【内蒙古专用】期中模拟卷（2）（人教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（2）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．下列说法正确的是（    ） A．复数实部不存在 B．复数3的虚部不存在 C．复数的虚部是4 D．复数的实部和虚部都是1 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若复数满足，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 4．在如图的正方体中，互为异面直线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．下列说法中错误的是（   ） A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线 B．若一平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 C．若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面 D．若一条直线垂直于一个平面上的两条相交直线，则这条直线必垂直于这个平面 6．已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知是两条不同直线，是空间中两个不同平面，则下列命题中正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．若，则的模为（    ） A． B． C． D． 11．已知实数满足条件，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是45° B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是90° 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．已知复数，则__________． 14．已知平面平面，直线平面，则与的位置关系是____________． 15．若为实数，则实数 _________． 16．如图所示，在正方体中，直线与直线所成角的大小为_______．    17．如图，正方体中，异面直线与所成的角的正切值为______________. 18．已知复数，，则实部的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19.（本小题8分）已知复数，． (1)求的模； (2)求（为的共轭复数）. 20．（本小题8分）已知复数，当实数取何值时，复数表示的点分别满足下列条件： (1)位于轴上； (2)位于直线上. 21．（本小题10分）如图，在四棱锥中，底面是萎形，平面，，分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 22．（本小题10分）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 23．（本小题12分）求当为何实数时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)位于第四象限． 24．（本小题12分）如图，是边长为4的正三角形，点D是所在平面外一点，且平面，E为的中点．    (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块》（人教版）教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和3份模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 本卷是2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》（人教版）的期中模拟试卷（2）。 2025-2026学年高二下学期《数学期中考点大串讲》 期中模拟卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块》（人教版）教材立体几何、复数章。 1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．下列说法正确的是（    ） A．复数实部不存在 B．复数3的虚部不存在 C．复数的虚部是4 D．复数的实部和虚部都是1 【答案】D 【分析】根据复数概念易得答案 【详解】选项A：复数实部为0，故错误； 选项B，复数3的虚部为0，故错误； 选项C，复数的虚部是，故错误； 选项D，复数的实部和虚部都是1，故错误； 故选：D 2．已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中直线的关系，以及充分必要条件的概念解得. 【详解】因为l，m，n是空间中不过同一点的三条直线， 若“l，m，n共面”，它们可以互相平行、不交，也可以两条平行一条相交， 不一定两两相交，即充分性不满足； 若“l，m，n两两相交”，即三条不过同一点、两两相交的直线，一定共面，必要性满足， 所以，空间中不过同一点的三条直线l，m，n，“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的必要不充分条件. 故选：B. 3．若复数满足，则的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的运算，先求出复数z，继而求得共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B. 4．在如图的正方体中，互为异面直线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义即可选出正确答案. 【详解】异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不平行，也不相交. A选项：在正方体中，，不是异面直线； B选项：与不同在任何一个平面内，既不平行也不相交，是异面直线； C选项：在正方体中，，不是异面直线； D选项：与相交于点 ，不是异面直线. 故选：B 5．下列说法中错误的是（   ） A．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上的所有直线 B．若一平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 C．若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面 D．若一条直线垂直于一个平面上的两条相交直线，则这条直线必垂直于这个平面 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理可判断结果. 【详解】由线面垂直的性质可知，A正确； 由面面垂直的判定定理可知，B正确； 由线面垂直的性质可知：若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线可能在平面内，故C错误； 由线面垂直的判定定理可知，D正确；. 故选：C 6．已知，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据复数加法运算及复数相等的定义求解. 【详解】因为，即， 则解得所以. 故选：D. 7．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角求解即可. 【详解】长方体中 平面ABCD 与平面AC所成的角 在中，， ， ． 故选：D. 8．在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数的乘除运算及几何意义即可得解. 【详解】. 在复平面对应点的坐标为,位于第一象限. 故选:. 9．已知是两条不同直线，是空间中两个不同平面，则下列命题中正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及直线与平面垂直的判定方法，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A，若，则和可能平行、相交或者异面，所以选项A错误； 选项B，若，则与可能平行，也可能相交，所以选项B错误； 选项C，若，根据直线与平面垂直的判定方法可知，所以选项C正确； 选项D，若，则可能平行于，可能，也可能与相交，所以选项D错误. 故选：C. 10．若，则的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数减法及模的计算求解即可. 【详解】， 其模为. 故选：D. 11．已知实数满足条件，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由复数的代数运算可得，再根据复数的类型求出的值，最后利用复数模的计算公式可求解. 【详解】由可得， ， 所以，解得， 所以. 故选：A 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的解法，结合正方体的性质分析判断各选项. 【详解】选项A，连接和，因为正方体中， 所以（或其补角）是直线与所成的角， 设正方体棱长为，在中，， 所以是等边三角形，则， 故直线与所成的角是，故A选项错误； 选项B，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，所以，故B选项错误； 选项C，因为平面，平面，所以. 因为，，， 所以就是二面角的平面角， 由前面分析可知，故C选项错误； 选项D，因为，，， 所以就是二面角的平面角， 又因为，所以二面角的平面角是，故D选项正确， 故选：D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．已知复数，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的共轭复数与复数的模求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 14．已知平面平面，直线平面，则与的位置关系是____________． 【答案】或. 【分析】根据线线与线面关系判定可得. 【详解】根据已知条件画图， 如图:， 所以或， 故答案为：或. 15．若为实数，则实数 _________． 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的类型，即可列式求解. 【详解】因为为实数， 所以，解得. 故答案为：. 16．如图所示，在正方体中，直线与直线所成角的大小为_______．    【答案】 【分析】根据题意，连接，结合异面直线所成角的概念及正方体的结构特征，即可求解． 【详解】 在正方体中，连接，则 ， 所以为直线与直线所成的角， 由正方体的性质可知，，所以， 即直线与直线所成的角为． 故答案为：． 17．如图，正方体中，异面直线与所成的角的正切值为______________. 【答案】 【分析】求出异面直线所成的角的正切值，再由计算工具即可得解. 【详解】连接BD，如图， 在正方体中，设棱长为1，则，,平面ABCD，平面ABCD， 所以，异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 所以锐角即为异面直线与所成的角，且. 故答案为： 18．已知复数，，则实部的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据复数的乘法运算以及复数的实部求解即可. 【详解】因为复数，， 所以， 因此实部为. 因为的最大值为1，所以实部的最大值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19.（本小题8分）已知复数，． (1)求的模； (2)求（为的共轭复数）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法运算求解，再根据模长公式求解即可； （2）先求解出的共轭复数，再根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】（1）复数，， ∴， ∴. （2）复数，， 则， ∴. 20．（本小题8分）已知复数，当实数取何值时，复数表示的点分别满足下列条件： (1)位于轴上； (2)位于直线上. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（）根据题意可知，解方程即可得解. （）根据题意列出即可得解. 【详解】（1）由题意，则， 因为点位于轴上，即， 解或， 因此当或时复数表示的点位于轴上. （2）因为，位于直线上， 则， 解得， 因此当时复数表示的点位于直线上. 21．（本小题10分）如图，在四棱锥中，底面是萎形，平面，，分别是，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，可证得四边形是平行四边形，从而，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）取的中点，连接，，   因为是的中点，是的中点，可得，且， 由于底面是菱形，所以，且， 又因为是的中点，所以， 那么，且， 则，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为底面是菱形，所以， 已知平面，平面， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，且平面， 所以平面平面. 22．（本小题10分）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面夹角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正方体的性质找到线面垂直关系，根据线面垂直的性质得出结果； （2）先找出直线在平面内的射影，再根据直线与平面夹角的定义求解. 【详解】（1）在正方体中，平面， 因为平面，所以. （2）连接，如图，    因为平面，所以在平面内的射影为， 则就是直线与平面所成的角， 已知正方体棱长为，为棱的中点， 则，， 可得， 在中，，， 所以， 即直线与平面夹角的余弦值为. 23．（本小题12分）求当为何实数时，复数满足： (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)位于第四象限． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据实数的概念列方程求解； （2）根据纯虚数的概念列式求解； （3）根据复数的几何意义列不等式组求解. 【详解】（1）由得或， ∴当或时，复数为实数； （2）由，得； ∴当时，复数为纯虚数； （3）复数对应的点为， 由，即，则，解得， ∴当时，复数位于第四象限． 24．（本小题12分）如图，是边长为4的正三角形，点D是所在平面外一点，且平面，E为的中点．    (1)求证：平面； (2)求点A到平面的距离； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2). (3). 【分析】（）根据题意结合线面垂直的判定定理及性质即可得解. （）根据题意作出辅助线，利用线面垂直的判定定理及性质，结合等面积法即可得解. （）根据题意结合面面垂直的判定定理，找到线面角，求出所需线段的长度即可得解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ， 又为正三角形，E为的中点， ， ，平面， 平面. （2） 取的中点，连接，过点A在平面内作于N， 则，因为平面，平面，则， 因为，平面， 可得平面，平面，则， 在等边中，，在中，， 利用等面积可知，， ，， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以点A到平面的距离即为的距离为. （3）平面，平面， 则平面平面， 在平面上的射影在上， 则即为直线和平面所成的角， 在中，，， ， ， 即直线和平面所成角的正弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $