7.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2025～2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，先通过回忆数学期望搭建基础，再以射击比赛引例提出均值无法刻画稳定性的问题，引导学生从直观到定量探究，形成“期望—方差”的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动（如条形图分析优缺点、方差公式推导）引导学生用数学思维构建知识，结合射击、股票投资实例培养数据观念和应用意识。采用自主研读与典例解析结合的方法，帮助学生系统掌握方差意义与性质，教师可直接用于课堂提升教学效率。

回忆一下 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 2. 期望的性质： 特别的：当X服从两点分布时 X 1 0 P p 1-p （数学期望） 期望反映了随机变量取值的平均水平 展望一下 引例 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 问1：能否根据X和Y的均值来决定派哪名同学参赛？ 不能． 问2：除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？ 用稳定性刻画 问3：如何定量刻画随机变量的稳定性？ 画条形图、利用方差来刻画随机变量的稳定性． 7.3.2 离散型随机变量的方差 自主研读 P67~P69例5（含），梳理知识，记录疑问 离散型随机变量的方差是如何定义的？它用什么符号表示？ 方差的计算公式是什么？它与样本方差有什么异同？ 标准差是什么？为什么要引入标准差？ 若随机变量满足 ， 与  有什么关系？这和期望的性质有什么不同？ 关注以下问题： 问题一：用条形图分析离散型随机变量稳定性的优缺点？  优点：直观易懂，可快速对比数据分布的集中程度，判断稳定性，能清晰展示极端值的占比 缺点：缺乏量化指标，仅靠视觉判断，无法精准量化稳定性，不适合多组对比 下图分别是引例中X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？ 可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 问题二：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度. 样本的方差 ： 随机变量的方差 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 离散型随机变量的方差： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 若离散型随机变量X 的分布列如下表所示 标准差： 记为： σ (X). 问题三：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？  随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度 方差或标准差_______，随机变量的取值越集中； 方差或标准差_______，随机变量的取值越分散 . 越小 越大 X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 解： ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 问题四： 计算较繁琐，能否简化？ 问题五：方差有哪些性质？它们和期望的性质有什么不同？  变量加常数 期望相应加常数 方差不改变 期望既受平移影响，也受伸缩影响 方差只受伸缩影响 问题六：有人说：“均值反映了随机变量的平均水平，方差反映了随机变量的波动大小”. 请结合射击运动员的例子，说明这两个指标在评价一个人水平时是如何分工合作的？ 均值决定“水平高低”：如果甲均值9环、乙均值8环，那么甲水平更高，不用看方差. 分工合作：均值是“第一指标”，方差是“第二指标”. 先看均值，均值相同时再看方差. 二者结合才能全面评价. 方差决定“水平稳定性”：当均值相同时，方差小的选手发挥更稳定，更值得信赖. 典例精析 例1 设随机变量X 的概率分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)1－k(k＝0,1)，求E(X)，D(X)？ 解: X 的所有可能取值有0,1， 故X 的分布列为: 故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p， 1 写分布列 2 求均值E(X) 3 求方差D(X) 0 1 ∴D(X)＝p2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p). 两点分布的方差：D(X)＝p(1－p) 典例精析 例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 解： 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? ∵E(X)>E(Y)，∴ 投资股票A的期望收益较大. ∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. （1）E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1, E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1. 归纳总结 1. 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下， 2. 方差的性质： 方差： 标准差： ，记为σ(X) 随堂小测 课本P70 1，2，3 X －1 0 1 P m 0.2 0.3 ACD 课后作业 课本P71 1，5，7 课本P91 4 4．（多选）已知随机变量 的分布列为 若随机变量 , , , 则下列选项正确的为( ) A． B． C． D． $