计数原理单元复习（交互动画课件）高二数学

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分类加法计数原理与分步乘法计数原理典型例题 题型1：简单计数问题（搭配、选座、路线、数字组数） 1.在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有 限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在 一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等 座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为() A.14 B.19 C.90 D.200 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为4+10+5=19. 故选：B 2.将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【详解】(1)解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6=216（个）不同的三位数， (2)解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120（个）. (3)解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相 同，且每种都有6×5=30（个），故满足条件的三位数共有3×30=90（个）. 题型2：简单涂色问题（不相邻同色） 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图， 现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的 涂色方法共有 种 B D 【详解】分4步进行分析： 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①，对于区域B,有4种颜色可选： ②，对于区域C,与B区域相邻，有3种颜色可选： ③，对于区域A,与C、B区域相邻，有2种颜色可选： ④，对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有2种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，E区域有1种颜色可选， 则区域D、E有2+1×1=3种选择， 则不同的涂色方案有4×3×2×3=72种。 故答案为：72 突破1：复杂环形1多区域涂色问题 给如图所示的五个区域涂色，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同」 D E (1)最少需要几种颜色才可以完成涂色任务？ (2)现有四种颜色可供选择，求有多少种不同的涂色方法， 【详解】(1)由题意得A,B,E三个区域的颜色互不相同，则需要三种颜色，D可以与B 的颜色相同，C可以与A的颜色相同，所以最少需要3种颜色才可以完成涂色任务. (2)分两种情况： 情况一：A,C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B,D各有1种，有 4×3×2=24种涂法， 情况二：A,C同色，先涂A,C有4种，E有3种，B,D各有2种，有4×3×2×2=48 种涂法 所以共有24+48=72种不同的涂色方法 突破2：有限制条件的综合计数 某公园景观道上有如图所示的五个花坛，园艺师傅计划选用一串红、月季、矮牵牛、薰衣 草、雏菊和郁金香这六种花卉进行栽种，每个花坛只能栽种一种花卉，要求相邻两个花坛 花卉种类不同，其中恰有两个花坛栽种雏菊，则不同的栽种方案种数为() A.505 B.605 C.625 D.695 【详解】要求相邻花坛花卉不同，因此两个雏菊不能相邻.五个花坛中选两个不相邻的位置 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 种雏菊，共有6种选法， 按位置分类计算每种选法的方案数：（所有非雏菊花坛都不能种雏菊，因此可选花卉共5 种) 位置(1,3)：结构C_C一(C代表雏菊)第2位不能种雏菊有5种：第4位不能种雏菊有5 种： 第5不能种雏菊且不能与第4位相同有4种，共5×5×4=100种方法： 位置(1,4)：结构C一_C_第2位不能种雏菊有5种；第3位不能种雏菊且不能与第2位相同 有4种： 第5不能种雏菊有5种，共5×4×5=100种方法： 位置(1,5)：结构CC第2位不能种雏菊：5种：第3位不能种雏菊且不能与第2位相同 有4种： 第4位不能种雏菊且不能与第3位相同有4种，共5×4×4=80种方法： 位置(2,4)：结构_C_C_第1位不能种雏菊有5种：第3位不能种雏菊有5种：第5位不能 种雏菊有5种，共5×5×5=125种方法： 位置(2,5)：结构_CC第1不能种雏菊有5种：第3位不能种雏菊有5种： 第4位不能种雏菊且不能与第3位相同有4种，共5×5×4=100种方法： 位置(3,5)：结构一C_C第1位不能种雏菊有5种：第2位不能种雏菊且不能与第1位相同 有4种： 第4位不能种雏菊有5种，共5×4×5=100种方法： 由分类加法计数原理，不同的栽种方案共有100+100+80+125+100+100=605种可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二项式定理典型例题 题型1：求展开式特定项/常数项/指定次幂项 已知二项式（后-2x)”的展开式中各项的二项式系数之和为128. (1)求展开式中含x项的系数： (2)求展开式的第六项. 【详解】(1)由二项式性质得二项式系数之和是2”，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得2m=128,解得n=7, 则（左-2x)变为（匠-2x), 由二项式定理得（信-2x)'的通项公式为1+1=C5(←2yx, 令3r2=1,解得r=3,代入可得含x项的系数为C3(仁2)3=-280. 2 (2)令r+1=6,解得r=5, 代入通项公式可得7，=C(-2)5x2=-672x4 题型2：二项式系数性质与求和 已知(x-2)“展开式的二项式系数和为2048，若 (x-2)”=a。+4(x-1)+4(x-1)2+…+4(x-1)°，则a+4+4++a.= 【详解】由(x-2)”展开式的二项式系数和为2048， 得2=2048，解得n=11, 所以(x-2)"=a,+4(x-1)+a,(x-1)2+…+4(x-1)”, 令x=1,则(1-2)”=4，即a,=-1, 令x=2,则(2-2”=，+4+4，++41 所以4+42+…+41=0-a。=1. 题型3：赋值法求系数和 已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025(x∈R),求解： (1)a0+a1+a2+…+a2025: (2)a1+a3+a5+…+a2025: (3)laol+lal+la2+.+la20251; (4)a1+2a2+3a3+…+2025a2025 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2025=(-1)2025=-1①. （2）令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2024-a2025=32025②， 由①-②，得2(a1+a3+a5…+a2025)=-1-32025, 所以a1+a3+a5++a2023=-go 2 (3)因为(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025(x∈R), (1-2x)2025的展开式通项为Tk+1=C吃025·(-2x)*=C吃025(-2)*x*(0≤k≤2025，k∈ ), 所以ak=C吃o25·(-2)*(0≤k≤2025，k∈N), 当k为奇数时，ak<0:当k为偶数时，ak>0. 所以aol+la1+la2l+…+la202sl=a0-a1+a2-…-a2025=32025 (4)(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2025x2025(xeR), 两边分别求导，得-4050(1-2x)2024=a1+2a2x+3a3x2+…+2025a2025x2024(x∈ R), 令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2025a2025=-4050. 突破1：求系数最大（小）项 已知(x+)”,n≥4nEN)的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15： 2,展开式中系数最大项是 【详解】由题意，可得二项式(x+)展开式的通项为，+1=C%x-r:()=2 Chxn-3r, 因为第5项与第3现的二项式系数之比为15：2，可得酷-兰即血-2=兰 12 所以n2-5n-84=0,则n=12或n=-7(舍)， 及根开式中多7+1项胸数提。侣2之器可结及。 解得智≤r≤号因为rEN,所以r=4, 所以系数最大的项为：=24.C2x0-5 16 故答案为：铝 突破2：多项式积、三项式展开问题 1.（x2+是+1)°的展开式中x3的系数为 (用数字作答) 【详解】(1+x2+)°=1+(x2+】的展开式通项为Cg16-r(x+)(0≤r≤6，re N), 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x2+'的展开式通项为C(x2y-t.)=c$x-(0≤k≤r≤6，k,reM, 所以，(1+x2+)的展开式通项为7+k+1=CgCx2r-3(0≤k≤T≤6，krEN). 由2r-3k=30≤k≤r≤6krem可[作-号或作-8 因此，展开式中x3的系数为C2C}+CC2=20×3+1×20=80. 故答案为：80. 2.(2-x3)(x+)°的展开式中x6的系数为 【详解】因为2-)(x+)°=2(x+)°-(x+)》°， 由=项展开式通项公式可得(x+)》=（x+x)°=C略x(伯)=C$x学， 令3张6=6解得k=6,此时Cg=1, 2 令3-6=3解得k=4,此时Cg=15, 2 所以(2-x)(x+)°的展开式中x的系数为2×1-1×15=-13， 故答案为：-13. 突破3：导数法求系数和（高阶赋值） 若f(x)=(（1-2x)202=4,+4x+a,x2++ao2x2022+a023x203，则下列结论正确的是（) A.a0=-1 B.+++=3202 C.4+4+2a2+3a++202342023=-4045 D.∫（⑧）被16除的余数是15 【详解】选项A:己知f()=1-2x)2023=a,+4x+a,x2++a02x202+a,o23x203, 令x=0,可得f(0)=1-2×0)2023=a,即a,=1,故A错误， 选项B:1-2x)203展开式的通项为I,1=C02×12o23×(2x)=(←2)'C0x”, 当为偶数时，a,=(-2)C2o23>0: 当r为奇数时，a,=(-2)'C223<0, 所以|4|+4+42|+…+|4023=a-4+a2-43++a2022-a2023’ 令x=-1,则f(-1)=1-2×(-1]023=a-4+4,-4,+…+42-4=32023 则1a,+a+a,++a23卡3223，故B正确 选项C:因为f"(x)=4+2a,x++2023a223x2022=-40461-2x)202, 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故4+24，+30++2023a23=f'(1)=-4046(1-2)2022=-4046, 又a。=1,所以a4+4+202+3a++2023ao23=-4045,故C正确： 选项D:f(8)=(1-2×8)2023=(-15)2023=-(16-1)2023, 根据二项式定理展开16-1)2023可得：(16-1)23-Co23x16223×(-1)°+C22×1622×(-1 ++C82×16×(-1)2022+C282×16°×(-1)202 =16×(C9023×162022-C023×162021++C38023）-1, 所以f(8)=-(16×(C32×162022-C2023×16021++C02）-1 =-16×(C923×16202-C2023×162m1++C82）+1 则f(8)被16除的余数是1，故D错误. 故选：BCnull可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 排列与组合典型例题 题型1：排列数、组合数计算与方程/不等式 (1)求值： AS+Ag A0-A0 (2)解方程：C6x=C-5: (3)解不等式：3A≤2A经+1+6A经 【详解】①D原式=地=6三一6x98x7X6三2 4A04x10x9×8×7X6=20 (2)由C6-x=C8-5可得x2-x=5x-5或x2-x+5x-5=16, 解方程x2-x=5x-5,即x2-6x+5=0,解得x=1或x=5, 解方程x2-x+5x-5=16,即x2+4x-21=0,解得x=3或x=-7, 又因为x2-x5x-5均为整数，且0≤-≤16 0≤5x-5≤16 所以x=1或x=3符合要求，x=5和x=-7均不符合要求. 故x=1或x=3: (3)由3A2≤2A经+1+6A可得3x(x-1)x-2)≤2x(x+1)+6x(x-1), 由题意可知x≥3且x∈N*,整理可得3(x-1)(x-2)≤8x-4,即3x2-17x+10≤0， 解得号≤x≤5，又因为x≥3且x∈N,所以x∈3,4,5 题型2：无限制排列/简单有限制排列 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他 人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是() A.CA B.CA C.CA D.CA经 【详解】解：第一步可先从后排8人中选2人共有C种： 第二步可认为前排放6个座位，选出2个座位让后排的2人坐， 由于其他人的顺序不变，所以有A2种坐法： 综上知不同调整方法的种数为C好A名， 故选：D 题型3：相邻、不相邻问题 某班进行“数学与生活”演讲，有4名男生和3名女生参加，现要排出一个演讲次序.（结果 用数字作答) (1)若4名男生相邻，共有多少种不同的排法？ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若3名女生不相邻，共有多少种不同的排法？ (3)若男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有多少种不同的排法？ 【详解】(1)若4名男生相邻，有A4=24种情况， 将4名男生看为一个整体，和3名女生进行排列，有A4=24种情况. 所以共有24×24=576种不同的排法. (2)若3名女生不相邻，先安排4名男生，有A4=24种情况， 再将3名女生插入到4名男生形成的5个空中，有A号=60种， 所以共有24×60=1440种情况 (3)方法一：男生甲排第一名时，其他人可全排，有A%=720种排法： 男生甲不排第一名时，可从余下不含中间的5个位置任选1个，有A号=5种， 而女生乙可从除去第一名和男生甲的位置后剩下的5个中任选1个，有A=5种， 其他人全排列，只有A=120种不同排法， 共有5×5×120=3000种排法. 综上所述，男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有720+3000=3720种不同的排法 方法二：7名学生全排列，有A☑=5040种排法， 其中男生甲排中间，有A%=720种排法， 女生乙排第一名，有A%=720种排法， 其中都包含了男生甲排中间且女生乙排第一名的情形，有A=120种， 所以男生甲不排中间，女生乙不排第一名，共有5040-2×720+120=3720种不同的排 法。 题型4：简单组合计数（选人、选科、分组） 某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有 () A.110种 B.100种 C.90种 D.80种 【详解】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有C(C4+C子+C)= 70种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有CC子=30种： 所以满足条件的不同的派遣方案有70+30=100种. 故选：B. 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 突破1：元素/位置多重限制排列 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游已知8名同学中 有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中 男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游 玩行程的方法数为() A.564 B.484 C.386 D.640 【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况. 第一种情况分成2人，2人，4人：女生B,C去同一处景点，当B,C成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生A不同组，有C4A经=8种方法： 当B,C在4人组时，有CC+C4A3=36种方法 A 第二种情况分成2人，3人，3人：当B,C成2人组时，有C异=6种方法： 当B,C在3人组时，有C2C号+C4C3A3=44种方法。 故这8名同学游玩行程的方法数为(8+36+6+44)×A3=564 故选：A 突破2：分组分配问题（均匀/不均匀、定向/不定向) 某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂 党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员 前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有 种 【详解】若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往， 则分组方式为1,1,3：1,2,2： 比时不同的分配方案共有(Cc4c+CCC)是-50×号=150种： 若甲，乙两名成员前往同一基地，考虑到甲乙特殊， 若三组人数为3,1,1，则甲乙还需一名成员，故不同的分配方案有CA3=18: 若三组人数为2,2,1，则甲乙为一组，不同的分配方案有CA号=18，所以共计36种， 故所求为150-36=114种. 故答案为：114 突破3：排列组合综合应用（多条件+分配） 从A、B、C等8人中选出5人排成一排 (1)A必须在内，有多少种排法？ (2)A、B、C都在内，且A在B前，C在B后，有多少种排法？ (3)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)先从余下的7人中选4人共有C=35种不同结果， 再将这4人与A进行全排列有A=120种不同的排法， 故由乘法原理可知共有C号·A=4200种不同排法： (2)因A,B,C都在内，所以只需从余下5人中选2人有C号=10种不同结果， 4,B,C相对顺序确定，共有A=200种不同排法： A (3)分四类：第一类：所选的5人无A、B,共有A=720种排法： 第二类：所选的5人有A、无B,共有CCA4=1080种排法： 第三类：所选的5人无A、有B,共有CC4A4=1440种排法： 第四类：所选的5人有A、B,若A排中间时，有CA4=480种排法， 若A不排中间时，有C2C2CgA号=720种排法， 共有480+720=1200种排法： 综上，共有720+1080+1440+1200=4440种不同排法.