第7章 随机变量及其分布章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

4.根据某传染病研究中心的研究，传染病暴发期 间，如果不采取任何措施，则会出现感染者基数 猛增、重症挤兑、医疗资源负荷不堪承受的后果. 如果采取公共卫生强制措施，则会使峰值下降、 峰期后移.如图所示，设不采取措施、采取措施情 况下分别服从正态分布N(35,2),N(70,8),则 峰期后移了 天，峰值下降了 % (注：正态分布的峰值计算公式为】，时间从 /2元G 1月20日开始算第1天)· 章未综 一、系统认知· (一)贯通知识体系和联系 条件概率公式 条件概率 乘法公式 全概率公式 梅 分布列 二项分布 均值 离散型 公 率 随机变量 两点分布 方差 超几何分布 连续型 正态 正态分布密度曲线 随机变量 分布 3σ原则 (二)把握数学思想和方法 1.在求离散型随机变量的分布列时常利用分布列 的性质、数学期望和方差的定义列方程（组）求解 参数，在事件的独立性中若某些事件的概率未 二、把握重点· 题型一条件概率与全概率公式 1.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量 为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的 空气质量为优良的概率是 () A.0.8 B.0.75C.0.6 D.0.45 2.“绿水青山，就是金山银山”，黄冈别山革命老区 生态环境越来越好，慕名来黄旅游的人越来越 多.现有两位游客分别从“黄州遗爱湖公园、麻城 龟峰山、浠水三角山、黄梅五祖东山问梅村、罗田 天堂寨”这5个景点中随机选择1个景点游玩， 5 第七章随机变量及其分布 +每10000人占用急数床位数 35 30 25 20 5 后 10 间 1/202/203/204/205/20时间/（月/日） 5.如果~N(u,o2),且P(>3)=P(<1)成立，则 以三 温馨提示 请做课时分层检测（十七） 合提升 形成数学思维 知，此时需用方程的思想先求该事件的概率， 2.在求较复杂事件的概率时，往往将较复杂事件分 解为若干个互斥事件，随机变量的某个取值可能 对应着若干个试验结果等情形，均需要用分类与 整合的思想去解决」 3.在正态分布中利用正态曲线的对称性来求解概 率，通过数形结合，可以使题目的解答更形象、 直观. 4.在求概率问题时，有时需将待解决或难解决的问 题通过转化为对立事件或一些互斥事件的概率 或通过两随机变量的关系转化为求另一个事件 的概率，从而找到解决问题的突破口，使问题得 到解决.在求离散型随机变量的数学期望和方差 时，可以借助随机变量之间的关系式利用数学期 望和方差的性质求解. 常考题型集训 记事件A为“两位游客中至少有一人选择黄州遗 爱湖公园”，事件B为“两位游客选择的景点不 同”，则P(BA)= ( A.g B.1 c D.号 3.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的 球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中 有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一 球放人乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取 出的球是红球的概率为 ( A.5 B品 c品 D 数学选择性必修第三册 4.某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占 有率和优质率的信息如下表： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 80% 90% 70% 在该市场中随机买一种品牌的N95口罩，记A1, A2,A3表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、 其他品牌，记B表示买到的口罩是优质品，则 ( A.P(A2+A3)=0.5B.P(BA1)=0.8 C.P(B)=0.81 D.P(A2B)=0.3 /题型技法/ P(B,秉法公式 无论条件概率公式P(AB)=P(AB), P(AB)=P(B)P(A|B),还是贝叶斯公式P(A|B) P(AB) P(A)P(BA) P(B) ,都反映 P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA) 了P(A),P(BA),P(AB)三者之间的转化关系，灵 活应用即可 题型二离散型随机变量的分布列、均值与方差 5.随机变量的分布列如表所示，且m十2n=1.2, 则n= 0 3 P 0.1 m 0.1 A.-0.2 B.0.4 C.0.2 D.0 6.已知抛物线y=ax2十bx+c(a≠0)的对称轴在 y轴的左侧，其中a,b,c∈{-3，-2，-1,0,1,2， 3},在这些抛物线中，记随机变量=“|a一b|的 取值”，则的数学期望E()为 () A.g c号 1 D. 7.甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机 选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局 的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束.己知 每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为令，甲赢 丙的概率为了，乙赢丙的概率为2 (1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数X的概率 分布列； (2)求甲成为优胜者的概率； (3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比 赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据， 帮助甲进行决策 /题型技法/ 1.对于特殊分布列的均值： (1)若X~B(n,p),则E(X)=np; (2)若X~H(N,n,M),则E(X)=m N (3)若Y=aX+b,则E(Y)=aE(X)+b. :2.对于一般分布列的均值，求解的关键依然是 随机变量的取值范围及相应概率的计算. 题型三二项分布与超几何分布 8.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状 完全相同的小球，从中任取2个，则取出的球的 最大编号X的期望为 ( A.3 1 B号 C.2 D.S 9.下列说法正确的有 ( A.某学校有2023名学生，其中男生1012人，女 生1011人，现选派10名学生参加学校组织 的活动，记男生的人数为X,则X服从超几何 分布 B.若随机变量X的数学期望E(X)=2023,则 E(X-1)=2023 C.若随机变量X的方差D(X)=2,则D(2X+ 2023)=8 D.随机变量X~B(2023,0.5)则P(X≤1010) =P(X≥1011) 10.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人 只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英 语，现选派3人到法国的学校交流访问.求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数 X的分布列 第七章随机变量及其分布 11.2023年五一期间，某商城举办了一次有奖促销： :…/题型技法/ 活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、 一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的 各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种 一种. 试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件 方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小 要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中 球（其中红球3个，白球2个，黑球5个）的抽奖 发生的概率都是一样的. 盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸： (2)二项分布满足的条件 到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个 ①每次试验中，事件发生的概率是相同的； 红球和1个黑球，则打7折；若摸出1个红球2 ②各次试验中的事件是相互独立的； 个黑球，则打8.8折；其余情况不打折； ③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要 方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小 么不发生； 球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放 ④随机变量是这n次独立重复试验中事件发 回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球， 生的次数 立减1500元. 题型四 正态分布 (1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案：12.已知a<c,随机变量，n的分布列分别如下： 一，试求该顾客享受7折优惠的概率； 1 0 (2)若某顾客消费怡好满1万元，试分析该顾客 选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由， P a b 0 P b a 则下列结论成立的是 A.E()>E(n) B.E(<E(n) C.D()=D(n) D.D(>D(n) 13.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平 均值作为该物理量的最后结果.己知最后结果 的误差en~N0,4),为使误差n在(-0.5， n 0.5)内的概率不小于0.683，至少要测量 次.（附：若X~N(u,o2),则P(u-o<X< +o)=0.683) /题型技法/ 正态分布的概率求法 (1)利用“3。”原则，记住正态总体在三个区间 内取值的概率， (2)利用数形结合，由于正态分布密度曲线具 有对称性，因此常结合图象，利用对称性，解决 某一区间内的概率， 温馨提示 古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 请做章末检测卷（二） 53对点训练 17.解(1)比赛局数X的可能取值为2,3,4. 1.C[根据题意，P(X,>≥子)<0.0455→P(x,1<牙)= 比家两局结束，剥甲连胜两局或乙连胜两局，所以P(X=2)=号× P(<X,<寸)）>1-0.0455=0.9545， +号× 而以=0，则P(-2≤X,≤2)≈0.9545，所以2≤→0 2 比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以P(X=3)= ,2 名→w≥12a. 名+号×2×号号 2.解由于外直径X~N(4,0.52), 2 则X在[4-3×0.5,4十3×0.5]之内取值的概率为0.9973，在 比赛四局结束，所以P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=。。 [2.5,5.5]之外取值的概率为0.0027， 所以X的分布列为 而5.7[2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生 子 2 3 4 的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的 素养演练·提升技能 2 9 3 9 1.D[周为X~N1,2).所以DX)=4,所以D(号X)=D(X) (2)记甲、乙比赛第一局为事件A,甲、丙比赛第一局为事件B,乙、丙 =1.] 比赛第一局为事件C,甲成为优胜者为事件D. 2.浩[由题意可设遣传基因X失效单位的个教为，则：服从超几 第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则P(A)= 何分布，且N=50,M=30,n=2.则X,Y两种基因各失效1个单位 P(B)=P(C)= 1 3 的概◆为E袋答告】 所以P(DA)子义÷十 2 1× 3 2 3.C[:随机变量~N(0,1),得=0，.其图象关于y轴对称， 1 5」 .P(||<1.96)=1-2P(-1.96)=1-2×0.025=0.950.] 327 4.3550[由题意可知，峰期后移了70-35=35（天）.峰值下降了1 P(DB)= 5 3 -27 （2mx万V2mx后)2x2之=50%.] .11 5.2[因为N(,d),故正态密度曲线关于直线x=g对称，又P(1): 所以P(D)=P(AD)十P(BD)十P(CD) =P(>3》,从而4=3=2，即：的值为2.] 2 =P(DA)P(A)+P(DB)P(B)+P(DC)P(C) 章末综合提升 二、把握重点·常考题型集训 13 1,A[记A=“第一天的空气质量为优良”，B=“第二天空气质量也为优 良”，由题意可知P(A)=0.75,P(AB)=0.6,所以P(BA)= P(AB)=0.8.故选A] 所以甲成为优粒者的概丰为品。 P(A) (3)由(2)知，P(D|A)=P(DB)>P(D|C), 2A[由题可得P(A)=-是PA-会所以 所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大。 5×5 8.D[因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状完全相同 8 的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为 P(BA)= P(AB)258 P(A)9 =9故选A] 2,3,所以P(X=2) 25 g=3,PX=3》=cgC2 =C=3,所以X0=2X 3.B[设事件A表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件B! 表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件C表示从甲箱中： 随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，取出的球是9.AC[A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确：B选项：E(X-I) 红球，附有P)=子，PCA=音=合P(B)=号，P(CB)= =E(X)-1=2022,故B错误：C选项：D(2X十2023)=2D(X)=8,故 C正确：D选项：因XB(2023,0.5)所以P(X=k)=C吃0·0.5· 号-子所以PO=R(P(CIA+PBP(CB=号×+ (1一0.5)223-=C030.52023,根据组合数的对称性可知，P(X≤1010) =P(X≥1013)，故D错误.故选AC.] 号×号品故越R] :10.解（①）设事件A:选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)=CC C 4.AC[由题意得P(A1)=50%,P(A2)=30%,P(A3)=20%, 4 对于A,因为A2与A:互斥，所以P(A2十A:)=P(A2十P(A:)= 7 0.3十0.2=0.5，所以A正确， (2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0,1,2,3，P(X=0) 对于B,P(BA)=P(A)P(B引A1)=0.5×0.8=0.4,所以B错误， C35,P(X=1)= C4 对于C,P(B)=P(A1)P(B引A1)+P(A2)P(B|A2+P(A3)P(B引A) 芒尝xa晋号x =0.5×0.8十0.3×0.9十0.2×0.7=0.81，所以C正确， 对于D,PA,B)=PAB_P(A,)PBA2_0.3X0.9_ C-35 P(B) P(B) 0.81 3 .X的分布列为 所以D错误，故选AC.] 5.B[依题意m十n十0.1十0.1=1，又m十2n=1.2,解得n=0.4, 0 1 2 m=0.4.故选B.] 8 12 6.A[由于对称轴在y轴左侧，故一 <0，故a,b同号，样本点有 35 35 35 2a 11.解(1)选择方案一若享受到7折，则需要摸出2个红球和1个黑 3X3X7×2=126.的可能取值有0,1,2三种，P(=0)=96= C号C 1 球，设顾客享受到7折为事件A,则P(A) 号，P=1--P=2)==号期望E=0X C。81 (2)若选择方案一， 号+1x+2x号-号] 设付款金额为X元，则X可能的取值为5000、7000、8800、 10000, 171 P(X=5000) 号 C =20,P(X)=7000) cc 8,P(X= ↓题点二 典例解根据题意绘制出散点图如图所示 CIC 8800) ,P(X=10000)=1 1 1691 ↑y/kg 8 4 1201 208 故X的分布列为， X 5000 7000 8800 10000 68101214x/℃ 从图中可以看出这些点分布在一条直线附近，因此两个变量之间具 P 1 1 23 20 8 40 有相关关系，而且当变量工变大时，y的值由大变小，所以工与y负 相关. 所以E(X)=5000X 23 ·对点训练 20 +7000× 8 +8800× 年+10000× 40 解(1)以工轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的 9075(元). 散点图如图所示」 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y,付款金颜为Z,则Z= ↑体积 10000-1500Y, 80 由已知可得YB(3,号）故EY)=3X合=号 所以E(Z)=E(10000-1500Y)=10000-1500E(Y)=9100(元) 8 因为E(X)<E(Z),所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 10 12.AC[依题意E()=c-a>0,E()=a一c<0,∴.E()>E(7),故 123456789树龄 A正确，B错误：D()=a(-1-c十a)2十b(c-a)2十c(1-c十a)2 (2)由散点图发现树木体积随着树龄的增加呈现增加的趋势，且散 =a十c+2ac-a2-c2, 点大致落在一条直线附近，所以树木的体积与树龄近似呈线性相关 同理D(7)=c(-1十c-a)2+b(-c十a)2十a(1十c-a)2=a十c十 关系 2ac-a2-c2,.D(7)=D().故C正确，D错误.综上选择AC.]题点三 13.16[根据正态曲线的对称性知：要使误差n在（一0.5,0.5）内的！典例解(1)身高与臂展的散点图如下， 概率不小于0.683， 190叶臂展/cm 则(-6，十o)C(-0.5,0.5)且4=0，o= 4 185 ,所以0.5≥ 180 175 ，可得n≥16.故答案为：16.] 170 n 165 第八章成对数据的统计分析 16060165i70175180185190身商7m 8.1成对数据的统计相关性 初步判断身高与臂展呈线性相关关系，臂展随着身高的增加而 增加， 必备知识·自主梳理 (一) (2)身高的平均数x=(176+171+165+178+169+172+176+ 2.直角坐标系中的点3.增加减少4，一条直线 168+173+171+180+191+179)≈174.5， 即学即练 1,BC[选项A中是确定的函数关系，D项中足球队的比赛成绩与乒 臂展的平均数=方3169+162+164+170+172+170+181+161+ 乓球队的比赛成绩没有关系.] 174+164+182+188+182)≈172.2， 2.C[由题图1可知，点散布在从左上角到右下角的区城，各点整体 呈递减趋势，故x与y负相关；由题图2可知，点散布在从左下角到 (5，-)(-0578.4， =1 右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故“与口正相关.] (二) (G-)≈535.25,5(y-≈906.32. =1 =1 2.(1)[-1,1](2)正负(3)越强越弱 即学即练 =1 1.D[因r>0表明两个变量正相关，故A错误；又因r∈[一1,1]，故 所以身高与臂展的相关系数r B,C错误：两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两 ) 个变量的线性相关性越强，x的绝对值越接近于0，表示两个变量之 t. 间的线性相关性越弱，故D正确.] 0.83,说明工与y具有很强的线性相关关系. 2.C[因为样本相关系数1=0.837,2=一0.957，所以变量X与y对点训练 之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，X与Y之间的 C[根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 相关性弱于U与V之间的相关性，] 选项错误：散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度 呈现正相关性，B选项错误，C选项正确：由于r=0.8245是全部数 关键能力·合作探究 据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即 题点一 取出的数据的相关系效不一定是0.8245，D选项错误，故选C.] 典例解析变量间的相关关系有线性相关和非线性相关，故A错素养演练·提升技能 误：若L<0,则这两个变量负相关，故B错误：两个变量负相关，则1，B[由变量X与Y相对应的一组样本最据为(10,1)，(1山，3,2) 一个变量增大时，另外一个变量通常会减小，故C错误：样本相关系· (11.8,3),(12.5,4),(13,5),可得变量X与Y之间成正相关关系， 数r的值越接近1，这两个变量的相关性就越强，故D正确.故！ 因此1>0：由变量U与V相对应的一组样本数据为(10,5)， 选D. (11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),可得变量U与V之间成负 答案D 相关关系，因此r2<0.故r2<0<r1.] 对点训练 !2,A[由表格中的数据，在直角坐标系中描出数据的散点图，如图所 BCD[扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关：示，直观判断散点从左向右成带状分布，在一条直线附近，所以具有 关系.] 线性相关关系，且是正相关.故选A.] 172