二轮专题(十一) 数形结合、转化与化归思想-【真题密卷】2026年高考数学二轮专题精准提升

密真 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十一） 卺题 数学·数形结合、转化与化归思想 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 7 答案 1.山西飞虹塔是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的 例证.一名身高1.7m的同学假期到山西旅游，他在A处仰望飞虹塔尖，仰角为45°，沿 直线向塔行走了19.4m后仰望飞虹塔尖，仰角为60°，据此估计飞虹塔的高度约为（参 考数据：√2≈1.414，√3≈1.732) () A.47.6m B.46.2m C.45.5m D.43.8m 2.降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室 内，空气中微生物密度(c)随开窗通风换气时间(t)的变化如图所示，则在下列时间段内， 空气中微生物密度变化的平均速度最快的是 () 个cmgm) 11111111111111 05101520253035 t(min) A.[5,10] B.[15,20] C.25,307 D.[30,35] 二轮专题精准提升（十一）数学第1页（共8页） 真题 这段纯粹的奋斗时光，将是未来最坚硬的基石 3.在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,AB·AD=1,点P在边CD上，则PA·PB 班级 的取值范围是 ( A.[0,2] c 姓名 D.[-2,0] 4.已知函数f(x)满足2f(x)十f(一x)=一2x,若2a=1og2b=c,则 得分 A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f (a) 5.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2一x),且当x∈[0,1]时，f(x)=x5.设直 线y=二2与函数y=fx)的图象相交于点Pc,y,)=1,2,3,…,n,m∈N),记 11 t=x:-y,则2t:= () A.18 B.20 C.22 D.24 6.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1,0),B(一1,0)，设动点C满足∠ACB≥ 2,动点P满足PA⊥PC,则|OP的最大值为 () A.1 B3+1 2 C.√2 D.2 7.已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，则当该圆锥的表面积最小 时，其外接球的表面积为 () A.81π B.96π C.108π D.126π 8.已知函数f(x)=(x一a)ex-1的最小值为一1，过点P(b,0)有且仅有两条直线与f(x)的 图象相切，则实数b的取值范围为 () A.(1,2) B.(-2,1) C.(-∞，-2)U(2,+∞) D.(-∞，1)U(2,+∞) 密卷 二轮专题精准提升（十一）数学第2页（共8页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 4a-x,x≥1， 9.已知函数f(x)= 的图象如图所示，则 4x-a,x<1 A.a=1 B.a=-1 C.函数y=f(x一1)是偶函数 D.关于x的不等式f(x)>4的解集为0,2) 2x+1-2,0≤x≤1 10.已知函数f(x) 1 若关于x的方程fCx)=子x十a恰有三个互 ,x>1, 异的实数解，则实数a的取值可以是 () 17 A.4 B.1 D.6 1.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD-号AC,0为AD的中点，且点P在 以O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA十yBC,则 二轮专题精准提升（十一）数学第3页（共8页） A前-+C B.BD BO-81 C.BP·BC存在最大值 D.x+y的最大值为1+ 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 ex,x≤0， 12.设函数f(x)= 则满足f(x)<f(2x一1)的x的取值范围是 1,x>0, -1+m-3)2的最小值为 4 14.已知函数f(x)=aln(x+1)+1(a∈R)的图象恒过定点A,圆O:x+y2=4上的两点 P(x1,y1),Q(x2,y2)满足PA=λAQ(∈R),则|2x1十y1+7|十|2x2十y2十7|的最 小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若√2 asin C=ctan A. (1)求A的大小； (2)若a=2,D为BC的中点，求线段AD长度的最大值. 真题密卷 二轮专题精准提升（十一）数学第4页（共8页） l6.(15分)已知{an}是首项为)的等比数列，且an,2am+1,4aa+2成等差数列；bn}是首项为 1且单调递增的等差数列，记{bn}的前n项和为Sm,且S1,S2,S4成等比数列. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式. (2)令cm=an·bn,数列{cn}的前n项和为Tm,证明：Tn<3. 二轮专题精准提升（十一）数学第5页（共8页） 17.(15分)已知函数f(x)=2x-4|+2x+1-4,g(x)=3-|x. y (1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象； (2)当x∈R时，若f(x)≥g(x十a)恒成立，求实数a的取值范围. 真题密卷 二轮专题精准提升（十一）数学第6页（共8页） 18.(17分)已知过点H(8,0)的直线交抛物线E:y2=8x于A,B两点，O为坐标原点. (1)证明：OA⊥OB (2)设F为E的焦点，直线AB与直线x=一4交于点M,直线MF交E于C,D两点 (A,C在x轴同侧)，求直线AC与直线BD交点的轨迹方程. 二轮专题精准提升（十一）数学第7页（共8页） 真题密卷 19.(17分)已知函数f(x)=x2+2me,m∈R. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积； (2)若关于x的方程x2f(x)=(1十2m)e2x恰有四个不同的根，求m的取值范围. 二轮专题精准提升（十一）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十一） 数学·数形结合、转化与化归思想 一、选择题 3.C【解析】作DO⊥AB,垂足为O,以点O为原 1.A【解析】如图，A1B1=19.4m,因为∠CA1D1= 点，OB,OD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图 45°，∠CB1D1=60°，所以∠A1CB1=15°，在 所示的平面直角坐标系。 △A1B1C中，由正弦定理得 AB sin∠A1CB1 CB sin∠CA,D,所以CB,= A1B1sin∠CA1D1 sin∠ACB 19.4sin45° sin15° 中n15=sn(60-46)号x号 AB·AD 1 因为cos∠BAD= ABIADI =2,且0K∠BAD< 日×誓-5 19.4sin45° 2 4 ,故CB,= sin 15 ,所以∠BAD-号在R△A0D中，周为∠BAD 收 =19.4X(W3+1)m,则CD1=CB1sin60° ，AD=1,所以0A=2,0D=,0B=,则 √6-√2 4 A(-0B(停，P》0≤≤2，所 19.4×(3+√3) 2 m,又√5≈1.732，所以CD1≈ 以P所-(}，-》m-(-,-图》 19.4×4.732≈45.9m,又该同学身高1.7m,所以 2 所以PA.PB=x2一x,因为二次函数y=x2一x开 飞虹塔的高度约为45.9十1.7=47.6m 1 1 口向上，对称轴为x=2,且0≤x≤2，所以当x= 时，i,Pi=音=2时，，i =3所以所.店的维定用足2， D 4.B【解析】因为2f(x)十f(-x)=一2x,所以 B 2f(-x)+f(x)=2x, 2.B【解析】如图，令t=5,t=10,t=15,t=20,t= 2f(x)+f(-x)=-2x, 联立 得f(x)=-2x, 25,t=30,t=35在图象上对应的点分别为A,B, 2f(-x)+f(x)=2x, C,D,E,F,G,>AB>kcD,0>kEF>kCD,0> 在R上单调递减，在同一坐标系中作y=c,y= kG>kcD,所以在[15,20]内空气中微生物密度变 2r,y=log2x,y=x的图象，由图可知a<c<b, 化的平均速度最快。 故f(b)<f(c)<f(a). ↑cmgm) y=2 y=x AB y=log x y=c C D EFG 5.C【解析】由f(x)为定义在R上的奇函数，得 05101520253035 ((min) f(-x)+f(x)=0.由f(x)=f(2-x),得f(x)的 ·55· 真题密卷 二轮专题精准提升 图象关于直线x=1轴对称，则f(-x)=一f(x)= =1,所以|ON|+|AN|≤√2(ON+AN) -f(2-x),所以f(x)=-f(2十x),所以f(x+4) =一f(x十2)=f(x),即4为f(x)的一个周期. =反，当且仅当ON1=AN-竖时等号成立， 又f(x)=f(2-x),且f(x)=-f(2+x),故 此时OD⊥OA,所以|OP≤√2，当且仅当O,M, f(2-x)=一f(2+x),所以f(x)的图象关于 P三，点共线且点C在圆x2十y2=1与y轴的交点 点(2,0)对称.在同一平面直角坐标系内作出y= 处时等号成立，所以|OP的最大值为√2， fx)与直线y-2的图象，如图所示， 7.A【解析】设圆锥的顶，点为S,底面圆的圆心为 B,内切球球心为O,则OB=OC=2,AB=AC,因 y -542-10Λ 为SB⊥AB,OC⊥SA,所以△ABSC∽△OCS,则 9/∠8-7-6 711245678910V1位13x SO OC SC SA AB SB' 由图可知它们共有11个不同的交点，且除交点 (2,0)外，其余10个交点关于点(2,0)中心对称，不妨 设x1<x2<x<<x11,则y<y2<y3<<y1, 所以x1十x1=x2十x10=…=x5十x7=4,x6=2;y1 十u=%十0=…=十y=0,5=0,所以2：= 热，-空=5X4+2-0=22 6.C【解析】因为A(1,0),B(一1,0)，且动，点C满 设AB=AC=,G>2),SA=1,则SB-2-2 足∠ACB≥受，所以点C在圆x2十)2=1内部和 s6,由B22 l-r ,得SB=2 +2,由2_1- r SB 圆周上运动，因为动点P满足PA⊥PC,所以点 得SB=r-r221 2,故2+2=62 2,整理得r3+4r= P的轨迹是以AC为直径的圆，如图， 1G),解得1一士行，所以周维的表面叔为 nrl+nr2=2nr4 2r4 ,24令f)=,4则f')= 2-4)-4r34r3-32r=4r3r-8)当 (r2-4)2 -(r2-4）)2 r∈(2√2，十o∞)时，f'(r)>0;当r∈(2,2√2)时， 延长AC交圆x2+y2=1于点D,设AC的中点 f'(r)<0,故f(r)在(2,2√2)上单调递减，在 为M,AD的中点为N,|MA|=|MP|,ON⊥ (2√2，十∞)上单调递增，故f(r)在r=2√2时取 AD.当点C在圆上时，M,N两点重合，C,D两点 得最小值，f(r)mim=f(2√2)=32，此时1= 重合，当点C在圆内时，AM<|AN|,所以 4r+x3 |AM≤|AN,当且仅当点C在圆上时等号成 r2-4 6v反，5B-+2-8,设圈候外接球的球 立，则IOP|≤|OM+|MP|=|OM+IAM|, 心为M,连接MA,设SM=MA=R,则MB=8 当且仅当O,M,P三点共线时等号成立，因为 R,由勾股定理得MB2+AB2=MA2,即(8-R)2 OM+AM<ON+MN+AM= |ON|+|AN,当且仅当M,N重合时等号成立， 十（亿，2）产=R,解得R=号，故实外接球的表面 又因为ON⊥AD,所以|ON2+|AN|2=|OA|2积为4πR2=81π. ·56· ·数学· 参考答案及解析 10.CD【解析】函数f(x)的图象如图所示： fx) M 由题意知，直线)=子十a格与y=f)的图 象有3个交点. 1 8.C【解析】因为函数f(x)=(x一a)e1,所以f'(x) 当直线y=一x十a过点1,1）时，a= 4,此时恰 =(x-a+1)e1,令f'(x)=(x-a+1)e2-1=0, 有两个交点，如图所示： 可得x=a-1.当x∈(a-1,十o∞)时，f'(x)>0, V f(x)单调递增；当x∈(-∞，a-1)时，f'(x)< 0,f(x)单调递减.所以当x=a-1时，f(x)有最 fx) 小值一e-2=一1，所以a=2.设过点P(b,0)的直 15 y=-4+4 线与f(x)的图象的切点为(xo,y),则切线方程 1 为y-(x0-2)eo-1=(x0-1)e1·(x-x), 又当直线y=二4x十Q与曲线y=在第一象 又切线过点P(b,0),所以-（x。一2)eo-1 (x0-1)·e-1(b-x0),即-(x-2)=(x。-1)· 限相切时，直线y=一十a与y=f红)的因 (b-x0),即x-(b+2)x0+(b+2)=0.因为过点 象也有2个交点，如图所示： P(b,0)有且仅有两条直线与f(x)的图象相切， 所以△=(b十2)2-4(b+2)>0,即b2-4>0,解 fx) 得b<-2或b>2. y=-ixta 二、选择题 9.AD【解析】由函数图象可知直线x=1为f(x) 令 4x十a,化简可得x2-4ax十4=0，由 图象的对称轴，即f(x)满足f(2一x)=f(x),则 △=(4a)2-16=0,得a=士1，又由图可知a>0, 当x>1,即2-x<1时，42-xa=4a-,则a=1, 同理当x<1,即2-x>1时，4a-2+x=40,则a 所以a=1.蜍上，实数a的取值范周是，) 1,综合可知a=1,故A正确，B错误；将f(x)= 1.AC【解标】因为A市-号A,且点P在以 142,x≥1， 的图象向右平移1个单位长度，即得函 4-1,x<1 AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，所 数y=f(x-1),x∈R的图象，则y=f(x-1)的图 以OA=0D=DC=专AC,则B筋=C+C市-C 象不关于y轴对称，即y=f(x一1)不是偶函数，故 C错误当≥1时，fx)-,令>子，解 +耐-成+号-成)=威+号成，故 得x<2,故1≤x<2;当x<1时，f(x)=4-1,令 A正确；B时=BC+C防=Bt+号C-BC+ 41>},解得x>0,故0<x<1,综上，0<x<2, 号-成)=号研+成，则D·0 即不等式f(x)>的解集为(0,2》，故D正瑞 号8威+号+号研.成=2+2+日×8×3 ·57· 真题密卷 二轮专题精准提升 ×名-故B储误：如国，以点0方愿点走立 三、填空题 12.(-o,8） e,x≤0， 平面直角坐标系， 【解析】函数∫(x)= 的 1,x>0 图象如图所示， 2 D 由于f(x)<f(2x-1),则2x-1<0≤x或 则A-1,0).层2）c2,0,题可 2x-1<<0,郎得x<分 1以.2【解标】易知动点P(?m的轮達为抛物线 得点P的轨迹方程为x2十y2=1(y≤0)，设 P(cosa,sina),a∈[r,2x],则BP = C:y2=4x,C的焦点为F(1,0),设P到C的准 线的题离为a,A1,8),则a+PA-T+1十 以m,Bd-ose-号-3ima 333 27 √-+m-3)=PF+PA≥AF 3cosa+写）+6，因为a∈，2，所以e+ ∈ 3 =8,+-)+m-3的小 货得所以当十了-x时，励屁取 为2. 14.15一√5【解析】因为当x=0时，f(0)=1,所以 最大值9，故C正确；由C知，BA 函数f(x)=aln(x十l)+l(a∈R)的图象恒过 (8,-3),因为n萨=B赋+Bd,所以 定点A(0,1),又因为PA=A反(a∈R),所以点 P,A,Q三点共线，入>0.因为P(x1,y1),Q(x2, ose日e3）-(,8y) y2)为圆O:x2十y2=4上两点，所以点P,Q为过 点A(0,1)的直线与圆O的两个交点，设线段 PQ的中点为M(x0yo),则x1十x2=2x0,y1十 3V3 2 =2因为21士+7+2++7表 √5 √5 ?x+),所以x+y=-2gina+1,因 35」 23 示点P(x1y1),Q(x2,y2)到直线2x+y十7=0 为a∈[r,2],所以当a= 时2十y取得最大 的距离之和，20十6+表示点M(,)到 √5 值3 直线2x+y+7=0的距离，分别过点P,M,Q作 十1，故D错误. 9 PP1,MN,QQ1与直线2x十y+7=0垂直，垂足分 ·58· ·数学· 参考答案及解析 别为P1,N,Q1,则|PP:|+|QQ|=2MN|,即 121+y+7+12x,++7_=22xo十+7 √5 5 5 因为OM⊥PQ,直线PQ过点M,A,所以OM1 AM,所以OM·AM=0,所以x0·x0十y0· (y0一1)=0，化简可得x+y-y0=0,故点 又∠B0C=,0D1=√W2)-1F=1, M)在国+6-2》°-上，即点M (10分) 的轨莲为以，)为国心，年径为2的国，所 当A,O,D三点共线时，|AD|的值最大， 所以AD长度的最大值是，√2+1. (13分) 以点M(z0,yo)到直线2x十y十7=0的距离的 16.(1)解：设等比数列{an}的公比为q,等差数列 2x0+2+7 135-1 {bn}的公差为d(d>0), 最小值为 ，所以 √22+1 2 由题知，4amt1=am十4an+2, 12x1十y1+7|,|2x2+y2+7| 的最小值为3√5 √5 √5 即4女-9十1=0，解得g分， -1,所以|2x1十y1十7|+|2x2十y2+7|的最小 所以.=·（分》=（分八 (3分) 值为15-√5. 由S=S1·S4,得(2十d)2=1·(4+6d), A 即d2-2d=0,解得d=0(舍去)或d=2, 所以bm=1+2(n-1)=2n-1. (6分) M (2)证明：由(1)知a,=(号）”6，=2m-1, 故c.=a6.=2m-)·(分)八， (7分) 则工=1·（分》'+3（分》'+5…（分）+十 四、解答题 15.解：(1)由于√2 asin C=ctan A, 2m-1D·()广①， 由正弦定理得2 sin Asin C=sinC.sinA CosA’ 2工.=1（分》+3（分'+5（分》八++ (2分) 由于sinA>0,sinC>0, 2m-1D·()®， (9分) 所以c0sA2又A∈0，，所以A= @-@,得2.-}+（份）'+（分）'+（号） (5分) (2)设△ABC外接圆的半径为r,圆心为O, ++分)-2m-1·(合) 则2r=2 =22,故r=2, (7分) sin 4 】 2 2m-1D·(2) 1-2 由于A=了，所以A在△ABC的外接圆上运动， 且只在优弧BC(不包括端点)上运动，如图所示， --(g)'-2m-w·(分)， ·59· 真题密卷 二轮专题精准提升 所以T.=3-2(分)-2m-10·(分)】 单位长度，f(x)≥g(x十a)恒成立. (13分) 综上，a的取值范围是(-∞，一3]U[2,十c∞). =3-(2m+3)· 》”<3，得证 (15分) (15分) 17.解：(1)当x<-1时，f(x)=-4x-2; 18.(1)证明：设A(xA,yA),B(xByB), y 当-1≤x≤2时，f(x)=2; y 因为A,B均在E上，所以xA=8xB 8, 当x>2时，f(x)=4x-6. 因为A,H,B三点共线，所以kAH=kBH, 当x≥0时，g(x)=3-x; 当x<0时，g(x)=3+x. 所以A=y,整理可得yAyB=-64, -4x-2,x<-1, 故f(x)=2,-1≤x≤2， 所以oi.0时-=+3=0. 4x-6,x>2, 所以OA⊥OB, (6分) 3-x,x≥0， g(x)= (4分) (2)解：设M(-4,m),C(xc,yc),D(xp,yD), 3+x,x<0, y 由此可得y=f(x)和y=g(x)的图象如图 由题意知F(2,0),H(8,0),xc= 8 所示： y=fx) v=g(x) 因为kcD=kM你=一 m 12 (6分) 所以kcD=2kAB, (2)根据图象可知，y=g(x十a)的图象可以看成 8yA 8yc 由y=g(x)的图象经过左右平移得到，(7分) 又因为ka64m=y8-16 当y=g(x十a)图象的左支经过点(2,2)时，则有 所以 8yc 16yA f(x)≥g(x十a)恒成立， 2-16y-64' 可得3-2+a=2,解得a=-3或-1， 整理得(yA-2yc)(yAyc十32)=0. 因为A,C在x轴同侧，所以yA=2yc, 当a=-1时，y=g(x)的图象向右平移一个 单位长度，f(x)≥g(x十a)不恒成立； 同理，yB=2yD, (12分) 16,1 当a≤-3时，y=g(x)的图象向右平移至少三 所以AC的方程为y一3y1+3A, 个单位长度，f(x)≥g(x十a)恒成立.(10分) 当y=g(x十a)图象的右支经过点(-l,2)时，则 同理，8D的方程为y=识十京 ,(14分) 有f(x)≥g(x十a)恒成立， 两式联立并代入yAyB=一64，可得x=-4, 可得3--1十a=2,解得a=0或2， 由题意可知交点不能在x轴上， 当a=0时，y=g(x)的图象不平移，显然f(x) 所以交点的轨迹方程为x=一4(y≠0).(17分) ≥g(x十a)不恒成立； 19.解：(1)当m=1时，f(x)=x2+2e, 当a≥2时，y=g（x)的图象向左平移至少两个 所以f(0)=2, ·60· ·数学· 参考答案及解析 又f'(x)=2x十2e*, 故g(x)的图象如图所示， 所以切线的斜率=f'(0)=2, y 则切线方程为y=2x+2, (3分) 故该切线与x轴交于点（一1,0），与y轴交于 点(0,2)， y=g(x) 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 e 1 4 x ×1×2=1. (6分) (2)由x2f(x)=(1+2m)e2x,可得x4+2mex2 -1 -1+2m)e2=0,即之+2mx (13分) e2 -1-2m=0, 要使方程x2f(x)=(1十2m)e2x恰有四个不同 令t= e,则2+2mt-1-2m=0, 的根，由于t=1与g(x)的图象有一个交点，所 以t=一1一2m与g(x)的图象需要有三个交点， 解得t=1或t=-1-2m. (9分) .4 设g(x)= 。则g'x)=2红-x-x2-x) 所以0<-1-2m<怎， e e 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如表所示， 即-、1 (16分) x (-∞，0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) 所以m的取值范国为忌-安，》(17分) g'(x) 0 + 0 g (x) 极小值0 版大位司 2025一2026学年度二轮专题精准提升（十二） 数学·分类与整合思想 一、选择题 3.C【解析】设两个截面圆的半径分别为r1,r2,球 1.C【解析】根据该方程表示椭圆可知m>0,n> 心O到这两个截面的距离分别为d1,d2,球的半 0,当m>n时，可得a2=m,b2=n,所以e= 径为R.由元r=144πcm2,得r1=12cm,d1= la262 mn V a= √R2-r1=16cm;由πr=256πcm2,得r2=16cm, m m 4,解得” m 6当m<n时，可得a2=n,b2=m,所以e= 3 d2=√R2-r=12cm. 如图所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时， a2-62 n m _m_√13 n n ,解得”。 m - 16 2.A【解析】设等差数列{an}的公差为d,由a1,a2, a3+2成等比数列，得a=a1(a3十+2)，即(2十d)2 =2(2十2d十2)，解得d=±2，因为{an}为正项等 这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离 差数列，所以am>0,a4>0,当d=一2时，a4=一4 之差，即d1-d2=4cm. <0,舍去；当d=2时，a4=8>0,所以a4=8. 如图所示，当球的球心在两个平行平面的内侧时， ·61·