专题01 一次函数（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材北京版

专题01 一次函数 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 一次函数、正比例函数的概念 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 一次函数的解析式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 函数的相关概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应逐一判断即可． 【详解】解：A．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， B．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， C．自变量的任何值，不是都有唯一的值与之相对应，故该选项不是的函数，不符合题意， D．自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，故该选项是的函数，符合题意． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为0），确定自变量需满足的条件，解不等式取公共范围即可． 【详解】解：∵要使函数有意义，需同时满足二次根式和分式的要求， ∴ ∴且． 3．求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x是任意实数 (2)且 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． （1）根据对任意的实数，整式都有意义即可求解； （2）根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围； （3）根据0的0次幂无意义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：x为任意实数； （2）解：根据题意得：， 解得：且； （3）解：根据题意得：， 解得：． 函数的表示法 4．关于两个变量y与x之间的关系的三种表述中，y是x的函数的有（    ） ①y：正方形的周长，x：正方形的边长；② ；③ A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：①由正方形的周长公式可得，对每一个的值，都有唯一的值与它对应，故y是x的函数； ②由图象可得，对每一个的值，不是都有唯一的值与它对应，故y不是x的函数； ③由图象可得，对每一个的值，都有唯一的值与它对应，故y是x的函数； 综上所述，y是x的函数的有①③． 5．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 6．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 【答案】(1)120 (2) (3)①150，②行驶时间时，行驶路程为 (4)详见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，即可得出当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； （2）根据路程和时间的关系式，即可进行解答； （3）根据表格中的数据和图象，即可得出当时，s的值，结合图象分析点在A时的时间和路程即可得出点A表示的意义； （4）根据函数三种表示方式的优缺点进行解答即可． 【详解】（1）解：由表可得：当汽车行驶的时间为时，行驶的路程； 故答案为：120； （2）解：根据题意可得：， 当 ，把代入得：， 解得：， 故答案为：； （3）解：由图可知：当时，， 点A表示的意义为：行驶时间时，行驶路程为． 故答案为：150，行驶时间时，行驶路程为．， （4）解：用表格表示，可以鲜明的呈现出自变量和因变量之间的数量对应关系，但只能累出部分数据，难以反应全部变化； 用关系式表示，简明扼要，方便计算，但不够形象，且有的函数变化难以用关系式表示； 用图象表示，形象直观，能清晰呈现函数增减变化，但只能作出近似图象，往往不够准确． 【点睛】本题主要考查了函数的三种表示方式，解题的关键是掌握函数的三种表示方式：表格，关系式，图象，是解题的关键． 平面直角坐标系 7．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的坐标特征，关键是掌握“平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，纵坐标不相等”这一核心知识点．根据直线与轴平行的性质，得出、两点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：∵直线与轴平行，点，点， ∴，得； 故选：B． 8．，是平面直角坐标系中的两点，连接，当线段长度最小时，的值为__，线段长为__． 【答案】 5 4 【分析】本题考查垂线段最短的性质以及平面直角坐标系中平行于坐标轴的线段长度计算，根据垂线段最短，当垂直于轴时，线段的长度最小，此时点的纵坐标与点的纵坐标相同，由此可求出的值，再计算的长度即可． 【详解】解：如图： 点在轴上，根据垂线段最短的性质，当垂直于轴时，线段长度最小． ∵点的坐标为， ∴， 此时； 故答案为：；． 9．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点到y轴的距离为4时，求出点的坐标； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为或； (2)点P的坐标为． 【分析】本题考查了各个象限以及坐标轴上点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据点到y轴的距离为4，得到，解方程求出m的值即可； （2）根据平行于x轴上的直线上的点的纵坐标相等列方程求解m的值，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：，， ∴，， 点的坐标为或； （2）解：∵ 直线平行于轴， ∴， ∴， 则， ∴点P的坐标为． 坐标的平移 10．如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点、、的对应点分别是点、、． (1)画出； (2)直接写出点、、的坐标； (3)直接写出的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)3 【分析】本题考查了点的平移、图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的性质，分别找到，然后依次连线，即可作答； （2）由（1）的图，分别表示出的坐标，即可作答； （3）利用三角形的面积公式即可求出的面积 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：由（1）知：； （3）解：， ∴的面积为． 11．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在直线上． (1)求的值和点的坐标； (2)如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）先求得B的坐标，代入即可求得m的值； （2）分别求出一次函数的图象过点A、点B时b的值，再结合函数图象即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：将点向右平移4个单位长度得到点， ， 点在直线， ， ， 点的坐标为， 或把代入中， ， 点的坐标为； （2）解：点是由点向右平移4个单位长度得到的， 点的坐标为， 把点代入中， ， 把点代入中， ， 的取值范围是． 12．已知， 在平面直角坐标系中， 点，，． (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出并直接写出m的值； (2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，． ①若点在y轴上， 求n的值和的面积； ②若， 且的面积为9， 求m的值． 【答案】(1)，作图见解析 (2)①，  ②或 【分析】本题考查点的坐标，平移的性质，三角形的面积； （1）根据x轴上点的特征得到，求出值，然后描点作三角形即可； （2）①根据平移得到点和的坐标，然后根据y轴上点的特征求出n的值，然后利用三角形的面积公式计算解答； ②根据三角形的面积求出n的值，然后根据角的度数得到点的横纵坐标相等或互为相反数，求出m值即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得， ∴，，； 如图所示； （2）①解：点A平移后的点坐标为，点B平移后的点坐标为， ∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴； 解：∵， ∴点在点C的右侧 ∵， 解得：， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为或， 即或， 解得或． 一次函数的相关概念（含正比例函数） 13．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 14．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． （1）根据一次函数的定义：形如（，为常数）叫作一次函数，即可求解； （2）根据正比例函数的定义：形如，其中为常数，叫作正比例函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：若是关于的一次函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的一次函数； （2）解：若是关于的正比例函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的正比例函数． 15．若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，注意正比例函数的未知数系数不能为零是解题关键． 利用正比例函数的定义列方程和不等式可求得a的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴． 故答案为：． 一次函数的解析式 16．如果一次函数（）的图象经过，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________． 【答案】/ 【分析】本题通过已知与直线平行，可知要求的函数解析式为，将点代入表达式，求出b值，就求出了函数解析式． 【详解】解：设这个一次函数的解析式为， ∵该一次函数的图象与直线平行， ∴，即函数表达式为， 将点代入表达式得， ， ， 函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象平行时，k值相等，通过代入经过的点来求出函数表达式． 17．在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 【答案】(1) (2)，，三点在同一条直线上，详见解析 【分析】（1）根据点、坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）将点坐标代入（1）中解析式中，判定是否符合函数解析式即可作出判断． 【详解】（1）解：设过，两点的直线的函数解析式， 则，解得， ∴直线的函数解析式为 （2）解：，，三点在同一条直线上， 理由：当时，， ∴点在直线上， 即，，三点在同一条直线上． 18．如图，直线：分别与x轴、y轴交于，B两点．过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且．求直线的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握求解析式的方法是解题的关键； 先把点的坐标代入，求出的值，即可得到点的坐标，再根据比值即可求得点的坐标，则可设出的解析式，将点坐标代入解析式即可求得． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 即． 当时，， 即点B的坐标是， ． ， ， ∴点的坐标是． 设直线的函数表达式为． 把点C的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式是． 已知函数经过的象限求参数范围 19．在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 【答案】(1)8 (2)图见解析，N 【分析】（1）根据一次函数的比例系数大于0，图象过第一、三象限，求的最大值，那么把第二象限内的点代入即可； （2）求的当时直线与轴的交点，进而根据经过点和可得直线扫过的区域，即可求得直线不可能经过的点． 【详解】（1）解：∵一次函数的比例系数为，， ∴一次函数一定经过第一、三象限． ∵求b的最大值， ∴图象还应该经过第二象限的点． ∴． ∴ 答：b的最大值为8； （2）当时，图象经过 ∵图象必过点，， ∴直线运动的区域为过点和点的直线l与y轴之间的区域（不包括直线l和y轴）． ∴直线不可能经过的点是N． 故答案为：N． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质得应用．用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过第一、二、三象限，一次函数的比例系数越大，随的增大越明显． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将、坐标分别代入函数表达式，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为对应的自变量的值即可得到点坐标； （2）分情况讨论：当直线过点时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的的取值范围． 【详解】（1）解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． （2）解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值，   ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题． 21．已知：一次函数． (1)如果此函数图象经过原点，那么应满足的条件为______； (2)如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件为______； (3)如果此函数图象与轴交点在轴下方，那么应满足的条件为______； (4)如果此函数图象与轴交点到轴的距离为，那么应满足的条件为______． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)或 【分析】将点代入一次函数解析式，即可求出的值； 根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第二、三、四象限时，，且，即可求出的范围； 先求出一次函数与轴的交点坐标，再根据图象与轴交点在轴下方得到且，即可求出的范围； 先求出一次函数与轴的交点坐标，再根据图象与轴交点到轴的距离为，得出交点的纵坐标的绝对值等于，即可求出的值． 【详解】（1）一次函数的图象过原点， ， 解得． 故答案为：； （2）该函数的图象经过第二、三、四象限， ，且， 解得． 故答案为：； （3）， 当时，， 由题意，得且， 且． 故答案为：且； （4）， 当时，， 由题意，得且， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．也考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)在 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，正确解方程组是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）把代入得出y的值，进而判断得出答案； （3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再运用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 所以该一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 所以点在该函数图象上； （3）解：对于直线， 当时，；当时，，即， ∴直线与轴交点为，与轴交点为， 所以与坐标轴围成的三角形的面积为． 23．如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解，一次函数与坐标轴的交点问题，准确求出一次函数的解析式为解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入，求出C点坐标，求出的面积，设，表示出，利用的面积等于的面积的，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把点，分别代入 得， 解得， 一次函数解析式为； （2）将代入， 得， 解得：， 即， ， 设， 的面积等于的面积的， ，即， 解得，或， 点坐标为或． 24．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数，平面直角坐标系和三角形全等的判定，掌握了以上知识是解题的关键； （1）把代入，可得长度，然后把把代入，求出点的坐标，进而求出，把代入，求出的长度； （2）需要先证明，然后分别求出和，求出，再求出和，求出，即可求解 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴点B为， 把点代入，得， ∴， 把代入，得， 即； （2）解：记交x轴于点F，如图： ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 画一次函数图象 25．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)图见解析，图象经过第一和第三象限 (2)图见解析，图象经过第一、第三和第四象限 (3)图见解析，图象经过第一、第二和第三象限 【分析】本题主要考查了画一次函数的图象，判断图象经过的象限，解题的关键是掌握描点法． （1）根据正比例函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定点的坐标，然后作经过原点和该点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （2）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可； （3）根据一次函数的性质，给出自变量一个值，求出对应的函数值，确定两个点的坐标，然后作经过两个点的直线即可，通过图象确定函数图象经过的象限即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， 当时，， ∴过原点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一和第三象限； （2）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第三和第四象限； （3）解：如图，直线即为所求， 当时，， 当时，， ∴过点和作直线即可， 由图可得，图象经过第一、第二和第三象限； 26．已知一次函数的图象经过点， (1)①求k，b的值； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (2)直接写出函数图像与x轴交点坐标：______； 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的图象与性质． （1）①把点，，分别代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； （2）根据函数图象与轴的交点坐标特征，列方程即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意把点，，分别代入得： ， 解得； ②画出函数图象如下： （2）解：当时，可得， 解得， 所以函数图象与轴交点坐标为， 故答案为：． 27．已知一次函数 x 1 y (1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的图象： (2)根据图象回答下面的问题 ①y的值随x的值的增大而______； ②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______； ③原点O到直线的距离为______； 将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______． 【答案】(1)3；2；函数图象见解析 (2)①减小；②；③；④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，函数值，点的坐标的特征，三角形的面积，函数图象平移的特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数的解析式解答即可； （2）①利用一次函数图象的性质解答即可； ②依据函数的图象，令，求得值即可； ③求得点坐标，利用勾股定理求得的长度，再利用三角形的面积公式列方程解答即可； ④利用一次函数的图象平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ． 故答案为：3；2； 画出函数的图象如下图： （2）解：①根据图象：的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小； ②令，则， 点的坐标是． 故答案为：； ③由函数图象可知：， ， ， ， ， 设原点到直线的距离为， ， ， ． 故答案为：； ④将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为． 故答案为：． 一次函数图象的平移 28．如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、中点坐标公式、一次函数图象的平移规律以及一元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法和一次函数图象平移规律是解题的关键． （1）已知直线上两点坐标，利用待定系数法列方程组，求解直线的斜率和截距，从而得到直线表达式． （2）先根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，再根据上加下减的平移规律写出平移后的直线解析式，最后将中点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 ， ∴解得， ∴直线AB的表达式为； （2）解：∵线段CD的端点为，， ∴线段CD的中点坐标为， ∵直线AB向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入解析式，得， ∴解得． 29．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关计算是解题的关键； （1）用待定系数法求出函数解析式，然后根据函数解析式平移的性质得到直线的解析式； （2）由（1）可得直线的解析式，求出点点的坐标，再根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ． 将函数的图象向上平移个单位长度后得到的图象的解析式为， 即， 则直线的函数解析式为． （2）解：在中， 令，得； 令，得， ，， ，， ． ∴的面积为． 30．已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质、点与函数图象的关系以及两直线平行的性质． （1）根据已知点在函数图象上，将点的坐标代入函数解析式，即可求出的值． （2）根据两直线平行，斜率相等，即一次项系数相等，由此可求出的值，进而得到一次函数解析式． 【详解】（1）解：点在函数的图象上， ， 解得． （2）解：在函数的图象平行于直线， ， 解得， ， 一次函数解析式为． 一次函数的增减性 31．已知一次函数． (1)若函数图像经过原点，求m的值； (2)若函数图像与y轴的交点坐标为，求m的值； (3)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)满足条件的m值不存在 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，根据一次函数增减性求参数，一次函数图象与坐标轴的交点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据函数图像经过原点，列出关于m的方程求解； （2）根据函数图像与y轴的交点坐标为，列出关于m的方程求解，再结合是一次函数求解； （3）根据一次函数，y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解． 【详解】（1）解：因为函数图像经过原点， 所以， 解得：； （2）解：因为函数图像与y轴的交点坐标为， 所以， 解得：； 因为是一次函数， 所以，即， 故满足条件的m值不存在． （3）解：因为一次函数，y随x的增大而减小， 所以， 解得：． 32．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 33．在平面直角坐标系中，已知一次函数．点是平面内一点，为任意实数，将点向上平移1个单位长度得到点． (1)当时， ①若一次函数图象过点，则_____． ②若一次函数与线段有公共点，求的取值范围． (2)如果当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点，直接写出满足题意的的取值范围_____． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、函数图象上点的坐标特征以及两直线的交点问题，熟练掌握一次函数的表达式与点坐标的关系、联立方程求交点是解题的关键． （1）已知的值可确定点坐标，将其代入一次函数表达式，通过解方程求．②：先根据的值确定、坐标，再结合一次函数过定点，求出函数过、时的值，进而确定的取值范围． （2）先确定、所在直线，再分别联立一次函数（取边界值）与、所在直线的方程，求出交点对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，点坐标为 把代入，得 ②当时，，由向上平移个单位得 一次函数过定点 当函数过时，， 当函数过时，， 因为一次函数与线段有公共点， 所以 （2）解： ，点由上移个单位， ． 当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点， 当时，，则，可得； 当时，，则，可得． ． 故答案为：． 一次函数与方程 34．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 35．如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数和的图象相交于点点P的横坐标为1． (1)直接写出关于的方程组的解是___________； (2)a=___________： (3)求出函数和的图象与轴围成的的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组的解，求直线构成的三角形的面积，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式，然后根据直线交点即可得出方程组的解； （2）利用待定系数法求函数解析式即可 （3）根据函数的解析式求出与坐标轴的交点坐标，求出线段的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，，， 解得， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴， ∴的面积为． 36．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 一次函数与不等式 37．已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析， (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设一次函数的解析式为，根据“当时，当时”计算即可； （2）画出图象，求出当时，进而计算即可； （3）由函数图象可知，y随x的增大而增大，当时，，当时，，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵当时，当时， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图： 当时， ∴图象与两条坐标轴围成的三角形面积为； （3）解：由函数图象可知，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 即时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 38．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数与不等式，一次函数的平移，熟练掌握以上知识点是解答此题的关键． （1）分别求出直线与轴、轴的交点，画出函数图象即可； （2）根据函数图象与坐标轴的交点可直接得出结论； （3）根据平移的规律求得即可． 【详解】（1）解：当时，；当时，， x … 0 2 … y … 4 0 … 画图如下图，即为所求： （2）解：根据图象，可知时，直线的图象在轴上方，那么当时，x的范围是； 故答案为：； （3）解：将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为． 故答案为：． 39．学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题． 【课本原型】原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象； 【数学思考】：（2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：______； 【深入探究】：（3）已知函数（其中n为常量），并解决下列问题： ①该函数的图象与x轴的交点坐标为______； ②若当自变量时，此函数的最小值为，请求出此时n的值． 【答案】（1）见解析；（2）函数；（3）①；② 【分析】本题考查了一次函数性质与图象，数形结合是解题的关键． （）根据表格数据，画出函数图象即可； （）根据函数图象，写出一条性质即可； （）①令，求解即可得出结果；②在自变量范围内，分情况讨论最值情况得到结果即可． 【详解】解：（）补全图象如图所示： （）由图象可知，函数； （）①令， 解得，则函数的图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； ②若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，符合题意， 若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，舍去， 若，当时，函数取最小值， ∴， ∴， ∴，舍去， ∴综上，． 一次函数的实际应用——分配方案 40．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品1包 (2)应选取A种食品3包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品1包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品3包，B种食品2包． 41．为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 【答案】(1)y=x-0.5 (2)当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算，当x=2时，李老师选择两种支付一样，当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算 【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数解析式； （2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题． 【详解】（1）解：（1）当x≥0.5时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=kx+b， ， 解得，， 即当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式是y=x-0.5； （2）设会员卡支付对应的函数解析式为y=ax， 则0.75=a×1，得a=0.75， 即会员卡支付对应的函数解析式为y=0.75x， 令0.75x=x-0.5，得x=2， 由图象可知，当0<x<2时，李老师选择手机支付比较合算， 当x=2时，李老师选择两种支付一样， 当x>2时，李老师选择会员卡支付比较合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题． 42．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱辆） 租金（元辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 【答案】（1）；（2）最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用和此时的租车方案． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 即与的函数关系式为； （2）由题意可得， ， 解得，， ， ，随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时，， 答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 一次函数的实际应用——最大利润 43．某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价12万元，售价14.5万元；乙种商品每件进价8万元，售价10万元．若这两种商品的进价和售价保持不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不超过200万元．设购进甲种商品x件，总利润为y万元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)该公司采用哪种进货方式可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) 购进甲种商品10件，乙种商品10件，最大利润为45万元 【分析】本题主要考查不等式，一次函数的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据题意，设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，结合题意列不等式得到，分别计算甲、乙的利润即可得到关于的函数表达式； （2）根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：现准备购进甲、乙两种商品共20件，设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， ∵所用资金不超过200万元， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，甲种商品的利润为（万元）， 乙种商品的利润为（万元）， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：∵在中，， ∴利润随的增大而增大， ∴当时，利润的值最大，最大利润为万元，则， ∴购进甲种商品10件，乙种商品10件，最大利润为45万元． 44．西安滨河学校为奖励在数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》中获奖的同学，年级组委派张老师为获奖同学每人购买一件奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请问有哪几种购买方案？ (3)若该学科活动只奖励30名同学，每位同学只能得到一本笔记本或者一支钢笔，要求笔记本的数量不能超过15本，求张老师购买的总费用P（元）与笔记本数量a（本）之间的关系，并通过计算说明总费用至少是多少元． 【答案】(1)每本笔记本18元，每支钢笔20元 (2)购买方案有：①笔记本30本、钢笔9支；②笔记本20本、钢笔18支；③笔记本10本、钢笔27支 (3)，总费用至少是570元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出P关于a的函数关系式． （1）设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据“买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；买5本笔记本和1支钢笔，需要110元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本笔记本，n支钢笔，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案； （3）利用总价=单价×数量，可找出P关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元，根据题意得： ， 解得：． 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔； （3）解：根据题意得：， 即， ∵， ∴P随a的增大而减小， 又∵， ∴当时，P取得最小值，最小值为（元）． 答：总费用至少是570元． 45．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 一次函数的实际应用——行程问题 46．如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查了本题是几何双动点问题，正确理解图象的变化与动点运动位置之间的关系是关键． （1）由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上，再利用面积求a； （2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒，由此列函数关系式即可； （3）在（2）的基础上，两个点相距分为相遇前相距或相遇后两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当点P在上运动时，的面积保持不变，则a秒时，点P在上， ， 即， 解得， ； （2）解：由（1）知，6秒后点P变速，则点P已行的路程为； 点运动的路程总长为（），第6秒时已经走了，故点Q还剩的路程为； （3）解：当P、Q两点相遇前相距时， ， 解得； 当P、Q两点相遇后相距时， ， 解得； 当或时，P、Q两点相距． 47．两地相距，小星和小亮两人沿同一条路从地到地、小星骑自行车先出发，3小时后小亮骑摩托车出发，，分别表示小星，小亮离开地的距离（单位：）与小星出发后的时间（单位：）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)求对应的函数表达式： (2)小星出发后，经过多长时间，两人相距？不写过程，直接写出答案． 【答案】(1) (2)小星出发或小时后，两人相距 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据函数图象将，代入一次函数解析式，待定系数法求解析式，即可求解． （2）先求得的解析式，根据两人相距，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的函数解析式为，代入，得 解得： ∴对应的函数表达式为 （2）解：设的函数解析式为，代入得， ， 解得：， ∴的解析式为， 依题意，或， 解得：或， 答：小星出发或小时后，两人相距． 48．已知一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且返回速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图所示：      (1)快车比慢车晚出发 小时； (2)当快车返回甲地时，求出快车离甲地的距离y与慢车行驶时间t的函数表达式； (3)求两车先后两次相遇的时间间隔． 【答案】(1)2 (2) (3)两车先后两次相遇的时间间隔为小时 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法是关键． （1）根据函数图象判定即可； （2）根据题意得到快车的速度为，由此得到点的坐标，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出直线的解析式，联立方程得到的坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，快车比慢车晚出发2小时， 故答案为：2； （2）解：快车往返的时间是，行驶的路程为， ∴快车的速度为， ∴， ∴快车从甲地到达乙地用了2小时， 如图所示，    ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴； （3）解：根据题意，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴直线联立方程组得，， 解得，， ∴， 直线联立方程组得，， 解得，， ∴， ∴， ∴两车先后两次相遇的时间间隔为小时． 从函数图象获取信息 49．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 50．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 【答案】(1)甲的速度为，乙的速度为 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以分别求得甲和乙的速度； （2）根据（1）中的结果和图象中的数据可以求得点C的坐标； （3）分甲和乙相遇前两人相距和当甲和乙相遇后两人相距两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）从可以看出：两人从相距的两地相遇用了一个小时时间， 则， ∵甲的速度小于乙的速度， ∴甲用了3小时走完了的全程， ∴， ∴； （2）解：C点的意义是乙骑车从B地到A地用了，此时甲和乙的距离是， ∴C点坐标是； （3）解：当甲和乙相遇前两人相距时，则， 解得； 当甲和乙相遇后两人相距时，则， 解得， 综上，甲乙两人相距时，的值为或． 51．已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 【答案】(1)8；24；17 (2)t或 (3)或或 【分析】本题考查动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，速度、时间、路程之间的关系，三角形的面积等知识，采用了数形结合的思想方法．解题的关键是读懂图象信息． （1）因为点速度为，所以根据图的时间可以求出线段，和的长度；由图像可知的值就是的面积，的值就是运动的总时间，由此即可解决； （2）分两和情况，由三角形面积可得出答案； （3）分，，三种情况，利用矩形的判定及性质及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，点从的运动时间为， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为：， ∴， 由图2可知，点从的运动时间为， ∴． 根据题意得： ， ∵， ∴ ． ∴图2中的值为，的值为． 故答案为：8；24；17． （2）解：①当点P在上时， ， ∴， 此时； ②当点P在上时， ， ∴， 即还剩，P点运动到A点， ∴此时， 综上，或时，的面积S是15； （3）解：如图，当时，， 如图，当时，过点作于， ∴ 由题意得 ∴四边形是长方形， ∴， ∴； 如图，当时， ， 综上，若是等腰三角形时，的值为或或． 点坐标规律探索 52．如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程，再由运动速度得出运动一周所用的时间，再根据规律得出第2026秒的小球所在位置． 【详解】解：如图， 根据题意得： 小球运动一周所走的路程， ∵小球以每秒个单位长度的速度运动， ∴小球运动一周所用的时间为：（秒）， ∴， ∴第2026秒的小球所在位置为点， ∴第2026秒时点P的坐标为． 故选：C． 53．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出一定数量的坐标，可得出点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环，即可求解． 【详解】解：∵，，，，，，，，，，，， ，，，，，， ∴点（为正整数）的横坐标为，纵坐标为每6个一循环， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标与的纵坐标相同为， ∴点的坐标为． 54．如图所示，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如，，，，，，根据这个规律探索可得：第21个点的坐标为________，第2025个点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题综合考查了平面直角坐标系中的点的坐标规律，观察发现点的分布规律，即每一列点的变化规律以及运动方向或顺序以及数形结合思想的运用成为解答本题的关键． 通过观察可以发现每列的点的个数是有规律的，分别有1，2，3，4…，n个，而且奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上，按这个规律即可求出第21个和第2025个点的坐标． 【详解】：将点作为第1列， 将横坐标为2的点即点和点作为第2列， 将横坐标为3的点作为第3列，依次类推……； 则第n列的点的横坐标为n，则前n列一共有的点的个数为， 当时，， 则第21个点的坐标在第6列自下向上第6个数，则该点坐标为． 当时，， 则第2025个点在64列自下向上第9个数，则该点坐标为． 故答案为：，． 一次函数与线段的交点问题 55．如图，已知点，．若直线与线段有交点，则k的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合的思想进行转化解题． 直线恒过定点，因为直线与线段有交点，求得直线经过点、时的的值，从而得到的取值范围． 【详解】解：， ∴直线恒过定点， ∵直线与线段有交点， ∴当直线过点时， 则， 解得， 当直线过点时， 则， 解得， ∴的取值范围为或． 故答案为：或． 56．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 57．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据一次函数的图象过定点，再利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，当时，， 所以一次函数的图象过定点． 由得，， 所以点B坐标为． 将代入得，， 所以点A坐标为． 当一次函数图象经过点A时， ， 解得． 当一次函数图象经过点B时， ， 解得， 所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：． 一次函数的平移规律 58．在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解本题的关键在掌握函数图象经过的点，必能使解析式左右相等． 首先计算出当点在直线上时m的值，再计算出当点在直线上时m的值，点M在两条平行直线之间，即点M的纵坐标介于两条直线在相同横坐标处的纵坐标之间，即可得答案． 【详解】解：点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 当点在直线上时，当 时，， ∴此时，解得， 又∵点在两条直线之间，且两条直线平行， ∴， 故选：B． 59．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线、不能围成三角形，则k的值为________． 【答案】2或3或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，分三种情况：当经过点时，；当，平行时，；当，平行时，，于是得到结论． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∵一次函数的图象为，且、、不能围成三角形， ∴有以下三种情况： 当经过点时，即，则； 当，平行时，； 又∵正比例函数的图象过点， ∴，则， ∴当，平行时，； 综上所述，当k的值为2或3或时，直线、、不能围成三角形． 故答案为：2或3或． 60．如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或． 【分析】（1）先根据直线求出A、B的坐标，进而求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）根据平移规律求出的解析表达式，然后联立和的解析表达式可求出F的坐标，联立和的解析表达式可求出D的坐标，设直线与y轴交于点G，求出点G的坐标，根据，可求出点P的纵坐标，进而求出横坐标，即可求解； （3）分两种情况讨论：当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形，则，根据等角对等边可证明，证明，得出，，则，，联立解方程组，可求出H的坐标，根据待定系数法求出直线解析表达式，联立直线和直线解析表达式可求出点M的坐标；当M在直线左侧时，类似求解即可． 【详解】（1）解∶对于直线：，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线：与轴交于点， ∴， ∴， ∴直线的解析表达式为； （2）解：∵直线向左平移个单位长度得到直线， ∴直线的解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， 设直线与y轴交于点G， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，， 解得， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（2）知：直线的解析表达式为， 当M在直线左侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 解得，， ∴， ∴， 设直线解析表达式为， 则， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为； 当M在直线右侧时，如图，过B作于H，过H作轴于L，过B作于K，则四边形是矩形， 同理可求， 直线解析表达式为， 联立方程组， 解得， ∴M的坐标为， 综上，M的坐标为或． 一次函数的增减性求参数 61．在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将交点代入直线，计算得出m，进而得出点A坐标；再将点A代入，进行计算即可； （2）根据题意可得、，进而可求出，再根据题意分和两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线， 得：， 点的坐标为， 将点的坐标代入直线， 得： 解得：； （2）解：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 线段的长为 ， 当时，线段的长恒大于1， 在时恒成立， ∴当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最小值在， 则当时， 解得， ∴； 当时，，恒成立， 当时，随n的增大而减小，最小值在， 则当时， 解得， ∴， ∴k的取值范围为； 当时（即），在时恒成立， 令， 当时，随n的增大而增大，最大值在， 则当时， 解得，无解； 当时，，不成立，无解； 当时，随n的增大而减小，最大值在， 则当时， 解得，无解； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题核心是交点坐标的性质与绝对值不等式的区间恒成立，第1问利用交点满足两直线解析式求解；第2问将线段长转化为绝对值式，分类讨论一次函数增减性，关键是恒成立的最值分析． 62．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见详解；②或 【分析】本题考查一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的最值问题，关键是利用恒过定点得到这一核心关系式． （1）利用待定系数法，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到函数表达式； （2）①根据点在函数图象上的性质，将两点坐标分别代入对应函数解析式，得到关于的两个等式，结合的关系对等式变形，从而证明； ②先化简的表达式，再代入得到只含参数的一次函数，根据一次函数的单调性，分和两种情况讨论函数在给定区间内的最大值，进而求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①证明：∵点在的图象上， ∴； ∵点在的图象上， ∴； ∴， 又∵恒过， ∴，即， ∴，移项化简得， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 分两种情况讨论： 当时，， ∴在上随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 当时，， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 综上，的值为或． 63．已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)函数的最大值与最小值的差为 (3)不变，定值为 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，关键是灵活应用知识点解题； （1）将点坐标代入解析式即可求出结果； （2）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； （3）根据一次函数的增减性可得当时函数值最大，当时函数值最小，两者求差即可； 【详解】（1）解：∵一次函数经过点， ，解得． （2）解：∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为10；当时，的最小值为2， ∴函数的最大值与最小值的差为． （3）解：定值为，理由如下： ∵，所以随的增大而减小， ∴当时，的最大值为， 当时，的最小值为， ∴最大值与最小值的差为：． 一次函数的旋转问题 64．如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点 (2)点E的坐标为 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 65．（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）令，得出，解关于x的方程即可得出答案； （2）根据平移特点得出解析式即可； （3）求出直线与坐标轴的交点，然后再求出旋转后的坐标，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：（1）令得， ， ∴与x轴的交点坐标为：； 故答案为：； （2）直线沿着轴正方向平移2个单位后，， ； 故答案为：； （3）将，代入得：，， 解得：， ∴直线与坐标轴的交点为：，， ∴这两个点绕坐标原点顺时针旋转后的坐标为：，， 令旋转后的直线解析式为，把，代入得：， 得， ， 旋转后的直线解析式为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，与坐标轴的交点，求出旋转后对应点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式，是解题的关键． 66．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 【答案】 【分析】根据已知条件得到A（，0），B（0，﹣3），求得OA＝，OB＝3，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的判定与性质证明△AOB≌△FEA得到AE＝OB＝3，EF＝OA＝，求得F（，－），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论． 【详解】解：∵一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B， ∴当x=0时，y=－3，当y=0时，x=， ∴A（，0），B（0，﹣3）， ∴OA=，OB=3， 过点A作AF⊥AB交BC于F，过点F作FE⊥x轴于E． 则∠AOB=∠FEA=∠BAF=90°， ∵∠OAB+∠EAF=90°，∠AFE+∠EAF=90°， ∴∠OAB=∠AFE． 又∵∠ABF＝45°，∠BAF＝90°， ∴∠AFB＝45°， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴ AB＝AF ∴△AOB≌△FEA（AAS） ∴AE＝OB，EF＝OA， ∴ OE＝AE+OA＝3+＝，EF＝OA＝， ∴F（，－）． 设直线BC为y＝kx－3，把点F（，－）代入y＝kx－3中， ∴－＝k－3， ∴k＝， ∴直线BC的函数表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质、等角对等边，正确的作出辅助线是解题的关键． 一次函数的存在性问题 67．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 68．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． (1)不等式的解集为______． (2)在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）直接利用图象法求出不等式的解集即可； （2）分两种情况进行讨论求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， 由图象可知：的解集为：； （2）存在； 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，则：或； 当时，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：或或； （3）把代入，得：， 解得：， ∴， 设， ∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴ 综上：或． 69．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点C，D分别为直线l：与x轴、y轴的交点． (1)求A点的坐标和k的值； (2)在直线l上存在一点P，使得求点P的坐标． (3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P坐标为或． (3)存在，①或，②或，③，或，； 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，等腰三角形的性质和判定； （1）求出点B坐标，根据，推出点A坐标，把代入直线即可解决问题． （2）设．分两种情形①当P在上方时，根据计算即可．②当P在下方，与C重合时，满足 （3）存在，分三种情形讨论即可：①作的平分线交于点M，易知，作交x轴于N，作于，则是等腰直角三角形；是等腰直角三角形．②当点M与D重合时，在x轴上截取，此时是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，③作平分交于M．易知，作轴于N，作交于，则是等腰直角三角形，是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：直线与y轴交于B点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入直线得到， ∴． ∴，． （2）解：如下图中，设． ①当P在上方时， ∵， ∴， 解得，此时点P坐标为． ②当P在下方，与C重合时， 满足， 此时点P坐标为． （3）解：存在．理由如下： ①如下图中，作的平分线交于点M，易知，作交x轴于N，作于． 则是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形，． ②如下图中，当点M与D重合时，在x轴上截取， 此时是等腰直角三角形，此时， 是等腰直角三角形，此时． ③如下图中，作平分交于M．易知，作轴于N，作交于． 则是等腰直角三角形，，； 是等腰直角三角形，，． 一次函数的翻折问题 70．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标． （3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）y＝x－6；（2）（，－） （，－）；（3）4＜a＜ 【分析】（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得到二元一次方程组，解之求得k，b的值，即可得到直线AB的函数表达式； （2）由题意知直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0,－6)，(2，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标；若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入即可求出直线BM的解析式，再把P(a，－a＋1)代入即可求出a的值，从而得到P点的坐标． （3）令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，点P在定直线y=-x+1上运动，根据将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，可知点P在y=-x+1与直线AB交点坐标与AP为∠BAO外角的角平分线时和直线y=-x+1的交点坐标之间移动，求得两个交点坐标即可得出答案． 【详解】解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入得 ， 解得， ∴直线AB的函数表达式为y＝x－6； （2） ∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M， ∴①若S△OBM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(2，0)代入，得 ， 解得， ∴直线BM的解析式为y=3x-6， 把P(a，－a＋1)代入，得 3a-6=-a+1， 解得a=， ∴-a+1=， ∴点P的坐标为（，－）； ②若S△ABM∶S△AOB=1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)代入，得 ， 解得， ∴直线BM的解析式为y=x-6， 把P(a，－a＋1)代入，得 a-6=-a+1， 解得a=， ∴-a+1=， ∴点P的坐标为（，－）， 综上所述，点P的坐标为(，－）)，(，－)； （3） 令x=a，y=-a+1，则y=-x+1， ∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立， 解得， ∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限， ∴a>4， ∵点A（8，0）、B（0，－6）， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=， 当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)， 此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为，即点D(9，-3)， 设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得 ， 解得， ∴AP的解析式为y=-3x+24， 联立， 解得， ∴a<， 综上所述，a的取值范围4＜a＜． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的性质，勾股定理，两点间的距离公式．利用数形结合思想是解题的关键． 71．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点， ∴当时，得：， 解得； 当时，得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵过点B的直线交x轴负半轴于点C，， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 72．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点． 【问题初探】 (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ． (2)若是直线上一点，求直线的函数表达式． (3)【应用探究】在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)【拓展延伸】E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点D的坐标为或 (4)或 【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理，用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）求出时，y的值，可得点B的坐标，求出时，x的值，可得点A的坐标；（2）先求出m的值，再利用待定系数法解答，即可求解； （3求出，进而得到，设点D的坐标为，根据的面积等于的面积的一半，列出方程求解即可； （4）设，当B点的对称点在x轴负半轴上时，在中，，可求；当B点的对称点在x轴正半轴上时，在中，，可求． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴点，， 故答案为：，； （2）解：∵点是直线上一点， ∴， 解得， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得， 解得， ∴直线的解析式是． （3）解：由（1）得：点A的坐标是．点B的坐标是， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的一半， ∴， 解得或， 当时，， 当时， ∴点D的坐标为或； （4）解：设， 如图1，当B点的对称点在x轴的负半轴上时， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图2，当B点的对称点在x轴正半轴上时， 由折叠可知，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 综上所述，点E的坐标为或． 分段计费问题 73．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)该户居民8月共用水25吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以计算出用水不超过10吨时，每吨的水费； （2）根据图象中的数据，可以计算出当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式； （3）先判断用水的范围，再代入一次函数计算即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入， 得， 解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 74．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 【答案】(1) (2) 该户这一年的电费为元； (3) 该户去年一年的用电量为． 【分析】本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档的电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：， 化简得； （2）解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元； （3）解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 75．为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 一次函数的新定义问题 76．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握求一次函数与坐标轴交点的方法以及讨论等腰三角形的存在性． （1）求出点A和点B的坐标，即可解答； （2）求出点C和点D的坐标，根据，列出方程，即可解答； （3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：当点Q在y轴上时，分3种情况进行讨论，结合“L路径”的定义，即可解答． 【详解】解：（1）把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ； （2）∵将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m， ∴直线m： ， 把代入得：， 把代入得：，解得， 、， ，， ， ， 解得：； （3）， 、， 根据勾股定理可得：， 点Q在y轴上，共分为三种情况： 第一种情况，当时， 或， 点关于直线l的“L路径”与直线m没有交点，故不符合题意， 即只有符合题意； 第二种情况，当时， ， ， ； 第三种情况，当时， 设， ， 根据勾股定理可得：， 则， 解得：， ； 综上所述，存在，点的坐标为或或． 77．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)或，见解析； (3) 【分析】本题属于新定义与一次函数相结合的综合压轴题，读懂定义，紧扣定义解题，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键． （1）根据“直角距离”分别计算四个点到原点的距离，即可判断； （2）根据“直角距离”的定义得，分四种情况可得四个函数关系式，分别画出即可； （3）先根据题意可得点C的坐标为，根据，并由（2）可得：点D在正方形边上，如图2，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，k的最小值是过F的直线，代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点、， ∴， ∴与原点的“直角距离”等于1的点是， 故答案为：； （2）解：设， ∵点与原点的“直角距离”， ∴， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当，时，，即， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或， 如图1所示， 故答案为：或； （3）解：∵点的坐标为，， 同（2）可得：则点在正方形边上，如图2， ∴，，，， 又∵点在直线， 由图2可知：的最大值是过点的直线，的最小值是过的直线， 把点的坐标代入中，，解得：， 把点的坐标代入中，，解得：， 故的取值范围是：． 78．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．例如：点与的“直角距离”． （1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________； （2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”，请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； （3）已知直线，点是x轴上的一个动点． ①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围； ②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）根据题中所给出的两点的“直角距离”定义计算即可得出结论； （2）先求出线段AB的解析式，根据轴对称和中心对称可得所有满足条件的点P组成的图形为正方形，由此画出函数图形即可； （3）①由（2）得满足的点组成的图形为正方形EFMN（CE=CF=CM=CN），可得E，F，M，N的坐标，分别代入求出k的值，即可得k的取值范围； ②由题意得，可得E（1，0），F（0，2），设H（x，），由线段EF的位置可得，由根据两点的“直角距离”定义列不等式，分两种情况解不等式，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意得： ， ， ， ， ∴与原点O的“直角距离”等于1的点是，； （2）∵线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1， ∴线段与原点对称的线段，与x轴、y轴对称的线段都满足与原点O的“直角距离”都等于1， ∴符合条件的点P组成的图形如图所示： （3）①∵当时，， 由（2）得满足的点组成的图形为正方形EFMN（CE=CF=CM=CN），如图， ∴E（2，0），F（3，-1），M（4，0），N（3，1）， 分别代入得 ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ∴k的取值范围是：； ②∵当时，直线， ∴直线与x轴，y轴的交点为E（1，0），F（0，2）， 设H（x，），由线段EF的位置可得， ∵， ∴ ∵ ∴，即， 当t＞x时，， ∵， ∴， ∵t＞x，， ∴； 当t＜x时，， ∵， ∴， ， ∵t＜x，， ∴， 综上，t的取值范围为：． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到点到直线的距离、绝对值的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征、求不等式组的解集等相关知识，属新定义型题目，有一定难度． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一次函数 函数的相关概念 变量与常量 1.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量. 2.判断一个物体是常量还是变量的方法：看这个量的值在某一变化过程中是否发生改变，若在变化过程中这个量的值不变，则这个量就是常量，若这个量的值会发生改变，则这个量就是变量. 3.常量不等于是常数，它可以用一个数值不改变的字母来表示. 函数的概念 1.函数：一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.确定函数与自变量的方法：在某个变化过程中处于主导地位的变量是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量是该变量的函数. 3.函数具有唯一对应性，判断两个变量是否具有函数关系，不能只看是否有关系式存在，还要看对应给定的x的每一个值，y是否有唯一值与之对应. 4.函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如果两个变量x与y，若y是x的函数，就不能说成x是y的函数. 函数的三种常见表示方法 表示法 定义 优点 缺点 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出与之对应的函数的值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式，用函数表达式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用表达式表示出来 图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 能直观、形象地反映出函数关系变化的趋势 由自变量的值常常难以找到对应函数的准确值 函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色. 函数的图像 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标，对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像. 函数的自变量与函数值 1.自变量的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围. 2.常见函数自变量取值范围的确定： （1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数； （2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数； （3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数； （4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零； （5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3.函数值：y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值. （1）一个函数的函数值随着自变量值的变化而变化，因此在求函数值时，一定要明确是求自变量为多少时的函数值. （2）对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个. 平面上确定物体位置的方法 在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据，常用的方法如下： 1.行列定位法：用行数和列数表示物体的位置. 将平面分成若干行和若干列，然后利用平面上点所在的行数和列数表示平面上点的位置. 2.经纬定位法：只要知道一点的纬度和经度，就可以确定这点在地球仪上的位置. 3.方位角和距离定位法：用方向和距离确定平面上点的位置时，先要选择参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示. PS：用方位角和距离确定物体的位置时，一般方向在前，距离在后，且方向和距离都要有，两者缺一不可. 4.区域定位法：一般先将平面划分成横纵区域，然后用横纵区域的编号表示物体的位置，区域定位法一般用大写英文字母或阿拉伯数字来确定位置，其优点是简单、明了，缺点是不够精准. 5.方格定位法：一般地，在方格纸上，一点所在的位置由横向格数和纵向各数确定，可以记作（横向格数，纵向格数）或（水平距离，纵向距离）. 平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点，如图所示： 平面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的，一般情况下，同一直角坐标系中，x轴和y轴的单位长度相同的，一些特殊情况下，受坐标轴所表示数量意义的影响，x轴和y轴的单位长度可以有所不同，但同一坐标轴上的单位长度必须相同. 2.点的坐标 （1）点的坐标：在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标.平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面.有序数对（a，b）叫做点P的坐标，记作:P(a，b)，如图所示： （2）确定点的坐标的方法： ①确定横坐标：从该点向x轴作垂线，垂足在x轴上的数字为该点的横坐标； ②确定纵坐标：从该点向y轴作垂线，垂足在y轴上的数字为该点的横坐标. ③用有序实数对将它表示出来，横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，并用小括号将它们括起来. （3）有序实数对（2，1）和（1，2）数字一样，顺序不一样，表示点的位置也是不一样的. （4）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的. （5）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. 象限的划分与点的坐标特征 1.象限的划分：两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限，按逆时针顺序分别记为一、二、三、四象限，各象限内点的坐标、符号特征为第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图所示： 2.点的坐标特征 点在坐标平面内的位置不同，点的坐标特征也就不同，具体如下： 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 象限内的点 点M在第一象限 M（正，正） 点M在第二象限 M（负，正） 点M在第三象限 M（负，负） 点M在第四象限 M（正，负） 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 原点 M（0，） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝－y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴/MN⊥y轴 M、N两点纵坐标相等 MN∥y轴/MN⊥x轴 M、N两点横坐标相等 注：原点既在x轴上，又在y轴上. 知识点三、图形变换与点的坐标变化 1.对称点的坐标特征 （1）关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于x轴对称的点是（a，－b）； （2）关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，即点P（a，b）关于y轴对称的点是（－a，b）； （3）关于坐标原点对称：横、纵坐标互为相反数，即点P（a，b）关于原点对称的点是（－a，－b）. 2.图形的变化与坐标特征 对于图形上任意一点A（a，b） 图形变化 对应图形 点A变化后的对应坐标 变化后点的坐标特征 平移变换（k＞0） 向上平移k个单位长度 A1（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标加k 向上平移k个单位长度 A2（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标减k 向上平移k个单位长度 A3（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标加k 向上平移k个单位长度 A4（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标减k 对称变换 关于x轴对称 A5（a，b＋k） 横坐标不变，纵坐标与原坐标互为相反数 关于y轴对称 A6（a，b＋k） 纵坐标不变，横坐标与原坐标互为相反数 注：当图形的平移方向与坐标轴不平行时，可以把这种平移分解为沿两坐标轴平行方向的两次平移. 一次函数、正比例函数的概念 1.一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 2.正比例函数：当b＝0时，即y＝kx（k为常数且k≠0），y叫做x的正比例函数. 3.正比例函数是一次函数的特例，即正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数. 4.一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 5.判断一次函数的方法：式子经过恒等变形后，若满足：（1）等号右边是关于x的整式；（2）自变量x的最高次数是1；（3）一次项系数k≠0这三个条件，则是一次函数，否则就不是一次函数. 一次函数的解析式 1.待定系数法：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数且k≠0）中有两个待定系数k、b，需要两个两个独立条件确定两个关于k、b的方程，这两个条件通常为两个点或两对x、y的值. 2.用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b（k≠0）； （2）列：将已知条件代入表达式，列出关于k、b的方程（组）； （3）解：解方程（组），求出k、b的值； （4）代：将k、b的值代回所设的函数表达式. 一次函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 一次函数的性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 一次函数图象的平移问题 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 一次函数与方程、不等式的关系 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 函数的相关概念 1．下列图象中，表示是的函数的是（    ） A．B． C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．求下列函数中自变量x的取值范围． (1)； (2)； (3)． 函数的表示法 4．关于两个变量y与x之间的关系的三种表述中，y是x的函数的有（    ） ①y：正方形的周长，x：正方形的边长；② ；③ A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 5．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 6．我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式． (1)用表格表示： 时间 1 2 3 路程 30 60 90 120 150 180 利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______ (2)用关系式表示： 设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______． 利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______． (3)用图象表示： 为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题： ①当时，_____． ②图中点A表示的意义是什么？    (4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点． 平面直角坐标系 7．在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 8．，是平面直角坐标系中的两点，连接，当线段长度最小时，的值为__，线段长为__． 9．在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点到y轴的距离为4时，求出点的坐标； (2)当直线平行于轴，且，求出点的坐标． 坐标的平移 10．如图，在直角坐标系中，已知，，，将向右平移3个单位再向下平移2个单位得到，点、、的对应点分别是点、、． (1)画出； (2)直接写出点、、的坐标； (3)直接写出的面积． 11．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在直线上． (1)求的值和点的坐标； (2)如果一次函数的图象与线段有公共点，则的取值范围是______． 12．已知， 在平面直角坐标系中， 点，，． (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出并直接写出m的值； (2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，． ①若点在y轴上， 求n的值和的面积； ②若， 且的面积为9， 求m的值． 一次函数的相关概念（含正比例函数） 13．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 14．与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 15．若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 一次函数的解析式 16．如果一次函数（）的图象经过，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是________． 17．在平面直角坐标系中有，，三点． (1)求过，两点的直线的函数解析式； (2)判断，，三点是否在同一条直线上？并说明理由． 18．如图，直线：分别与x轴、y轴交于，B两点．过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且．求直线的函数表达式． 已知函数经过的象限求参数范围 19．在平面直角坐标系中，已知点，，．    (1)若一次函数的图象经过已知三个点中的某一点，求b的最大值； (2)当时，在图中用阴影表示直线运动的区域，并判断在点M，N，P中直线不可能经过的点是　　． 20．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 21．已知：一次函数． (1)如果此函数图象经过原点，那么应满足的条件为______； (2)如果此函数图象经过第二、三、四象限，那么应满足的条件为______； (3)如果此函数图象与轴交点在轴下方，那么应满足的条件为______； (4)如果此函数图象与轴交点到轴的距离为，那么应满足的条件为______． 一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 23．如图，一次函数图象经过点，，与轴的交点为． (1)求这个一次函数解析式； (2)若在轴上有一点，且的面积等于的面积的，求点的坐标． 24．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 画一次函数图象 25．在同一平面直角坐标系中画出下列一次函数的图象，并分别指出图象经过哪些象限． (1)； (2)； (3)； 26．已知一次函数的图象经过点， (1)①求k，b的值； ②在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (2)直接写出函数图像与x轴交点坐标：______； 27．已知一次函数 x 1 y (1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的图象： (2)根据图象回答下面的问题 ①y的值随x的值的增大而______； ②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______； ③原点O到直线的距离为______； 将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______． 一次函数图象的平移 28．如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 29．如图，平面直角坐标系中，函数的图象过点，将图象向上平移2个单位长度后与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式． (2)求的面积． 30．已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； 一次函数的增减性 31．已知一次函数． (1)若函数图像经过原点，求m的值； (2)若函数图像与y轴的交点坐标为，求m的值； (3)若y随x的增大而减小，求m的取值范围． 32．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是________． 33．在平面直角坐标系中，已知一次函数．点是平面内一点，为任意实数，将点向上平移1个单位长度得到点． (1)当时， ①若一次函数图象过点，则_____． ②若一次函数与线段有公共点，求的取值范围． (2)如果当时，存在一次函数，它的图象与线段有公共点，直接写出满足题意的的取值范围_____． 一次函数与方程 34．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 35．如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数和的图象相交于点点P的横坐标为1． (1)直接写出关于的方程组的解是___________； (2)a=___________： (3)求出函数和的图象与轴围成的的面积． 36．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 一次函数与不等式 37．已知一次函数当时，当时． (1)求这个一次函数的解析式； (2)作出它的图象，并求出图象与两条坐标轴围成的三角形面积； (3)时，自变量的取值范围是______． 38．在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； x … … y … … (2)当时，x的范围是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，平移后的函数表达式为______． 39．学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题． 【课本原型】原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象； 【数学思考】：（2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：______； 【深入探究】：（3）已知函数（其中n为常量），并解决下列问题： ①该函数的图象与x轴的交点坐标为______； ②若当自变量时，此函数的最小值为，请求出此时n的值． （）由图象可知，函数； 一次函数的实际应用——分配方案 40．某校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为师生的午餐，这两种食品每包的营养成分表如下： (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选取，两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选取这两种食品共5包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选取这两种食品？ 41．为响应绿色出行号召，越来越多的市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（小时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题： (1)求：当x≥0.5时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（小时）的函数表达式； (2)李老师经常骑共享单车出行，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算． 42．某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱辆） 租金（元辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车辆，共需付租金元，请写出与的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 一次函数的实际应用——最大利润 43．某公司经营甲、乙两种商品，甲种商品每件进价12万元，售价14.5万元；乙种商品每件进价8万元，售价10万元．若这两种商品的进价和售价保持不变，现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不超过200万元．设购进甲种商品x件，总利润为y万元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)该公司采用哪种进货方式可获得最大利润？最大利润是多少？ 44．西安滨河学校为奖励在数学学科活动《说出精彩，“题”炼智慧》中获奖的同学，年级组委派张老师为获奖同学每人购买一件奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请问有哪几种购买方案？ (3)若该学科活动只奖励30名同学，每位同学只能得到一本笔记本或者一支钢笔，要求笔记本的数量不能超过15本，求张老师购买的总费用P（元）与笔记本数量a（本）之间的关系，并通过计算说明总费用至少是多少元． 45．某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 一次函数的实际应用——行程问题 46．如图1，在矩形中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿路线运动，到点A停止．若点P、Q同时出发，速度分别为每秒，，a秒时，P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒，（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是的面积s和运动时间x（秒）的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，、与x的函数关系式； (3)当P、Q两点都在边上时，若，求x的值． 47．两地相距，小星和小亮两人沿同一条路从地到地、小星骑自行车先出发，3小时后小亮骑摩托车出发，，分别表示小星，小亮离开地的距离（单位：）与小星出发后的时间（单位：）之间的关系．根据图象回答下列问题： (1)求对应的函数表达式： (2)小星出发后，经过多长时间，两人相距？不写过程，直接写出答案． 48．已知一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且返回速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图所示：      (1)快车比慢车晚出发 小时； (2)当快车返回甲地时，求出快车离甲地的距离y与慢车行驶时间t的函数表达式； (3)求两车先后两次相遇的时间间隔． 从函数图象获取信息 49．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 50．甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，甲的速度小于乙的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离与甲的行驶时间之间的函数关系．请你根据图象进行探究： (1)求甲和乙的速度； (2)C点的坐标是______； (3)当甲乙两人相距时，求的值． 51．已知动点P以的速度沿如图1所示的边框以的路径运动，记的面积为，s与运动时间的关系如图2所示，若．请回答下列问题： (1) ， ， ． (2)当的面积为15时，求出t的值． (3)若是等腰三角形时，请直接写出t的值． 点坐标规律探索 52．如图所示，在台球桌面上建立平面直角坐标系，点P从出发沿图中箭头方向运动，碰到边界（粗线）会发生反弹（反射角等于入射角）．若点P的运动速度为每秒个单位长度，则第2026秒时点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 53．规律探究：如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，…按这样的规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 54．如图所示，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列．如，，，，，，根据这个规律探索可得：第21个点的坐标为________，第2025个点的坐标为________． 一次函数与线段的交点问题 55．如图，已知点，．若直线与线段有交点，则k的取值范围是________． 56．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 57．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一次函数的平移规律 58．在平面直角坐标系中，点在直线与直线之间，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 59．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A、B两点，与正比例函数的图象交于点，若一次函数的图象与直线、不能围成三角形，则k的值为________． 60．如图1，直线：交轴、轴分别于点、，直线：与轴交于点，与直线交于点，， (1)求直线的解析表达式； (2)如图2，将直线向左平移个单位长度得到直线，直线与轴交与点，与直线交于点，连接，点为直线上一点．若，求点的坐标． (3)如图2．将直线向左平移个单位长度得到直线，在上存在一动点，使，请直接写出点的坐标． 一次函数的增减性求参数 61．在平面直角坐标系中，已知直线与直线． (1)若直线与直线交于点，求k，m的值； (2)过点作垂直于x轴的直线分别交，于点C，D．当时，在点B运动的过程中，线段的长恒大于1，直接写出k的取值范围． 62．一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 63．已知一次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是否会随着的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 一次函数的旋转问题 64．如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 65．（1）直线与轴的交点坐标为　　； （2）把直线沿着轴正方向平移2个单位后的直线解析式为　　； （3）将（2）中平移后的直线绕坐标原点顺时针旋转，求旋转后的直线解析式． 66．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x－3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式． 一次函数的存在性问题 67．如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 68．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． (1)不等式的解集为______． (2)在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 69．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，其中点C，D分别为直线l：与x轴、y轴的交点． (1)求A点的坐标和k的值； (2)在直线l上存在一点P，使得求点P的坐标． (3)点M是直线l上的一个动点，那么在x轴上是否存在点N，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M以及对应的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数的翻折问题 70．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标． （3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，求a的取值范围． 71．如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且． (1)点A的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿直线翻折得到，点C的对应点为点D，求点D的坐标． 72．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点． 【问题初探】 (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ． (2)若是直线上一点，求直线的函数表达式． (3)【应用探究】在直线上是否存在一点D（不与点B重合），使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (4)【拓展延伸】E是y轴上一动点，把线段沿着直线翻折，使点B落在x轴上，请直接写出点E的坐标． 分段计费问题 73．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 74．为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 (1)当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； (2)某户年用电量是，求该户这一年的电费； (3)某户去年一年的电费是1834元，求该户去年一年的用电量． 75．为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 一次函数的新定义问题 76．新定义：如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴不平行，点P为直线l外一点．过点分别作轴交直线于点，作轴交直线于点，我们称折线为点关于直线的“路径”，“路径”的长度称为点关于直线的“距离”，记为即， 定义理解： （1）如图2，若直线l的表达式为 与x轴和y轴分别交于A，B两点，求．（点O为坐标原点） 定义运用： （2）如图3，将直线l： 沿y轴向上平移n个单位长度后得到直线 m，与x轴和y轴分别交于D，C两点，当 时 （点O为坐标原点），求平移距离n的值； 定义拓展： （3）在（2）的条件下，y轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形，且点Q关于直线l的“L路径”与直线m有交点．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 77．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作． 例如：点与的“直角距离”． (1)两点、中，与原点O的“直角距离”等于1的点是 ； (2)如图，已知点，，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点与原点O的“直角距离”，即．则当时，点P的坐标为 ，请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； (3)已知直线和点，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围． 78．在平面直角坐标系中，对于任意两点，定义如下：点M与点N的“直角距离”为，记作．例如：点与的“直角距离”． （1）已知点，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是__________； （2）如图，已知点，根据定义可知线段上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离”，请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全； （3）已知直线，点是x轴上的一个动点． ①当时，若直线上存在点D，满足，求k的取值范围； ②当时，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上任意一点H都满足，直接写出t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $