精品解析：2026 年河南驻马店市泌阳县部分学校中考模拟训练·数学(二)

2026年中考模拟训练·数学（二） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “节约用水，人人有责”，如果节约的水记作，那么浪费的水记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵节约的水记作， ∴浪费的水记作． 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（ ） A. 大 B. 美 C. 河 D. 南 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面判断，解题关键是记住展开图的 “隔一相对” 规律（同行或同列隔一个正方形的两个面为相对面），易错点是混淆相邻面与相对面． 根据 “隔一相对” 规律，逐一分析，即得结果． 【详解】解：“建”和“设”相邻，不是相对面； “设”和“河” 相对； “大”和“南” 相对； “建”和“美” 隔一个正方形，为相对面． 故选： B． 3. 如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵于O， ∴， ∵， ∴． ∴， 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将分式通分为同分母分式后，按同分母分式减法法则计算，合并同类项后约分得到结果． 【详解】解： ． 6. 不等式组的解集在数轴上的表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上确定出解集，判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上可表示为 7. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 8. 山西山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．如图，现有正面印有山西旅游景点的三张卡片，除正面图案外其余完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用画树状图求概率． 【详解】解：画树状图如下： 等可能出现的结果有9个，两次相同的结果有3个， ∴两次抽取的卡片正面图案相同的概率为． 9. 对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（ ） A. 1 B. 4 C. －1 D. －4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，同底数幂的除法；根据运算定义结合同底数幂的除法法则，将原等式转化为关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为．图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：）变化的图象，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为，即，当点P运动到点D处时，运动路程为，得，由，求出，再求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可求得a的值． 【详解】解：从图象第一段看出，当点P运动到点E时，点P的运动路程是a， ∴， 从图象第二段看出，当点P运动到点D时，点P的运动路程是， ∴，， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，， ∵，E是的中点， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可. 【详解】解：若在实数范围内有意义，则， 解得. 故答案为：. 12. 李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”解答即可． 【详解】解：∵每周参加体育锻炼的时间为的人数最多， ∴全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴k的值可以为（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正多边形内角公式求得，然后根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形，边长为2， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证明得出，解直角三角形得出，，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，，则四边形是正方形，从而得出，，此时最小；以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，，同理可得四边形是正方形，进而得出，，此时最大． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ①如图1，以点A为圆心，的长为半径画．当在下方与相切于点E时，， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，，此时最小． 由勾股定理，得， ∴． ②如图2，以点A为圆心，的长为半径画．当在上方与相切于点E时，， 同理可得：四边形是正方形， ∴，，此时最大． 由勾股定理，得， ∴． 综上所述，的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 为引导学生阅读文学名著，某校在八、九年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．现从八、九年级中各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（得分用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 八年级10人的得分：55，63，65，71，83，83，85，90，91，94． 九年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，84，87． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八 78 83 83 九 78 a 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若八、九年级各有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分在A组的学生总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1）83.5；20 （2）400人 （3）九年级的成绩更好．理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数大于八年级，所以九年级的成绩更好．因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的众数大于八年级，所以九年级的成绩更好．（理由任选一条即可） 【解析】 【分析】（1）先确定九年级D组、C组、B组的人数，再计算出A组的人数即可求得，再根据得分从小到大排列的第5和第6位计算出即可； （2）根据八年级和九年级得分在A组的学生占比即可求解； （3）由平均数相同，从中位数或众数来比较两个年级的成绩即可． 【小问1详解】 解：九年级C组人数：（人），D组人数：（人），B组人数为4人， ∴A组人数为（人）， ∴， ∴， ∵九年级D组和C组共有4 人， ∴得分从小到大排列的第5和第6位的是B组中的83和84， ∴中位数． 【小问2详解】 解：（人）． 答：估计两个年级参赛学生中得分在A组的学生总人数是400人． 【小问3详解】 解：九年级的成绩更好． 理由：因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数大于八年级，所以九年级的成绩更好． 因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的众数大于八年级，所以九年级的成绩更好． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点，． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接交于点，将矩形向上平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，得到点的坐标，利用待定系数法得到反比例函数的表达式． （2）根据矩形的性质得到点的坐标，根据点在平移的过程中横坐标不变，得到平移后点的纵坐标，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴代入点的坐标得：，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，是的中点， ∴点的坐标为， ∵矩形向上平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上， ∴点在平移的过程中横坐标不变， ∴对于，当时，， ∴． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据作角平分线的步骤画图即可． （2）过点E作，利用角平分线的性质定理得出，由勾股定理得出，然后根据等面积法即可求出． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：如图，过点E作． ∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∵， 即， ∴， 解得． 20. 耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．工作时，人们将种子倒入耧斗，通过耧腿将种子播撒到土壤中．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时． （1）当耧车不工作时，求的度数． （2）如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到即可求解； （2）利用锐角三角函数分别求出不工作时端点A距离地面的高度和工作时端点A距离地面的高度，两者相减即可求出端点A下降的高度． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图1，过点A作， 在中，， ∴， 如图2，过点A作， 在中，， ∴， ∴． 答：耧把从不工作到工作时端点A下降的高度约为． 21. 某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． （1）求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． （2）现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 【答案】（1）A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元 （2）6件 【解析】 【分析】（1）设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件．分别列出甲乙两商店所需的费用，然后根据费用一样建立一元一次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A种劳动工具的单价为x元，B种劳动工具的单价为y元． 依题意得 解得 答：A种劳动工具的单价为50元，B种劳动工具的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买A种劳动工具m件，则购买B种劳动工具件． 则在甲商店购买总费用为， 在乙商店购买总费用为． 当时， 解得． 答：购买6件A种劳动工具时，在甲、乙两商店购买的总费用一样． 22. 某护目眼镜的截面示意图如图所示，边框，，均呈抛物线形，的最高点D到，的交点B的距离，，关于所在直线对称，分别与，的交点之间的距离．以，的顶点所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为． （1）若鼻架P，Q之间的距离，P，Q关于y轴对称，求点P的坐标． （2）求抛物线的函数表达式． 【答案】（1）点P的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，点P的横坐标为，然后代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）由题意可知，点A的横坐标为，从而求得，，进而得到，然后利用待定系数法即可解答． 【小问1详解】 解：∵鼻架P，Q之间的距离，P，Q关于y轴对称， ∴点P的横坐标为， 在抛物线中，当时，， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得点A，C关于y轴对称，， ∴点A的横坐标为， ∵的函数表达式为， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 代入点，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 23. 综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． （1）猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （2）类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）成立，证明见解析 （3）的长为1或5 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出，由折叠得到，即可求出，得到； （2）由菱形的性质得到，因此，由折叠可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理证明，即可得到； （3）分两种情况讨论：①点在线段上；②点在延长线上．证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 理由：四边形是正方形， ． 由折叠可得， ， ． 【小问2详解】 解：（1）中结论仍成立． 证明：四边形是菱形， ， ． 由折叠可得， 又， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：分两种情况讨论： ①如图1，当点在线段上时． ， ， ． ， ， ∴， ． ②如图2，当点在延长线上时． ， ， ． ， ，解得， ． 综上所述，的长为1或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟训练·数学（二） 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. “节约用水，人人有责”，如果节约的水记作，那么浪费的水记作（ ） A. B. C. D. 2. 一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字为（ ） A. 大 B. 美 C. 河 D. 南 3. 如图，这是石墨烯的晶格结构，石墨烯每两个相邻碳原子间的键长为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点O，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上的表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 山西山水秀丽，风景优美，是全国知名的旅游目的地．如图，现有正面印有山西旅游景点的三张卡片，除正面图案外其余完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 对于有理数a，b，定义一种新运算：．若，则x的值为（ ） A. 1 B. 4 C. －1 D. －4 10. 如图1，在中，，D，E分别是，的中点，连接，，点P从点C出发，沿的方向匀速运动到点A，速度为．图2是点P运动时，的面积S（单位：）随时间t（单位：）变化的图象，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 李老师统计全班学生每周参加体育锻炼的时间（单位：），并绘制成如图所示的统计图，则全班学生每周参加体育锻炼的时间的众数是______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值______． 14. 如图，正五边形的边长为2，经过点A，D，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在和中，，P为射线，的交点．若，把绕点A旋转，则的最小值为______，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）化简：． 17. 为引导学生阅读文学名著，某校在八、九年级开展了以“走进名著，诵读经典”为主题的知识竞赛活动．现从八、九年级中各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（得分用x表示，共分为四组：A.，B.，C.，D.），下面给出了部分信息： 八年级10人的得分：55，63，65，71，83，83，85，90，91，94． 九年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，84，87． 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 八 78 83 83 九 78 a 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若八、九年级各有800名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中得分在A组的学生总人数． （3）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点，． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接交于点，将矩形向上平移个单位长度后，点落在反比例函数的图象上，求的值． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下．若，求的长． 20. 耧（lóu）车（如图1）的起源可以追溯到西汉时期，由耧斗、耧腿、耧杆、播种架等部分组成．工作时，人们将种子倒入耧斗，通过耧腿将种子播撒到土壤中．图2为示意图，已知耧腿，耧辕为，点B固定在上，且，耧把在点A的位置．当耧车不工作时，耧辕顶点D在地面上，此时． （1）当耧车不工作时，求的度数． （2）如图3，当耧车工作时，点D被抬起，，求耧把从不工作到工作时端点A下降的高度．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，） 21. 某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等．学校现要购买A，B两种劳动工具，经市场调查发现，3件A种劳动工具和2件B种劳动工具共需210元；1件A种劳动工具和4件B种劳动工具共需170元． （1）求A种劳动工具和B种劳动工具的单价． （2）现有两家商店分别推出了优惠套餐．甲商店：A种劳动工具和B种劳动工具均打八折出售．乙商店：A种劳动工具打九折出售，B种劳动工具打七折出售．已知该学校需要购买A种劳动工具和B种劳动工具共16件，若在甲、乙两家商店购买的总费用一样，求购买A种劳动工具的数量． 22. 某护目眼镜的截面示意图如图所示，边框，，均呈抛物线形，的最高点D到，的交点B的距离，，关于所在直线对称，分别与，的交点之间的距离．以，的顶点所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为． （1）若鼻架P，Q之间的距离，P，Q关于y轴对称，求点P的坐标． （2）求抛物线的函数表达式． 23. 综合与探究 问题情境：在四边形中，是上一点，将沿折叠，点落在对角线所在直线上的点处． （1）猜想证明：如图1，当四边形是正方形时，延长交线段于点，猜想与的数量关系，并说明理由． （2）类比探究：如图2，当四边形是菱形时，延长交线段于点，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用：当四边形是菱形时，直线交直线于点，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $