专题7.5 正态分布（7类必考点）讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题7.5 正态分布 【知识梳理】 1 【考点1：正态密度函数】 2 【考点2：概率分布曲线的认识】 3 【考点3：正态曲线的性质】 6 【考点4：标准正态分布的应用】 8 【考点5：指定区间的概率】 10 【考点6：正态分布的实际应用】 11 【考点7：根据正态曲线的对称性求参数】 14 【知识梳理】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【考点1：正态密度函数】 1．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 2．（25-26高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   3．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【考点2：概率分布曲线的认识】 1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·一轮复习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·专题练习）为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）[正态曲线的函数解析式为，]    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 4．（25-26高三上·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下： 25.39  25.36  25.34  25.42  25.45  25.38  25.39  25.42  25.47  25.35  25.41  25.43  25.44  25.48  25.45  25.43  25.46  25.40  25.51  25.45   25.40  25.39  25.41  25.36  25.38  25.31  25.56  25.43  25.40  25.38  25.37  25.44  25.33  25.46  25.40  25.49  25.34  25.42  25.50  25.37 25.35  25.32  25.45  25.40  25.27  25.43  25.54  25.39  25.45  25.43  25.40  25.43  25.44  25.41  25.53  25.37  25.38  25.24  25.44  25.40   25.36  25.42  25.39  25.46  25.38  25.35  25.31  25.34  25.40  25.36  25.41  25.32  25.38  25.42  25.40  25.33  25.37  25.41  25.49  25.35   25.47  25.34  25.30  25.39  25.35  25.46  25.29  25.40  25.37  25.33  25.40  25.35  25.41  25.37  25.47  25.39  25.42  25.47  25.38  25.39 把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本；可得到这组样本数据的频率分布直方图如下 当样本容量n越来越大时，分组越来越细，那么，频率直方图将如何变化呢？ 【考点3：正态曲线的性质】 1．（上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 2．（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 3．（多选）（四川乐山市高中2026届高三第二次调查研究考试数学试题）某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 4．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量，如图所示，若，求的值． 【考点4：标准正态分布的应用】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 3．（2026高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 4．（2025·辽宁大连·一模）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 5． （2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【考点5：指定区间的概率】 1．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·上海奉贤·二模）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 4．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数） 参考数据：若随机变量，则，，． 5．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【考点6：正态分布的实际应用】 1．（多选）（25-26高三下·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 3．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 5．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【考点7：根据正态曲线的对称性求参数】 1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，则的展开式中含项的系数为__________. 4．（2026·河北邢台·一模）已知随机变量，，则________，展开式中项的系数为________． 5．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 6．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.5 正态分布 【知识梳理】 1 【考点1：正态密度函数】 2 【考点2：概率分布曲线的认识】 5 【考点3：正态曲线的性质】 8 【考点4：标准正态分布的应用】 11 【考点5：指定区间的概率】 15 【考点6：正态分布的实际应用】 18 【考点7：根据正态曲线的对称性求参数】 23 【知识梳理】 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地， 当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若，则E(X)=μ，D(X)=σ2. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (3)曲线在x=μ处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3σ原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827； P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545； P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学 中称为3σ原则. 5．正态分布问题的解题策略 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差σ； (3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【考点1：正态密度函数】 1．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 2．（25-26高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 3．（24-25高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 4．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知随机变量和满足，若服从正态分布，其正态曲线对应的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据正态曲线对应的密度函数可确定中，继而结合方差的性质以及正态曲线的对称性意义判断各选项，即得答案. 【详解】由正态曲线对应的密度函数为，得，， 则，，A正确； 因为，所以，B错误； 因为，结合正态曲线可知，C正确； ，D错误． 故选：AC 5．（25-26高三·上海·课堂例题）根据正态密度函数的表达式，找出其均值和方差. (1)，； (2)，. 【答案】(1)均值0，方差1 (2)均值1，方差2 【分析】将所给的函数表达式与正态密度函数的表达式对照即可求得. 【详解】（1）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值0，方差1； （2）根据正态密度函数及对照得： ，所以所求的均值1，方差2. 【考点2：概率分布曲线的认识】 1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 2．（24-25高三·全国·一轮复习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 3．（2026高二·全国·专题练习）为了迎接春节的到来，某大型商场准备了质量为2kg的甲、乙两类水果礼盒．甲、乙两类水果礼盒与标识质量的差（单位：kg），分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）[正态曲线的函数解析式为，]    A．甲类水果质量差的平均值 B．乙类水果的质量差比甲类水果的质量差更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量差比乙类水果的平均质量差大 D．乙类水果的质量差服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】通过观察正态曲线的对称轴和形状，结合正态曲线的函数解析式来判断各选项的正误. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量差比乙类水果的质量差更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 4．（25-26高三上·云南·月考）通过对某校高三年级两个班的排球比赛成绩分析可知，班的成绩，班的成绩，的分布密度曲线如图所示，则在排球决赛中_________班获胜的可能性更大． 【答案】B 【分析】根据均值和方差的大小可得正确的选项. 【详解】从分布密度曲线可以得到如下结论： （1）B班的平均成绩大于A班的平均成绩； （2）B的方差小于A的方差，故B发挥较为稳定， 故B班获胜的可能更大. 故答案为：B. 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管，为了检验产品的质量，从一批产品中任取100件检测，测得它们的实际尺寸如下： 25.39  25.36  25.34  25.42  25.45  25.38  25.39  25.42  25.47  25.35  25.41  25.43  25.44  25.48  25.45  25.43  25.46  25.40  25.51  25.45   25.40  25.39  25.41  25.36  25.38  25.31  25.56  25.43  25.40  25.38  25.37  25.44  25.33  25.46  25.40  25.49  25.34  25.42  25.50  25.37 25.35  25.32  25.45  25.40  25.27  25.43  25.54  25.39  25.45  25.43  25.40  25.43  25.44  25.41  25.53  25.37  25.38  25.24  25.44  25.40   25.36  25.42  25.39  25.46  25.38  25.35  25.31  25.34  25.40  25.36  25.41  25.32  25.38  25.42  25.40  25.33  25.37  25.41  25.49  25.35   25.47  25.34  25.30  25.39  25.35  25.46  25.29  25.40  25.37  25.33  25.40  25.35  25.41  25.37  25.47  25.39  25.42  25.47  25.38  25.39 把这批产品的内径尺寸看作一个总体，那么这100件产品的实际尺寸就是一个容量为100的样本；可得到这组样本数据的频率分布直方图如下 当样本容量n越来越大时，分组越来越细，那么，频率直方图将如何变化呢？ 【答案】答案见解析 【分析】结合密度曲线的概念即可解题. 【详解】当样本容量n越来越大时，分组越来越细，因组距较大而呈现的阶梯状（矩形块）轮廓会逐渐变得平滑. 随着组数增加，每个矩形条的宽度变窄，其顶部中点的连线会越来越接近于一条光滑的曲线， 即为概率密度曲线：这条光滑曲线最终会趋近于总体的概率密度曲线. 【考点3：正态曲线的性质】 1．（上海市徐汇区2025-2026学年第二学期学习能力诊断高三数学试卷）已知甲､乙两班在某次数学测验中成绩近似服从正态分布，甲班成绩，乙班成绩，其密度曲线如图所示，则有（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【详解】正态密度曲线关于对称，对称轴位置对应均值；且越大，曲线越矮胖，越小曲线越瘦高 从图中可知：的对称轴为，的对称轴为，因此；曲线更矮胖，因此，故选项A、B错误； 由正态分布的对称性：，，C正确； ，而，所以，因此，D错误 2．（25-26高三·全国·三轮复习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可. 【详解】由正态密度曲线的性质可知，、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图象可得且的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以对任意正数，. 3．（多选）（四川乐山市高中2026届高三第二次调查研究考试数学试题）某水果店店长记录了过去30天苹果的日销售量数据（单位：）： 销量 频数 1 0 4 11 8 4 2 店长假设日销售量X近似服从正态分布，，，根据上述数据，下列说法正确的有（   ） A．可以估计约为 B．日销售量在范围内的天数约为20天 C．若日销售量超过的概率为p，则 D．若未来连续3天的日销售量都超过，则说明日销售量不服从正态分布 【答案】ABC 【详解】日销售量的平均值为， 所以可以估计约为，故A正确； 因为日销售量X近似服从正态分布，所以， 所以， 所以日销售量在范围内的天数约为天，故B正确； 可得， 所以，故C正确； 若未来连续3天的日销售量都超过，这不能说明日销售量不服从正态分布， 在正态分布下它也是可能发生的，只是发生的可能性极小，故D错误. 4．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 5．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知随机变量，如图所示，若，求的值． 【答案】 【分析】利用正态曲线的对称性求解. 【详解】由正态分布图象的对称性可得，． 【考点4：标准正态分布的应用】 1．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性可得考试成绩在分的概率，据此估计相应人数． 【详解】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 3．（2026高三·全国·专题练习）某省高考改革试点方案规定：2023年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果该省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩，那么等级的原始分最低大约为（　　） （参考数据：① 若，则；② 当时，） A．57 B．64 C．71 D．77 【答案】C 【分析】首先计算排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%，结合，以及当时，，可得到，计算即可得到答案． 【详解】由题意可得，将学生成绩从高到低排名，排在等级最低分后面的学生约为学生总数的90%. 因为原始成绩，所以. 令，则；又当时，， 所以，解得，所以B＋等级的原始分最低大约为71. 故选：C. 4．（2025·辽宁大连·一模）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5. (1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率； (2)设随机变量服从二项分布，记 则当时，可认为η服从标准正态分布.若保证投中的频率在区间的概率不低于，求该同学至少要投多少次. 附: 若，则，. 【答案】(1) (2)68 【分析】（1）设出事件，由条件概率公式即可求解； （2）首先将题目条件转换为的概率至少为，进一步通过计算得，从而可得，由此即可得解. 【详解】（1）该同学投篮了四次，设分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”. 则有. （2）随机变量代表次投篮后命中的次数，则服从二项分布， 然后令随机变量，并近似视为其服从正态分布. 题目条件即为，即的概率至少为. 由于我们有， 故命题等价于，解得. 综上，该同学至少要投次. 5．（2026·广东深圳·模拟预测）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说，所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300人，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为，且，已知所有考生考试的平均成绩，且360分及其以上的高分考生有30名. (1)求的值．（结果保留位整数） (2)该单位的最低录取分数约是多少？（结果保留为整数） (3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由． 参考资料：①当时，令，则． ②当，，，，． 【答案】(1) (2)分 (3)甲能获得高薪，理由见解析 【分析】（1）依题意，令，得到，根据及所给条件求出； （2）由（1）可得，设最录取分数为，根据，求得，即可得到答案； （3）考生甲的成绩为，得到甲能被录取概率为，从而推导出分以上的人数，即可得解. 【详解】（1）依题意，令，则， 所以可得，， ， 又因为，则，解得； （2）由（1）可得， 设最录取分数为，则， ，，所以， 即最低录取分数线为分． （3）考生甲的成绩为分分， 所以甲能被录取概率为， 表明不低于考生甲的成绩的人数约为总人数的，约有， 即考生甲大约排在第名，排在名之前，所以甲能获得高薪. 【考点5：指定区间的概率】 1．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布，则（若随机变量Z服从正态分布，则）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，，所以， 因为，所以， 而，A，B错误， ，所以， 故，C正确，D错误； 3．（2026·上海奉贤·二模）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）； 参考数据：若，则，，． 【答案】 【详解】因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布， 所以 . 4．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数） 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】0.954 【详解】依题意，活塞销的直径，， 因此， 所以随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.954 5．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出； （2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 【考点6：正态分布的实际应用】 1．（多选）（25-26高三下·河南·月考）某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 2．（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则（   ）（参考数据： A．该校学生成绩的均值为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ACD 【分析】直接由正态分布的定义可判断ABC选项，再由正态分布的概率分布计算成绩超过及格线的概率可判断D选项. 【详解】因为学生的成绩服从正态分布，所以，所以AC正确，B错误； 因为， 所以， 又因为，所以 所以，故D正确. 3．（2026·辽宁沈阳·二模）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 5．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【考点7：根据正态曲线的对称性求参数】 1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 2．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 3．（24-25高二下·湖北·月考）已知随机变量，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】 【分析】由正态分布曲线的对称性求得，写出二项展开式的通项，根据题意，求得，代入通项计算即得. 【详解】因为，且，所以， 则展开式中的第项为，, 令，解得，故的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 4．（2026·河北邢台·一模）已知随机变量，，则________，展开式中项的系数为________． 【答案】 【分析】由正态分布的对称性列方程求，应用二项式的展开式求指定项的系数即可. 【详解】由正态分布的对称性有，可得， 所以，则，， 当，得，则项的系数为. 5．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求出的值，进而得出，再将与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，,， 由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 6．（2026·安徽池州·二模）已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $