m. 北偏东60°方向走100m到达商场。 9.(1)(7,3)(7,1)(5,2)(4,2) (2)男儿不悔 第2天图形的位置与运动 (3)85 m形鼎形形形形知识通关双形程m形用m胶 知识点2图形的运动 知识点1图形的位置 -、1.(1)0 O△O△ 一、1.(5,3)(5,6)【解析】根据用数对表示点的 (2) 位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表 示行数，点B的位置与点A同行，且与，点C同列，用 数对表示是(5,3)；三角形ABC绕，点B顺时针旋转 V)小升初各地真题精编卷·数学 17天高频考点分类集训 第10天 长方体和正方体的测量 答案：P63 编者按：在近三年小学毕业升学考试中，“长方体和正方体的测量”的分值约占整套试卷的37%，主要考查 长、正方体的表面积和体积公式的灵活应用。本套试卷从高频考点和高频题型角度进行选题，帮助学生进行系 统复习，助力学生全方位掌握本质概念，突破自我。 ≈知识通关兰 知识点1 长方体和正方体的表面积 图形形状 特征 计算公式 长 1.相对的两个面面积相等。 体 2.最多有4个面面积相等。 S长方体=(ab+ah+bh)×2 正 体 6个面面积相等。 S正方体=6a2 a 一、填空题。 1.右图是一个长方体，它的底面是一个( )形，这个长方体的 2 dm 底面y/3dm 表面积是( )dm。 4dm 2.在“环保伴我行”活动中，明德小学六(1)班学生制作了一个棱长是8d的正方体垃圾回收箱（回 收箱的进口忽略不计)，它的表面积是( )dm2。 3.〔2025上海〕一个长方体是由三个同样大小的正方体横向拼成的，如果去掉最右边的一个正方体， 表面积就比原来减少30cm2,原来长方体的表面积是( )cm2。 4.〔2024江苏常州〕把一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体截成两个长方体，这两个长方体 的表面积之和最小是( )cm2。 5.〔2025广西桂林〕右图的领奖台由四个相同的长方体木块拼合而 40 cm 成。在它的前、后两面涂上白色油漆，上面和侧面铺上地毯。 20 cm 3 铺地毯部分的面积是( ）cm。 30 cm 6.中华优秀传统文化孔明灯相传是由三国时期的诸葛亮（字孔明）发明的，于 是后世就称这种灯笼为孔明灯。刘叔叔用铁丝做了一个长和宽都是15cm、 高是30cm的孔明灯框架，再在它的表面糊上彩色纸（如右图，下底面不糊 纸)。刘叔叔至少要买( )cm的彩色纸。 二、选择题。（将正确答案的序号填在括号里） 7.〔2025河北秦皇岛〕有5个棱长是2cm的正方体堆放在墙角处（如右图所示），露 在外面的面的面积是( )cm2。 A.10 B.13 C.40 D.52 8.〔2024浙江杭州)要做一块如下图所示的积木，可以用一块棱长为6cm的正方体木块切去它的后 得到。这块积木的表面积比原来的正方体少( ）cm2。 A.9 B.18 C.54 D.36 9.〔2025广东深圳〕把一个长12cm、宽10cm、高6cm的长方体切成两个长方体，表面积最大可 以增加( )cm2。 A.120 B.240 C.60 D.144 10.〔2025重庆〕将四个长10cm、宽6cm、高2cm的长方体礼品盒用包装纸包在一起，最节约包装纸的 是( D 三、解决问题。 11.〔2024福建厦门〕厦门被称为“中国温泉之都”。某温泉度假村要修建一个长20m、宽10m、深2m 的长方体温泉池，在这个温泉池的四周和下底面铺上边长为2d的正方形瓷砖，共需要多少块这 样的瓷砖？ 12.〔2025江苏苏州)一个长方体的底面是面积为300cm的正方形，它的侧面展开图正好也是一个正 方形，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 知识点2 长方体和正方体的体积 图形形状 计算公式 易错警示 长方体 体积和容积的区别： V长方体=Sh=abh 1.意义不同：体积表示物体所占空间的大小，容积表 示容器所能容纳物体的体积。 2.测量方法不同：体积从外部测量，容积从内部测量。 V正方依=a 3.单位不同：体积常用单位是m3、dm3、cm3,容积常用 体 单位是L、mL;1dm3=1L,1cm3=1mLo 小升初各地真题精编卷·数学 19 一、填空题。 1.( )个棱长是1cm的小正方体可以拼成一个棱长是1dm的大正方体，把这些小正方体排成 一排拼成一个长方体，这个长方体的长是( )mo 2.〔2025广东深圳〕把一个长8dm、宽6dm、高4dm的长方体截成两个完全相同的小长方体，则截成 的长方体的表面积之和最多比原来增加( )dm2,截成后的两个小长方体的体积之和是 ( )dm3。 3.〔2024浙江杭州〕一个长方体的长是10cm,如果将长增加4cm,那么体积增加25cm。原来长方体 的体积是( )cm3。 4.动手操作可以使抽象的数学知识形象化。乐乐在数学课上用橡皮泥做了一个圆柱形学具，底面 半径是2cm,高是2cm。如果再用硬纸做成一个长方体纸盒，使圆柱形学具正好能装进去，这个 长方体纸盒的容积是( )mLo 二、选择题。（将正确答案的序号填在括号里） 5.〔2024河南郑州)一个长方体三个面的面积分别为6m2、12m2、18m2,这个长方体的体积是( )m。 A.36 B.42 C.54 D.72 6.〔2025北京)一个长方体被挖掉了一块（如右图），下面说法完全正确的是( )。 A.体积减少，表面积也减少 B.体积减少，表面积增加 C.体积减少，表面积不变 D.体积和表面积都不变 7.〔2025四川广元)一个长方体的长、宽、高分别是acm、bcm、hcm,如果 高增加2cm(如右图)，那么体积增加( )cm3。 2cm B.2ab h cm A.abh b cm a cm C.2ah D.ab(h+2) 三、按要求计算。（单位：cm) 8.计算下面图形的体积。 9.计算下面图形的表面积和体积。 15 13 20 小升初各地真题精编卷·数学 四、解决问题。 10.〔2025湖北武汉〕如下图1所示，一个密封的长方体玻璃容器，底面是边长6d的正方形，里面水深 3.5dm。当把容器侧倒后，如下图2所示，水深2dm。这个容器的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计） 图1 图2 11.判断说理〔2024北京〕一种液体饮料采用长方体塑封纸盒密封包装，从外面量得盒子长6cm、宽 4cm、高10cm。盒面注明“净含量：245mL”。请分析该项注明与实际情况是否相符。 ≈思维闯关兰 2 cm 1.〔2025河北邯郸]如图，底面积为50cm的长方体容器中装有水，水面上漂浮 着一块棱长为5cm的正方体木块，木块浮出水面的高度是2cm。若将木块 从容器中取出，则水面将下降( )cmo 2.一块棱长为10cm的正方体木块，从它的上面、前面、右面的中心处各凿穿一个底面边长为4cm的 长方体洞，现在木块的体积是( )cm3。 3.开放探究我们学过的正方体和长方体有一些共同的特征，如上、下底面是完全一样的，侧面与底 面是相互垂直的，我们称这样的物体为“柱体”。正方体和长方体的体积都可以用底面积乘高来 计算，其实所有柱体的体积都可以用底面积乘高来计算。 下图是一个柱体（三棱柱），上、下底面是两个完全一样的三角形。这个柱体的底面三角形的一条 边长是8cm,这条边上的高是4cm,柱体的高是6cm,这个柱体的体积是多少立方厘米？