2026届江苏基地大联考（南通、徐州2.5模）高三4月份质量监测数学试题

2026届高三4月份质量监测 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 5 6 > 答案 B D B D A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ABC ABD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.80 13.1og23 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解】(1)由a4+a-a2-a,=2，得27a1+9a-3a-a=2, 所以324=2，即4=6 …2分 所以S=16 60-323,则s.=321. 32 由3.=3”21<10，得3”<3201， …4分 32 因为37=2178<3201所以m=1,2,3,4,5,6,7, 所以A中元素之和为1+2+3+4+5十6+7=28. …7分 (2)由a4+4-a-a1=2，得(a1+a2)92-(a+a2)=2, 所以a+子 所以a+a,=(a+a,)g=29 g2-1 …10分 令g2-1=t>0,则g2=t+1, 所以a+a-20=2+2 t 高三数学参考答案第1页（共7页） ≥22，×+2)=8， 当且仅当1=}，即1=1，即q=V2时取“=”. 所以a+a,的最小值为8. …13分 16.(15分) 【解】(1)当a=2时，f(x)=x2-2nx(x>0), 所以f()=2x-2=2(x+10x-D …2分 X 令f(x)=0,得x=1, 且当0<x<1时，f'(x)<0;当x>1时，f'(x)>0, …4分 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(I)=1,无极大值. …6分 (2)g(x)=x2-alnx+x2-1. 当0<x<1时，g(x)=1-alnx, 因为a>0,所以g(x)在(0,1)上单调递减. …8分 当x≥1时，g(x)=2x2-1-alnx, g'(x)=4x-a=(2x+Ja)(2x-Va) 令g'()=0,得x=0. …10分 2 当Ya≤1，即0<a≤4时，g')>0, 2 所以g(x)在(1，+∞)上单调递增， …12分 当a>1,即a>4时， 2 当1≤x<巨时，g<0:当x>互时，g>0, 上单调递减 在9+ 上单调递增 …14分 综上，当0<a≤4时，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增； 当a>4时，g)在0，受上单调递减， 在，+∞上单调递增.…15分 高三数学参考答案第2页（共7页） 17.(15分) 【解】(1)如图，连结CD. D 因为E为矩形CC,D,D两条对角线的交点， C 所以E为CD,的中点， M 取DD的中点M,连结AM,ME, D 则ME∥CD,且ME=CD, 因为AB∥CD,所以AB∥ME. …2分 因为BE∥平面AADD，,BEc平面ABEM, 平面ABEM∩平面AAD,D=AM, 所以BE∥AM. …4分 所以四边形ABEM是平行四边形， 所以AB=ME=CD. …5分 (2)以D为原点，{DA,DC,DD}为正交基底建立如图空间直角坐标系. 则A(2,0,0),B(2,2,0), 设AA4=c,则D(0,0,c),A(2,0,c)bM(0,0,c). 所以4B=(0,2,-c),AB=(0,2,0),AW=(-2,0,9. 设平面ABE的一个法向量n=(x,y,z),则 AB.n=0, AM.n=0, [2y=0, 即 -2x+号2=0，取x=c,则z=4,所以m=e,0,4. …8分 设直线A,B与平面ABE所成角为B, simo-cos4x+16 4c 5 解得c=2或4， 高三数学参考答案第3页（共7页） 所以AA=2或A4=4. …11分 (3)取CC,的中点N,CD的中点F,连结BF,EF,NF. 由(I)证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边ABNM, 截得下面部分为三棱柱ADM-BFE和四棱锥B-CFEN. 设AB=a,AD=b,AA=c,则CD=2a. 所以三棱柱ADM-BFE的体积=abc, 四棱锥B-CFEN的体积%=名bc, 所以下面部分的体积为=+%=bc. …13分 而四棱柱ABCD-AB,CD,的体积V=(a+2a)bc=号abc, 所以上面部分的体积为人=号a6c-音c=号a6c， 所以上、下两部分的体积之比为 5 …15分 18.（17分) 上2 2 1 【解】(1)设A:),B(x2),则 63 a2 621, 两式相减，得子二空+二=0， 2 63 即4-业.4+业=-b2 -龙3出+为a· …2分 因为M为AB的中点，所以M古+立，+2)， 2 2 出+y 所以直线OM的斜率为k=2二=上+丛， +x出+2 2 所以从=当-必.上+上=- -出+xa 所以-多=-即a=20. …4分 因为椭圆E的焦距为2√5，焦距为25， 高三数学参考答案第4页（共7页） 解得a=2,b=1, 所以椭圆E的方程为苦+少=1. …6分 (2)设直线1的方程为y=-4. 代入方程苦+y-1,消y得0+4k2x2-32+60=0, 则+1旅50 又△=(32k)2-240(1+4k2)=64k2-240, 令△>0，得k2>15 …8分 4 若∠AOB为直角时，有OA.OB=0,即xx2+y2=0, 所以(1+k2)xx2-4k(x+x2)+16=0, 即150+k3)_32k2 1+42中4+4=0，解得k=±9，符合。 …10分 若∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角， 则koEk=-1,即五.当+ 方女 =-1, 所以x=-y-4· 又兰+听=1，联立方程组解得%=号或%-2（合去）… 所以：=±25 3 所以k=当+4=5，符合. 综上，k=士9或k=士5. …12分 (3)由直线1的方程y=&-4,知P(凭，0). 因为点C为点A关于x轴的对称点，所以C(x,-), 所以直线BC的方程为y+九=X- y2+乃x2-x1 令y=0,得点2的横坐标为2=业+业， …14分 +y2 因为为=c-4,y2=a2-4, 高三数学参考答案第5页（共7页） 120k-128k 所以x0= 22-4x+x2=1+421+42=-k, k(+x2)-8 32k2 1+442~8 所以1OPO2F =4为定值 …17分 19.(17分) 【解】(1)设“恰好2次操作后袋中球的颜色全部相同”为事件A,根据操作的规定， 事件A发生即“恰好2次操作后袋中5个球的颜色都为黑色”，2次操作， 其中1次取出1红1黑，另一次取出2红. …2分 答+品 …4分 (2)操作2次后，X2的可能取值为2,3,4,5， …5分 Px,=2)-=gx9=1 C3*c-100 …6分 P(X:=3)-cicixgixCic-24 C3C3 C3C3 100 …7分 Px,=4到=g×+Sxg+ca,cia …8分 P(,-5)-cixcoi,ac …9分 C2C2 -100 所以X的分布列为 X2 2 3 4 5 1 57 100 100 50 …10分 (2)记执行上述操作n次后，盒子中黑球的个数为X, 设P(Xm=k)=pk,k=2,3,4,5, 则P2+P3+P4+P5=1,E(Xn)=2p2+3P3+4p4+5p, …11分 则P(X1=2)= P(Xn+1=3)= XC3D.二10P2+10B, 高三数学参考答案第6页（共7页） P+答+爱品+品n+品 …13分 所以， E(x)=n+3+品a+停+号A+号a++2,+5, =(gp+号+号a,+3p小+2(p:+n++) =(2p,+3p+4p,+5n,)+2(p,+n+P4+ps) =2(0X.j+2. …15分 所以E(XH)-5=[E(X,)-5, 又Bx,)=2xg+3x +4x c 5 所以E(X,）-5=-号≠0， 所以(X,）5列是以-号为首项 是为公比的等比数列， 所以Ex,)-5=号×()， 所以x,)=5-号x()<5. …17分 高三数学参考答案第7页（共7页）2026届高三4月份质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3,本卷满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合A={-2,1,a,B={-l,a2},若AUB中含有4个元素，则a= A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知五个数x,x2,x,x4,x的极差为4，方差为2，则2x1,2x2,2x,2x4,2x的 A.极差为4，方差为2 B.极差为4，方差为4 C.极差为8，方差为4 D.极差为8，方差为8 3.i 知复数z满足z=20-),则4= A.1 B.√2 C.2 D.4 4.已知la月b上1，lc卡√3，且a+b+c=0,则cos(a,c)= A要 B. 2 c. D.-返 2 5. 已知圆锥的体积为号元，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为 A.√2 B.2 C.5 D.2W2 6。 若直线y=ax+a是曲线y=e+1的一条切线，则a= A.-e B.日 C.e D.e2 高三数学第1页（共4页） 7. 已知函数∫()=si(x+)+cos(x+20q<是奇函数，则f(,)的最大值为 A.1 B.5 C.2 D.5 &已阳双曲线C苦卡-1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为，及，A为右顶点， P是C上一点，若PF=P=PR,则C的离心率为 A.2 B.√5 c.6 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量5-N(0,1),fx)=P(传≤x),则 A.f0)=0.5 B.f()是增函数 C.f(-x)=1-f(x) D.P(5≤x)=1-2f(x) 10.数列{a,}的前n项和记为S,4=分，且2a,+S,9l=0,neN,则 A马=5 B. 为等差数列 C.S2=-2 D.{a,}中有最大项也有最小项 11.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，P是C上一点，AB是圆D:x2+心y-3)=1的 一条直径，则 A.lPA≥PF-2 B.△FAB的面积最大值为√O C.0s∠AFB的最小值为 D.PA.PB≥1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2x-V的展开式中，的系数为▲一， 13.已知A,B两点在函数f)=4(x>0)的图象上，C,D两点在函数g(x)=2(x>0)的 图象上，且AD平行于x轴，AC和BD平行于y轴.若线段BD的长度是线段AC长度 的12倍，则线段AD长度为▲一， 高三数学第2页（共4页） 14.记△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sim(C-B)=2sinA, 2 a cos B=3 bcosA,c=5,则△4BC的面积为▲一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知数列{a}为正项等比数列，公比g>1,前n项和为Sn,a4+a4-a2-a=2. (1)当g=3时，记集合A={m∈N1Sm<100},求A中元素之和； (2)求a,+a,的最小值. 16.（15分) 已知函数f(x)=x2-anx(a>0). (1)当a=2时，求f(x)的极值： (2)讨论函数g(x)=f(x)+x2-1的单调性. 17.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD,中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD,AD⊥CD, E为矩形CCD,D两条对角线的交点，且BE∥平面AADD. (1)证明：AB=号CD: （2)若B=AD=2,直线4B与平面AB5所成角的正弦值为9，求4： (3)平面ABE将该四棱柱分成上、下两部分， D 求上、下两部分的体积之比， B D B 高三数学第3页（共4页） 18.（17分) 己知椭圆B:号+之【a>b>0的焦距为2W月，过点D0,-9的直线1与E交于 A,B两点，M为AB的中点，O为坐标原点.设l的斜率为k,直线OM的斜率为k', 成=合 (1)求椭圆E的方程； (2)若△OAB为直角三角形，求k的值； (3)直线l交x轴于点P,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于点2， 探究：|OP|川O21是否为定值？ 19.(17分) 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次 随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不 放回盒子中，另补相同数量的黑球放入袋中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数 记为X。 (1)求恰好2次操作后，袋中小球的颜色全部相同的概率； (2)求随机变量X,的分布列； (3)证明：E(Xn)<5. 高三数学第4页（共4页)