专题07 几何最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级下册

专题07 几何最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 7 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 7 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马（过桥）模型 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】米 【详解】解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H，∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 （3）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 （4）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】解：作点B关于的对称点F，连接交于E，连接、，则，此时，最小，∵∴，，∴ ∵∴∴∴ ∵点B与点F关于的对称，∴，，∴ ∵∴为等边三角形，∵点D为的中点， ∴，，∴ ∴的最小值为12．故答案为：12． 例2（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【详解】解：∵为高上的动点．∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴∴ ∴，∴点在射线上运动，如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，，∴∴ 在中，, ∴周长的最小值为，故答案为：． 例3（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，作关于的对称点，∴， ∵是是的平分线，∴在上，，∴， 当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，，∴， ∵，∴，故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 例2（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴，∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴， ∴的最大值为；故答案为：． 例3（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、，． ∵ 点与关于对称∴ ，，则 根据三角形三边关系，（当与重合时，取等号） ∵ ，∴ 在中，，，由勾股定理得： 故的最大值为．故答案为： 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： ∵，∴，∵， ∴过点作直线，作点关于直线的对称点在上，则， 连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴∴的最大值为，故答案为：． 模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 例1（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ， ， 此时的周长最小，过点作于点，，， ，，， ，，周长的最小值是，故选：A． 例2（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3(2)3(3)5 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，， ∴，∴∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高 ∴，∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高，∴平分，， ∴，，∴，∴，故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E，∴． ∵点P关于的对称点为D，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴．∴．∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为∴． 例3．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例4（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 模型4.将军遛马与过桥模型 例1（2025·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，，，，， 作点关于直线的对称点，，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在和中，，，∴， ∵，∴，∴， 如图∶将沿平移到位置，使E与F重合，作C点关于的对称点L，连接 ，则，∴，即的最小值为的长， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵C点关于的对称点L，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，如图：过L作于G， ∴， ∴，∴．故答案为：． 例3（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 【答案】A 【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN． 根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短． ∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，， 在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故选A． 例4（2025·江苏·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    【答案】 【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：       ，，四边形是平行四边形，，， 将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示： ，，是等边三角形，，， ，，，， ，，， ，，，，，， ，， ，的最小值为，故答案为：． 1．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，交于F点，过F点作，垂足为，则为所求的最小值， ∵是的平分线，∴，∴是点C到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵的面积为，，∴， ∵的最小值是．故选：D． 2.（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，，、关于对称，， 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小， ，，由勾股定理得：， 即的最小值为，故选C．    3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值． ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形， ∵∴F是BC的中点，∴AF⊥BC． 则AF＝AB•sin60°＝2．即的最小值是．故选：C 4．（25-26·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x． ∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6， ∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4， 在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC， ∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作且使，连接， ∴四边形是平行四边形，，， ∵点，，∴设点1），∴点． 作点关于x轴的对称点连接，，交x轴于点W， ，∴当点在点W处时，最小，最小值是的长． ，的最小值是故答案为 6．（25-26·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______. 【答案】 【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E（1，1），作点E关于x轴的对称点F（1，-1），连接BF，BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小. 设最小BF的解析式为y=kx+b，则有解得 ∴直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.∴Q（2.0）故答案为（2，0）. 7.（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，，∴，， 在中，， ∴周长的最小值．故答案为：． 8.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________． 【答案】 【详解】解：过点作于点H，截取，作点关于x轴的对称点，连接， 则， ∵长方形中，点D的坐标为，∴， ∵点与点关于x轴的对称，∴，， ∵点E为边的中点，∴，∵长方形中，， 又，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵为定值，为定值， ∴当四边形的周长最小时，则最小，即最小， 当三点共线时，最小， ∵，，设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为，令，解得，∴故答案为：． 10.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，点是的中点，∴，， 在中，，∴线段与线段关于直线对称， ∴将关于对称得，则点落在线段上，过C作于点F， ∴，∴， ，分别是，上的动点，最小值为垂线段的值． ∵，，∴， 即，∴， 即的最小值为．故答案为：． 11.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 12．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___． 【答案】 【详解】解：作点A关于线段的对称点F，连接，交于点O，连接，过点F作，交的延长线于点H，过点作，交的延长线于点G，如图所示： 由轴对称的性质可知：，，， ∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴， 当点E与点O重合时，则的最小值即为的长， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴ ∴，∴即的最小值为；故答案为． 13.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【详解】作点M关于的对称点，作点N关于的对称点，连接分别交,，于点P，Q，连接，，    ∵，由对称性可知，，， ∴，∴，由对称性可得，， 由勾股定理得，，∴， 当M、N、P、Q共线时，的值最小，即的最小值为13．故答案为：13. 14．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 【答案】6 【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∵点A与A′关于CD对称， ∴CD⊥AA′，，，∴， ∵AC=BC，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6 15．（2025.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．   ， 16．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决：如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值；(2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，       ∵是等边三角形，，∴，，， ∴，，即就是的最小值， ∵，E为的中点，，∴．∴的最小值是12． ∵，∴，解得，∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值， ∵，，∴，∴， ∵是边上的中线，∴是边上的高线，即垂直平分， ∴，∴，∴的最小值为3，故答案为：3． 17．（25-26上·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 【答案】(1)(2)，图和理由见解析 【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接， 由勾股定理得， ，∵是的中点，∴， ∵，，∴，∴， ∴的最小值．故答案为：； （2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接， 则，，∴为等边三角形， ∴，∴，∴的最小值为． 18．（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 【答案】(1)4(2)(3)米 【详解】（1）解：，，四边形是平行四边形，．故答案为：4． （2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图： 由翻折的性质可得，，，，，， ， 是等腰直角三角形，， ，，周长的最小值为． （3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图： ，米，，四边形是矩形， ，米，， 矩形是正方形，，，， 且米，四边形是平行四边形，，， ，，四边形是矩形，米，，， ，是等腰直角三角形，米， 米，米，米， 米，，米， 米，米，的最小值米． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 几何最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 7 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 7 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 9 模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 12 模型4.将军遛马（过桥）模型 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． （2024·西安·二模）自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 （3）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1）； 点A、B在直线m同侧 （图2）； 图1 图2 图3 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 （4）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ． 例2（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．    例3（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 例2（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 例3（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 例4（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点在直线上方，的面积为6，则的最大值为 ． 模型3.将军饮马模型（多线段和的最值模型） 例1（24-25八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 例3．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例4（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 模型4.将军遛马与过桥模型 例1（2025·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 例2（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在和中，，，在直线上运动．若，则的最小值为 ． 例3（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为(   ) A．2 B．1+3 C．3+ D． 例4（2025·江苏·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．    1．（2025·广东广州·校考一模）如图，在C中，的面积为，，平分，E、F分别为、上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C．2 D． 2.（2022·山东德州·统考中考真题）如图，正方形的边长为6，点在上，，点是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段沿x轴向右平移得到，连接，，则的最小值为 ． 6．（25-26·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，是轴上的一条动线段，且，当取最小值时，点坐标为______. 7.（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小，则最小值为 ． 8.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 9．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D的坐标为，点E为边的中点，点P、Q为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，点P的坐标为________． 10.（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ． 11.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 12．（2025·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，点E是线段上的一个动点，，且，则的最小值是___． 13.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ． 14．（2025·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____． 15．（2025.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    16．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决：如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考：有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值；(2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 17．（25-26上·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 18．（2025·陕西榆林·三模）问题探究 (1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______； (2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值； 问题解决 (3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $