专练03 特殊法解方程(一)十字相乘法&专练04 特殊法解方程(二)换元法-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（人教版·新教材）

8.A9.A10.(3,2)11. 7 1020r(cm2). 8.c9.2cn AD,易求AD=4,DE=23, 13 .r=4>25, 12.卡车能通过此门. 10.3:2 .AB与⊙D相交，r=2 13.略14.24≤m≤26 11.(1)12π(cm2);(2)2cm. 29.2.2圆心角 25,∴AB与⊙D相离 12.(1)∠AOB=80°. 1.B2.A (2)设圆锥的底面半径为r,母 (2)r=2√5 3.AC=BC,AD=BD 线长为1， 12.学校受到影响的时间为写 120 4.D5.B6.A7.略 80l=2xr: 24(s). 8.B9.B10.A11.①②③④ 180 12.略13.略14.略15.略 .rl=2:9. 13.(1)⊙M的半径为W5; (2)直线x=7与⊙M相离， 29.2.3圆周角 13.(1)∠BAC=90°. 1.C2.D3.D (2)(100-25π)cm2. (3)直线1的表达式为x=4 4.(1)25. 14.B √5或x=4+√5，或y=/5+ (2)圆心O到BD的距离为3. 专题十一 圆中求阴影部分的面积 1或y=1-5. 5.B6.(1)略(2)3. 1.A2.2π-43.C4.C 30.1.2圆的切线 7.60°或120°8.C9.C10.4 第1课时切线的性质和判定 5.D6.1 5√2 7.A8.2 6 1.D2.略3.60°4.30°5.A 11. 2 6.B7.D8.×9.C10.C 12.(1)6(2)略13.略 9.2r 11.4312.75 14.略 章未核心考点与素养提升 13.(1)略(2)4√514.略 专题十与圆的性质有关 1.C2.D3.B4.E,F,G 专题十二切线的判定 的辅助线作法 5.B6.6.57.B8.C 与性质的综合 1.582.553.√24.B5.C 9.(1)略 (2)CD=1. .1路2D9 ②9 6.(1)∠APB=135°； a高f 1125-号 (2)∠APB=45. 2.(1)略(2)①1②5 7.B8.略9.110° 12.(1)(-2,0)(2)2590 3.(1)略(2)QD=√J73 29.3弧长和扇形面积 (2)5π 第2课时切线长定理 第1课时弧长和扇形面积 13.(1)③ 1.B2.D3.D4.B 1.C2.C3.15°4.A5.C (2)①∠ACB=∠ACD,理由 5.(1)6:(2)60°. 6.元7.5 略 8.C9.B10.D 6.D7.C8.102°9. 13 4 3 3 螺 10.(1)证明：连接OB. 第三十章直线与圆的位置关系 .OA=OB, 13.阴影部分周长的最小值为2 30.1直线与圆 .∠OAB=∠OBA. + 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 PA=PB,∴.∠PAB= 1.C2.A3.相切4.C ∠PBA, 14.(1)点A(0,2),B(2,0)； 5.C ∴.∠OAB+∠PAB=∠OBA (2)2π-4. 【变式】3<≤4或，= 5 +∠PBA, (3)叶瓣②还可以由叶瓣①绕 6.4 即∠PAO=∠PBO. 点B逆时针旋转90°得到（答 7.(2,4)或(-2，-4)(1,2)或 ,PA是⊙O的切线， 案不唯一) (-1,-2) ∴.∠PAO=90°， 第2课时圆锥的侧面积和全面积8.D9.1或5 ∴.∠PBO=90°，即OB⊥PB 1.B2.8π12元3.24π216°10.(6,2)或(-√6,2) 又，OB是⊙O的半径，∴.PB 4.C5.A6.3√5【变式】4√2：11.(1)作DE⊥AB于E,连接 是⊙O的切线 58 (2)1. 正三角形ABC的中心，∴.OB (1)14: 11.(1)图略（作∠ABC的平分线 =OC,∠BOC= 360° 3 =120°， (2)BP最大为J73+3; 交AC于点P) (3)修建的观赏小路CM长度存 (2)3π. OB,OC分别平分∠ABC和 在最大值；小路CM的长度最大 12.略 ∠ACB,∠ABC=∠ACB, 值为(30+20√3)m. 30.2三角形的内切圆 ∠OBM=∠OCB,又，OB= 章未核心考点与素养提升 1.B2.D3.C4.D5.2 OC,BM=CN,'.△OBM≌ 1.D2.4或53.2r≤≤4 6.(1)略(2)2. △OCN,.∠BOM 4.C5.D6.①②③④ 7.A8.D9.B10.A ∠CON,∴.∠MON=∠BOM 7.(1)直线DE与⊙O相切，理由 11.48菱正方 +∠BON ∠CON 略 12.(1)连接OD, ∠BON=∠BOC=120°. (2)4.75 .AD平分∠BAC, (2)90°，72 8.B9.C10.C ∴.∠BAD=∠CAD, (3)∠MON=360 11.略12.C13.略 ∴BD=BC, 综合与实践生活中的优化问题 点D是BC的中点， .OD⊥BC,.直线L∥BC, 夹册《提分专练》参考答案 .OD⊥l, 专练01运用根的定义求代数式的值：时m=3. .直线1与⊙O相切. 式的值 知能检测 (2)DI=BD=CD;证明：连 典例导练 1.(1)原式=-3(y2-2y+1)+5 接BI, 由题意，得a2-a-1=0,即a2一 =-3(y-1)2+5, ∠BID ∠ABI+ a=1,a3-2a+2023=a3-a2+ 由-3(y-1)2≤0，得-3(y ∠BAD,∠IBD=∠CBI+ a2-a-a+2023=a(a2-a)+ 1)2+5≤5， ∠CBD=∠ABI+∠CAD= (a2-a)-a+2023=a+1-a+ .一3y2+6y+2有最大值，最 ∠ABI+∠BAD, 2023=2024. 大值为5. ∴.∠BID=∠IBD,∴.DI= 知能检测 (2)P>Q,理由如下： DB, 1.由题意，得1-5a十a2=0. P-Q=(4x2-x+2)-(3x2 :∠BAD=∠CAD,∴BD= .a2-5a=-1, +3x-5)=x2-4x+7=(.x DC, ∴.3a2-15a-7=3(a2-5a) 2)2+3, ∴.BD=CD,∴.DI=BD= 7=3×(-1)-7=-10. .(x-2)2≥0， CD. 2..m是方程x2-2025.x十1=0 ∴.(x-2)2十3≥3>0， 13.(1)50(2)62(3)2 的一个根， ..P>Q. 30.3正多边形与圆 ∴.m2-2025m+1=0, 2.M=a2+b2-2a+4b+2024 1.B2.A3.A4.B5.B ∴.m2+1=2025m,m2-2024m =(a2-2a+1)+(b2+4b+4) 6.10 1 =m-1,m+ =2025, -1-4+2024 m 7.S=2AB·0HX6=1503. =(a-1)2+(b+2)2+2019, 2025 ∴.m2-2024m+ =m1 8.图略9.A10.A11.B 1+m2 .当a=1,b=-2时，M有最 12.B 小值，最小值为2019 +1=2025-1=2024. 13.π-3 n 专练03特殊法解方程（一）】 14.(1)正六边形与正方形的面积 专练02配方法的应用 十字相乘法 比为3，r=52 典例导练 典例导练 m2-6m+10=m2-6m+9+1= x1=-1,x2=-3. (2)∠OGF=15°. (m-3)2+1≥0+1=1， 知能检测 15.(1)连接OB,OC,.点O是 ∴.m2-6m+10的最小值是1，此：1.(1)x1=10,x2=-9. 60 2 是一元二次方程，，关于x的方 2.(1)-6 (2)x1=3x?=-4. 程有实根，.△=（一4）2一4(k十 (2).p>0,.△=36-4×1× 2.x2-(k+3)x十2k+2=(x 1)×1≥0，解得k≤3.∴.k≤3且 (-p)=36+4p>0, 2)(x一k一1)=0，∴.x1=2,x2k≠一1；综上所述，k≤3时，方程 .m,n是一元二次方程x2十 =k+1.由题意，得k十1<1，解 有实数根， 6.x一p=0的两个实数根，且m 得：k<0,k的取值范围为k 知能检测 ≠n, <0. 1..△=(-4k)2-4k(4k-1)= ∴.m十n=-6,mn=-p,∴.m2 专练04特殊法解方程（二） 4k,k≠0， +n2=(m+n)2-2mn=36+ 换元法 ①当k>0时，4k>0,即△>0， 2p, 典例导练 此一元二次方程有两个不相等 m+n2-36 36+2p-36 设x2+2x=y,则原方程转化为 的实数根； y2-y-12=0,整理，得(y-4) ②当k<0时，4k<0,即△<0， =2. (y十3)=0.解此方程，得y1=4, 此一元二次方程无实数根； 专练07一元二次方程的应用（一） y2=-3.当y=4时，x2+2x= 综上所述，当k>0时，一元二 单（双）循环问题 4, 次方程有两个不相等的实数 典例导练 .x=-1士√5；当y=-3时，x2 根；当k<0时，一元二次方程 设初中组共有x个队参加比赛， 十2x=一3，此时该方程无解. 无实数根 原方程的解为x1=一1十√5,2.(1)证明：因为关于x的一元二 依题意列方程2(x一1)=45。 x2=-1-5」 次方程为mx2一4x十4一m=0 解得：x1=10,x2=-9(不合题 (m≠0)，所以△=(-4)2一4m 意，舍去)， 知能检测 答：初中组共有10个队参加比赛. 1.设m2=2.x+y(m≥0)，原方程 (4-m)=4(m-2)2≥0，所以 知能检测 可变为m2-9=8m 此方程总有实数根； 1.设这个多边形是n边形，则 整理，得(m-9)(m十1)=0.所 (2)由m.x2-4x+4-m=0得， 以m=9或m=一1（舍去）. x1=1,x2=- n-4 ,则 n(n-3）=20,.n2-3n-40 2 m 即代数式2x+y的值为81. =0,(n-8)(n+5)=0,解得n 2.设x2+2x=n,则n2+4n一5= m-4_4 m m 一1.因为方程有两 =8,n=一5（舍去）.故多边形 0,整理，得(n-1)(n+5)=0, 个互不相等的非负整数根，且 解得n=1或n=-5, 的边数为8.由””，3 2 2=18, m为整数，新所以m=1或4. 当n=一5时，x2+2x=-5无 可得n2-31-36=0,.b2 专练06根与系数的关系的应用 解（舍去），即x2+2x=1, 4ac=9+144=153,∴.方程的 典例导练 所以x3+3x2+x=x(x2+2x 根无法求出整数，故这样的多 (1)由题意，得k一1≠0，且△=- +1)+x2=2.x+x2=1. 边形不存在 专练05根的判别式的应用 12k+13>0,解得< 2.设有x个好友，依题意，x(x 典例导练 (2)假设存在两根的值互为相反数， 1)=870,整理，得x2-x-870 (1)由条件可知该方程为一元二 设为x1,x2,.x1十x2=0,. =0,即(x一30)(x十29)=0，解 (k+1≠0 次方程， 2k-3 3 得：x1=30,x2=一29（舍去）. △=16-4(k+1)=0 k-1 =0,k= 答：这个微信群里共有30个好友， 解得k=3,∴.方程为4x2-4x+1 又号且上16不存在 专练8一元二次方程的应用（二） =0,即(2x一1)2=0，∴.方程的两 传播问题、变化率问题 知能检测 典例导练 根为x1=x2=2 1.由题意，得a十b=2, 设每个人计划发展下线x人，则 (2)当k=一1时，方程变为一元 ∴.a2-b2+4b=(a+b)(a-b) 第一轮发展下线2x人，第二轮发 一次方程一4x+1=0,此时方程 +4b=2a-2b+4b=2a+2b= 展下线2x2人，根据题意得：2十 有实数根；当k≠一1时，此方程 2x十2x2=114,整理得：x2+x一 61 56=0,解得：x1=7,x2=一8（不 专练10一元二次方程的应用（四）2.根据题意，可知抛物线的对称 符合题意，舍去). 通道、围栏问题 轴为直线x=4,抛物线与x轴 答：每个人计划发展下线7人 典例导练 的两交点坐标为(0,0)，(8,0)， 知能检测 (1)设矩形ABCD的边AB为 设抛物线解析式为y=a(x 1.(1)1+x+x(1+x)=81 xm,则边BC=70-2x+2=(72 4)2+2,把(0,0)代入得16a= (2)1+x+x2=45 一2x)m.根据题意，得x(72 -2,解得a= ,所以抛物线 2.设每次提价的百分比为x,依题 2x)=640,化简，得x2-36.x+ 8 意，得：100(1+x)2=144,解 320=0,解得x1=16,x2=20, 解析式为y= 得：x1=0.2=20%,x2=-2.2 8x2+. 当x=16时，72-2x=72-32= (不合题意，舍去)，∴.100(1+ 专练12求二次函数解析式（二） 40(m);当x=20时，72-2x=72 x)=100×(1+20%)=120. 隐含对称轴 -40=32(m). 答：第一次提价后的售价为120元. 典例导练 答：当羊圈的长为40m,宽为16m 专练09一元二次方程的应用（三） 根据题意，得抛物线的对称轴为 或长为32m,宽为20m时，能围成 利润问题 个面积为640m2的羊圈， 直线x=一 =-1,当x= 典例导练 2a (2)不能，理由：由题意，得x(72一 设售价定为x元，[600一10(x 3和x=1时，函数值相等，由题 2x)=650,化简，得x2-36x+ 40)](x-30)=10000,整理，得 意，得x=1和x=-3时，y=0, 325=0,△=(-36)2-4×325= x2-130x+4000=0,解得：x1= 即抛物线经过（一3,0），(1,0)， 一4<0，∴.一元二次方程没有实 50,x2=80(舍去).600-10(x-40) 设抛物线解析式为y=a(x+3) 数根..羊圈的面积不能达到 =600-10×(50-40)=500(个）. (x一1)，当x=一1时，y最小值= 650m2. 答：台灯的定价定为50元，这时 4a=一8，解得a=2,∴.抛物线解 知能检测 应进台灯500个. 析式为y=2x2+4x一6. 1.1 知能检测 知能检测 2.设页边距为xcm, (1)由题意得：当x>40时，每台学 由题意得：(42-2x)(30-2x) 1.由题意，得2=2，联立 习机的售价为（元）：800一5(.x一40) =-5.x+1000. =42×30×9, 2x1十x2=5,解得x1=1,x2 3,∴.A(1,0),B(3,0),把A(1, (2)设图中直线解析式为：y=kx十 整理得：x2-36x+35=0, b,把(0,700)和(50,600)代入得： 0)代入y=a.x2-4ax+3,解 k=一2直线 解得：x1=1,x2=35(不合题 50k+b=600 得：a=1.∴.抛物线的解析式为 ,解得 意，舍去)， 1b=700 1b=700 y=x2-4.x+3. 答：需设置页边距为lcm. 2.由题意，得对称轴为直线x= 解析式为：y=一2.x+700, 当x=60时，进价为：y=一2×60 -4m 专练11 求二次函数解析式（一 2m =2,点C坐标为(0，n), +700=580,售价为：800一5× 顶点式 (60一40)=700，则每台学习机可 典例导练 0C-OB=n,0A=号，由抛物 以获利：700-580=120（元）. (3)当x>40时，每台学习机的利 y=x2+mx+m=(x+2m) 3 润是：(-5.x+1000)-(-2.x+ 线对称轴可得，2 =2,解 m2 700)=-3x+300,则x(-3x十 十m= 4 十m,由题意，得m 得：n=3,将B(3,0)代入y 300)=4800,解得：x1=80,x2= m.x2-4m.x+3,得9m-12m+ 20(舍)；当x≤40时，每台学习机 (-2m).解得：m=0或m=2. 3=0,.m=1,∴.抛物线的解析 的利润是：800-(-一2x+700)=2x 知能检测 式为：y=x2-4x+3. +100,则x(2x+100)=4800,解得： 1.由题意，可设顶点式为y=a(x 专练13求二次函数解析式（三） x1=30,x2=-80(舍) -2)-1,将(0,3)代入得，4a 图象变换 答：该商店可能购进并销售学习 一1=3，解得a=1,.抛物线的 典例导练 机80台或30台. 解析式为y=(x-2)2-1. 示范题1y=x2+4x-5=(x+ 633 专练03特殊法解方程（一）十字相乘法 【方法规律】利用十字相乘法时要注意观察、尝试，当二次项系数不为1时，往往要多 次尝试，将方程的左边因式分解， )典例导练 示范题试用十字相乘法解方程：x2+4x十3=0 【思路点拨】二次项x2=x·x,常数项3=1×3，一次项系数4=1十3， x2+4x+3 ↓ 3 3x+x=4x .x2+4x+3=(x+1)(x+3). 【自主解答】 之知能检测 1.用十字相乘法解下列一元二次方程. (1)x2-x-90=0. (2)3x2+10x-8=0. 2.已知关于x的一元二次方程x2一(k+3)x+2(k+1)=0.若方程有一个根小于1，求k 的取值范围. 4 专练04特殊法解方程（二） 换元法 【方法规律】换元的实质是转化，关键是构造元和设元，将问题移至新对象的知识背 景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化 )典例导练 示范题解方程：(x2十2x)2一(x2十2x)一12=0. 【思路点拨】设y=x2十2x,方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y 的值，确定出x2十2x的值，再求出方程的解即可得到x的值. 【自主解答】 心知能检测 1.如果实数x,y满足2x十y-9=8√2x十y,求代数式2x+y的值. 2.如果实数x满足(x2+2x)2+4(x2+2x)-5=0,求代数式x3+3x2+x的值.