导数不等式证明专题讲义-2026届高三数学二轮复习

导数不等式证明专题 第一部分核心方法论 导数证明不等式的核心逻辑：利用导数判断函数的单调性、极值、最值， 将不等式转化为“函数最值与常数/另一函数值的大小关系”，本质是“用函数性 质解决不等关系”。 一、最值分析法（基础核心，必掌握） 适用场景：证明单变量不等式（如f(x)≥g(x)、f(x)≥c,c为常数），构造 新函数求最值证明。 核心步骤： 1.构造新函数：移项得h(x)=f(x)-g(x)≥0，证hd: 2.求导分析：求h(x,找零点； 3.判断单调性：划分区间判断单调性： 4.求最值验证：计算极值与端点值，验证最值满足不等式。 二、单调性分析法（中档常用，简化运算） 适用场景：可快速判断原函数单调性，无需构造新函数。 核心步骤：判单调性一定临界值结合单调性证不等式 三、放缩法（压轴难点，灵活应用） 高频放缩公式： e*≥x+1 lnx≤x-1 nx≥1-1 X sinx≤x 四、双变量不等式证明（压轴重点） 核心方法：变量归一化、构造对称函数。 第二部分经典例题 例1基础题（最值分析法） 证明：x>0时，xlnx+1≥x。 解晰：令h(x)=xlnx-x+1,h(x)=lnx,x=1时取最小值0，得证。 例2基础题（单调性分析法） 已知f(x)=e-x-1,证x≥0时f(x)≥0。 解析：f(x)=e*-1≥0，f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=0,得证。 例3中档题（放缩+最值） 证明：x>0时，e*-lnx>2。 解析：e*≥X+1,-lnx≥1-x,等号不同时成立，结合导数验证最小值元2，得证。 例4中档题（双变量） f(x)=lnx-ax(a<0),两零点x1,x2,证x1X2>e2。 解析：变量归一化令t=>1,构造函数证 t+1)1nt>2,得证。 X1 t-1 例5压轴题（放缩+双变量） f(x)=xe-lnx-x-1,证Hx1,x2>0,f(x1)+f(x2)≥0。 解析：证f(,两非负数之和≥0，得证。 第三部分配套练习 基础巩固题（1-4题) 1,证明：当X>1时，nx≥2X-1(最值分析法)。 x+1 2.已知函数f(x)=X-lnx,证明：当X>0时，f(x)≥1（单调性分析法）。 3证明：当x20时，e-号×-X-10(最值分析折法)。 4.正明：当X>0时，2l血x≤x+-2(最值分折法)。 2 中档提升题(5-8题) 2 5.证明：当x>0时，1nx+二≥2（最值分析法，可结合放缩验证）。 X 6.证明：当X>0时，xe≥lnx+x+1(放缩法+最值分析法)。 7.已知函数f(x)=lnx+x2-ax(a>2),若x1,X2是f(x)的两个极值点，证明： f(x1)+f(x2)<-3(变量归一化)。 8.证明：对任意X>0,sinx+e*≥x+1(放缩法)。 压轴突破题（9-10题) 9已知函数f8)三X+若X≠x,且fX1fX证明：X+龙≥2（对称函 数构造)。 0.证明：当x>0时，Q-nX-2>)Xx(放缩法+最值分析法) 配套练习完整解析 基础巩固题解析 1.第1题解析 构造h(x)=lnx 2o,Ac=,A)单调溢增，Ax>h1-0,得 证。 2.第2题解析 f(x)=X1,X=1时取最小值f1)=1,故f(x)≥1，得证。 X 3.第3题解析 令h(x)=e-之-X-1,hx=e-X-1上0，hx)单调递增，hx2hl0)=0.得 证。 4.第4题解析 令h(x)=2lnx-x-+2,h(x)=-id,hx)单调递减，h(x)sh(1)=0,得证。 中档提升题解析 5.第5题解折 h(x)=Inx+2-2,h(x)=X-2 ,X=2时取极小值：结合nx21-放缩得 nx+2≥1+≥2，得证. 6.第6题解析 令t=lnx+x,由e'≥t+1得xe≥lnx+x+1,得证。 7.第7题解析 f(x)=2x2-ax+1 X 韦达定提X+%=号X方1x+=-n2-1--3 ,得证。 8.第8题解析 e*≥x+1,sinx≥0，故sinx+e≥x+1;令h(x)=sinx+e*-x-1, h(x)=cosx+e-1>0,h(x)>h(0)=0,得证。 压轴突破题解析 9.第9题解析 fx=h,fx=,f在o,1递增，红，+递减。 不妨设0<x1<1<x2,需证x2>2-X1>1。 构造F(x)=f(x)-f(2-x)(0<x<1),F(x)=f(x)+f(2-x)>0,F(x)<F(1)=0, 即f(x2)=f(x1)<f(2-x1),由单调性得x2>2-x1,故x1+x2>2,得证。 10.第10题解析 先证eX+x+1,再证1nX≤X-1,即-1nx≥1-X。 两式相加：e-nx+x+1+1-X=42.移项得e-1nX-2号，显然 、1 2 2 个子-长，散限不等武成立。