25.1 一元二次方程的概念-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 01 基础达标 5.若关于x的一元二次方程x2一ax十6=0的 一个根是2，则a的值为 () 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 A.2 B.3 C.4 D.5 ( 【条件变式】若x=1是关于x的一元二次方 程x2+a.x+2b=0的解，则a+2b A.3.x2+1=0 B.ax2+bx+c=0 【逆向变式】已知关于x的一元二次方程x2十 C.x2-2x-8 D.x(x-1)=2 ax十b=0,若1一a十b=0,则该方程必有一个 2.关于x的方程(m2一4)x2+（m-2)x十3m= 根是x= 0,当m 时，是一元二次方程；当m= 知识点三根据实际问题列一元二次方程 时，是一元一次方程 6.某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自 3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个 写出二次项系数、一次项系数和常数项. 人形机器人之间都只进行一场比赛)制，每组 (1)3x2-1=2x: x个机器人.若每组共需进行15场比赛，则可 (2)x(x-2)=4x2-3x; 列方程为 ( (3)关于x的方程mx2-nx十mx十n.x2=q A.x(x-1)=15 B.x(x+1)=15 p(m十n≠0). C.x2D=15 2 D.+1D=15 2 7.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》 中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步， 只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”.其 大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长 少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 易错点忽视二次项系数不为零的条件而致错 8.关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x= 9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的 值为 () A.0 B.士3 C.3 D.-3 02能力提升 9.已知关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+ 知识点二一元二次方程的根 a2-1=0的一个根为x=0,那么直线y=a.x 4.下列各数是方程x2一3.x十2=0的解的是 经过的象限是 () ( A.第一、三象限 B.第二、四象限 A.2 B.3 C.4 D.5 C.第一、二象限 D.第三、四象限 3 10.下表是某同学求代数式x2+x的值的情况， (2)一个微信群里共有x个人，每个人都分别 根据表格可知方程x2十x=2的解是( 给群里其他人发送一条消息，这样共有756 x…-3-2-1012 条消息，求这个微信群里的人数x x2+x…620026… A.x=-2 B.x=1 C.x1=-2,x2=1D.x1=-1,x2=0 03思维拓展 11.[新考法·数学文化]《九章算术》“勾股”章有 一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相 14.[新考法·阅读理解·解题方法型]阅读与思考 去适一丈.问户高、广各几何.”大意是说：已 阅读下列材料，然后完成相应任务， 知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角 方程x2一4x一1=0两边同时除以x(x≠0)， 线长1丈，那么门的高和宽各是多少？(“尺” 得x一4-1=0，即x一1=4 “寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1 丈=10尺，1尺=10寸)设门高x尺，根据题 因为(x-)=x2+ 2, 意可列方程为 12.已知关于x的方程(k2-1)x2-(k+1)x 所以r+-(x-)产+2-18. 2=0. 任务： (1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？ (1)已知方程x2-3.x一1=0(x≠0)，则x一 (2)当k取何值时，此方程为一元二次方程？ 1 并写出这个一元二次方程的二次项系数、一 次项系数、常数项， (2)若m是方程2x2一7x十2=0的根，求 m2+的值. n (3)【类比应用】已知关于x的一元二次方程 ax2十bx+1=0有一个根是x=m,则方程 x2+bx十a=0有一个根是 () A.x=m B.x=-m D.x=1-m 13.根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化 Cx=1 m 成一般形式。 (1)如图，要利用一面墙 A 墙（墙足够长）建羊 圈，用100m的围栏围 成总面积为400m的 3个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB.(设AB的长度为xm)温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第二十五章一元二次方程 :14.把x=3代入方程得k的值为 25.1一元二次方程的概念 士√2，再把k=士2代入方程 1.D2.≠±2-2 得另一个根为一1. 3.方程略 15.(1)5±2 -2-8 (1)二次项系数为3，一次项系 (2)x1=1+√22，x2=1 数为一2，常数项为一1； √22 (2)二次项系数为3，一次项系 第2课时配方法 数为一1，常数项为0： 1.C2.C (3)二次项系数为(m+n), 次项系数为(m一n),常数项为 3.(1)2 (2)2 (3)93 (p-q). 1 4.A (4) 5.D【条件变式】-1 4.C 【逆向变式】一1 5.(1)x1=1+√/5，x2=1-√5， 6.C7.x(x+13)=8288.D (2)x1= -1+13 9.B10.C 6 ,C2 11.x2+(x-6.8)2=102 -1-√13 12.(1)k=1; 6 (2)该方程的二次项系数为k2 6.C7.C8.B9.110.-2 一1，一次项系数为一(k+1), 11.(1)x1=x2=4. 常数项为一2. (2)此方程无实数根. 13.(1)-4x2+100x-400=0. (3)x1=1+√13，x2=1 (2)x2-x-756=0. /13, 14.31Ⅱ（②号 (3)C 12.△ABC是直角三角形. 25.2降次—解一元二次方程 13.1)VA6+a7-a 25.2.1配方法 第1课时直接开平方法 (2)AD的长是方程的正根， 1.D2.B 图解法不能表示方程的负根 3.(1)n≥0(2)x=-4 微课堂 411=2x=- 3 【示例】一4 2 (2)x1=7,x2=-7. 【变式】}晶 5.D6.B 25.2.2用公式法解一元二次方程 7.(1)x1=3,x2=-5. 1.A2.A (2)x1=4,x2=0. 3.4m-4>1=1<1 8.99.D10.B11.A 4.A5.A 12.士√2 6.4-3 -241 x1= 13.(1)x1=-1,x2=2. 3+√/4I x2= 3-/41 8 8 8 (2).x1=2,x2=3 7.3.x2+9x-1=0 (3)x1=3,x2=一3. 8.(1)x1=x2=√2. 49 (2)x1=-2+V6,x2=-2√6. 2.1或2 9.B10.A11.D 25.2.4一元二次方程的 根与系数的关系 12.10x1=2x2=3 1.A2.B【变式】2020 (2)x1=0,x2=-2. 13.(1)证△>0. 3. 2 (2)m的值为士2，方程的另 4.(1)0 (2) 5 1 个根是4. 2 (3) 2 14.(1)k≤4. 5.D (2)k的值为3或4. 6.另一个根是2十√5，c的值是一 (3)由求根公式得x= 1. 4±√16-4k 7.A8.C9.D10.D11.14 2 12.x2-6.x+6=0 ∴.x1=2+√4一k,x2=2一 13.(1)k的取值范围为k>一1. √/4一k,由题意，得x1一x2= (2)1 2√4-k=2,解得k=3. 14.(1)证△>0. 25.2.3因式分解法 (2)m的值为-2或1. 1.C2.B 15.(1)5123 3.C【变式】(x+3)(x+4)=0 e 4.(1)x1= 3x2=-5; 专题一一元二次方程的解法 (2)x1=3,x2=9. 1.(1)x1=3,x2=-1. 5.D 1 6.(1)因式分解(2)直接开平方 (2)x1= 2X2=3. 7.(1)x1=1,x2=2. (3)x1=-2,x2=0. (2)x1= 3+53-√/5 (4)x1=2+5,x2=2-√5. 2 ,x2= 2 (3)x1=1+√5，x2=1-√5. (5)x1=1,x2=-2 8.D9.210.1611.±1 12.2或-1 (6)x1=2x2=3. 13.k=2,t=-3. 2.y1=2,y2=-4. 14.(1)①.x1=x2=1②x1=1, 3.(1)x1=7,x2=-1. x2=2③x1=1,x2=3 (2)x1=6,x2=-1. (2)①x1=1,x2=11②x2 -(1+n)x+n=0 (3)x=1,x2=- 2 (3)x2-12.x=-11, x2-12x+36=-11+36,(x (0x1=- 224 9 3 -6)2=25,x-6=±5， 4.A5.y2-2y-3=0 故x1=1,x2=11.所以猜想 6.x1=-1+2,x2=-1-√2. 正确。 7.2a+b=-2. 微课堂 25.3实际问题与一元二次方程 【变式应用】 第1课时数字、面积与图形问题 1.(1)x1=5,x2=-1. 1.x(x-16)=2252.363.D (2)x1=-3,x2=1. 4.(18-x)(30-x)=233 50 5.2 x(x-1) (2)y= 1128 6.BE的长为2-√5」 2 7.仪仗方队有12排，17列. (3)该班共有20名女生. 8.(1)小林应把绳子剪成12cm和 综合与实践（一）数形结合 与方程思想 28cm两段， 【理解应用】② (2)小峰的说法是对的. 25 9.(1)秒 【类比迁移1x+ (x+x+ (2)10秒后P,Q两点相距 )-4×1+() x2 25cm. 【拓展应用】士231或3 10.(1)电动车车棚的长为24m, 综合与实践（二）方程建模 宽为16m; 与实际应用 (2)不能围成面积为450m2的 任务一：这个矩形的长和宽分别 电动车车棚。 是60cm和20cm; 第2课时传播、平均变化率问题 任务二：按图4上面的做法合适， 1.C2.C 下面的做法不合适. 3.(1)每轮传染中，平均一个人传 章末核心考点与素养提升 染10个人； 1.-32.-1 (2)按照这样的速度传染，第三 3.(1)x=√2±1. 轮将新增1210名感染者. (2)x1= 4.A5.10%6.20%7.D 3X2= 8.B9.6 4.B5.(1)13(2)-6 (3)a 10.(1)10%. 2且a≠0 (2)可以超过40%，理由略 6.(1)当m=1时，四边形ABCD 11.任务1：第一季度到第三季度 为菱形. 生产量的每季度增长率为 20%; (2)m=2 任务2：应增加5条生产线， 7.10% 第3课时循环、商品利润问题 8.(1)(60-3a)(2)a=12. 1.D2.B 9.B10.A11.A 1 12.3(x-1).x=6210 3.(1)2x(x-1)=40,淇淇的说 13.(1)每月销售y(件)与售价x 法正确： (元)的函数关系式为y= (2)x的值为10. -10x+1200. 4.(3+x)0.5x(4-0.5x) (2)售价定为70元可获得利 (3+x)(4-0.5.x)=15 润是10000元. 5.80元 14.(1)1 6.每件衬衫应降价20元 (2)x1=3+i,x2=3-i 7.(1)y与x的函数关系式为y= 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 2x+190(180≤x≤300)： 1.C (2)当房价为210元时，宾馆当 2.(1)a≠2 日可获利8450元. (2)a=2,b≠-2 8.(1)1015 :3.一般形式略 51