【内蒙古专用】期中模拟卷（3）（人教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（3）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．生活中经常看到用三脚架支撑照相机，依据是（   ） A．两条相交直线确定一个平面 B．直线和直线外一点确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．不共线的三点确定一个平面 2．计算：（   ）. A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（   ） A．经过三点有且只有一个平面 B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行 D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 4．复数的共轭复数的模是（   ） A．2 B．3 C．5 D．10 5．已知为虚数单位，复数，则等于（    ） A． B．1 C． D． 6．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（     ） A． B． B． C． D． 7．已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 9．在复平面内，与复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（     ） ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与的所成角为 B．与的夹角是 C．二面角的度数为 D．二面角的度数为 12．已知复数是纯虚数，则为（   ） A． B． C． D．或 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若平面平面，平面平面，点，且，则过点A且与平面β垂直的直线一定在平面____________内. 14．已知复数（其中i为虚数单位），则______. 15．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为_____________（异面、相交、平行） 16．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为______________. 17．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则实数__________． 18．若（），则__________. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．（本小题8分）求满足下列条件的实数m和n (1) (2) 20．（本小题8分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 21．（本小题10分）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数． (1)若，，求的值 (2)若，求，的值． 22．（本小题10分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD． (1)证明：平面PBD； (2)若M为PA的中点，求证：平面MBD． 23．（本小题12分）如题图所示，直三棱柱的各条棱长都为2，D是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求三棱锥的体积． 24．（本小题12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求的值； (2)已知复数，，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（3）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（3） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．生活中经常看到用三脚架支撑照相机，依据是（   ） A．两条相交直线确定一个平面 B．直线和直线外一点确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．不共线的三点确定一个平面 【答案】D 【分析】利用不共线的三点可以确定一个平面的性质分析即可. 【详解】三脚架的三个脚构成三角形的各个顶点， 它们不在同一条直线上，可确定一个平面，使三脚架上的照相机稳当地固定在这个平面上. 故选：D. 2．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘法的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：D. 3．下列命题正确的是（   ） A．经过三点有且只有一个平面 B．若两个平面垂直，则一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行 D．若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】经过不共线的三点有且只有一个平面， 如果三点在一条直线，经过三点有无数个平面，故A错误， 若两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个面，不是平面内任意直线都满足，故B错误， 若一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与该平面平行，或在平面内，故C错误， 根据线面垂直的判定定理可知，若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直，故D正确， 故选：D. 4．复数的共轭复数的模是（   ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的模长公式求解即可. 【详解】复数的共轭复数为， ∴． 故选：C. 5．已知为虚数单位，复数，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算求出，再利用复数模的计算公式即可求解. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C. 6．如图，在正方体中，直线与平面所成的角为（     ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出直线与平面所成角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】在正方体中， 平面，则直线与平面所成的角为， 因为， 直线与平面所成的角为， 故选：. 7．已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算，结合虚数单位的性质和共轭复数的定义求解即可. 【详解】， 所以复数的共轭复数是， 故选：D. 8．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的特征得出为直线与所成角，再由直角三角形中的余弦的定义求值即可. 【详解】连接，因为为正方体， 所以， 则为直线与所成角， 且平面，平面， 所以，设棱长为， 则， 所以， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 9．在复平面内，与复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】， 在复平面对应的点的坐标为，位于第一象限， 故选：. 10．如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是（     ） ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据面平面的判定定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对①，在三棱锥中，因为， 又平面，所以平面，故①正确. 对②，点分别是所在棱的中点，， 又平面平面， 所以平面平面，故②正确. 对③，因为是中点，所以， 则是直线与直线所成的角，故③正确. 对④，因为平面，所以平面，垂足， 则是在平面的投影，所以是与平面所成的角，故④错误. 即正确的个数有个. 故选：C. 11．已知正方体的棱长为1，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与的所成角为 B．与的夹角是 C．二面角的度数为 D．二面角的度数为 【答案】D 【分析】A项，根据异面直线的概念，找出为异面直线与的所成角，结合正方体的性质即可求解；B项，先找出为与的夹角，结合正方体的性质即可求解；CD项，根据二面角的概念，找出为二面角的平面角，为二面角的平面角，结合三角函数的定义，正方体的性质即可求解. 【详解】对A，在正方体中，， 所以为异面直线与的所成角，因为， 所以是等边三角形，则， 即异面直线与的所成角为，故A错误. 对B，在正方体中，， 则是等边三角形，所以与的夹角，故B错误. 对C，连接交于，连接，在正方体中， ，所以平面， 因为平面，不在平面内，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，故C错误.    对D，在正方体中，平面平面， 不在平面内，所以，因为平面即平面， 所以二面角即平面与平面的二面角， 因为平面平面，又， 所以为二面角的平面角，即为，故D正确.    故选：D. 12．已知复数是纯虚数，则为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意结合纯虚数的定义求出的值，代入模长公式即可得解. 【详解】复数是纯虚数， 则，解得， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．若平面平面，平面平面，点，且，则过点A且与平面β垂直的直线一定在平面____________内. 【答案】 【分析】根据平面与平面垂直的性质求解即可. 【详解】假设过A且垂直平面的直线为l，若直线l不在平面内， 则在平面内过A作，由得得， 与“过一点有且只有一条直线垂直于平面”矛盾，故. 故答案为： 14．已知复数（其中i为虚数单位），则______. 【答案】 【分析】由复数的加法运算即可得解. 【详解】， 因此，. 故答案为：. 15．一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，与的位置关系为_____________（异面、相交、平行） 【答案】异面 【分析】还原正方体，在根据异面直线的定义求解即可. 【详解】由正方体的展开图复原正方体的直观图如图： 则在原来的正方体中，与的位置关系为异面直线， 故答案为：异面. 16．已知正方体的体积为，为的中点，则与平面所成角的正切值为______________. 【答案】 【分析】先根据正方体体积求出棱长，再找出直线在平面上的射影，最后根据线面角的定义求出其正切值. 【详解】设正方体的棱长为， 已知正方体体积为，则有，解得. 因为平面，则直线在平面上的射影为， 所以是直线与平面所成的角， 已知为的中点，，所以， 在中，根据勾股定理可得， 在中，，则， 故与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 17．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，且，则实数__________． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内的位置确定的取值范围，再结合复数模的计算公式求解实数的值. 【详解】对于复数，在复平面内对应的点为， 因为该点在第二象限，所以，即. 已知，则， 即，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 18．若（），则__________. 【答案】 【分析】根据复数的加减法运算以及复数相等求解即可. 【详解】，又（）， 所以，解得，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．（本小题8分）求满足下列条件的实数m和n (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由题意、根据复数相等的条件，列方程组可求解； （2）由题意、根据复数为零的条件，列方程组可求解. 【详解】（1）由题意根据复数相等的条件可得： ，解得，； （2）由题意根据复数为零的条件可得： ，解得，. 20．（本小题8分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定定理可证AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，则可得AE∥MN． 【详解】因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB， 又AB∥CD，所以AE⊥CD. 因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， 所以AE⊥平面PCD. 因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD. 又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， 所以MN⊥平面PCD， 所以AE∥MN. 21．（本小题10分）已知复数，复数，其中是虚数单位，，为实数． (1)若，，求的值 (2)若，求，的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据复数运算结合的模的概念即可求； （2）根据题意表示出复数，解方程组可得． 【详解】（1）当，时， ，， 所以， 所以. 故的值为. （2）若，则， 所以， 所以， 解得. 故. 22．（本小题10分）如图，已知四边形ABCD是菱形，点P是平面ABCD外一点，且平面ABCD． (1)证明：平面PBD； (2)若M为PA的中点，求证：平面MBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定，由证明即可. （2）根据线面平行的判定定理，设的交点为，由证明即可. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD． 所以， 因为四边形ABCD是菱形，所以， 平面PBD；， 所以平面PBD. （2）如图，设的交点为，连接， 因为四边形ABCD是菱形， 所以为的中点，又M为PA的中点， 所以，又平面MBD，平面MBD， 所以平面MBD． 23．（本小题12分）如题图所示，直三棱柱的各条棱长都为2，D是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）首先由线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. （3）由棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接， 因为，分别是，的中点，所以是的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面．    （2）因为平面，且平面， 所以，因为且是中点， 所以，即，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面． （3）. 24．（本小题12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求的值； (2)已知复数，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系、正弦定理以及两角和的正弦公式求解； （2）解法一：利用复数的运算法则及复数模的公式计算. 解法二：利用复数的运算法则、三角函数和角公式及复数模的公式计算. 【详解】（1）在中，，， ． ，，， ． ，且，， 在中，，，B为锐角， ． ． （2）解法一： ，． ， ． 解法二： 由（1）知，且，则， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $