16.4反比例函数（11知识点+20题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

本讲义聚焦反比例函数核心知识点，系统梳理从定义（三种表达式）、图象性质（双曲线、k与象限及增减性的关系、k的几何意义）到解析式求法、与一次函数综合应用的完整脉络，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 资料以20种题型为载体，通过典例与跟随训练结合，如用行程问题抽象反比例关系培养数学眼光，通过k的几何意义推理提升数学思维，课中助力教师分层教学，课后通过过关检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

16.4反比例函数 （11知识点+20题型+过关检测） 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 4 【题型2 根据定义判断是否是反比例函数】 5 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】 5 【题型4 求反比例函数值】 6 【题型5 由反比例函数值求自变量】 6 【题型6 判断（画）反比例函数图象】 6 【题型7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 7 【题型8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 8 【题型9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 9 【题型10 判断反比例函数的增减性】 9 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】 10 【题型12 已知反比例函数的增减性求参数】 10 【题型13 比较反比例函数值或自变量的大小】 11 【题型14 已知比例系数求特殊图形的面积】 11 【题型15 根据图形面积求比例系数】 13 【题型16 求反比例函数解析式】 14 【题型17 一次函数与反比例函数图象综合判断】 15 【题型18 一次函数与反比例函数的交点问题】 16 【题型19 一次函数与反比例函数的实际应用】 17 【题型20 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 19 1. 理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达式形式，能准确判断一个函数是否为反比例函数，能根据定义求相关参数的值。 2. 掌握反比例函数的图象特征（双曲线）及性质，理解比例系数k的符号对图象位置、增减性的影响，能结合性质判断图象象限、分析函数变化规律。 3. 熟练运用反比例函数的定义、性质，解决图象判断、函数值与自变量求解、参数范围、图形面积等基础问题，提升运算和推理能力。03 知识•梳理 （一）反比例函数的定义 知识点1：反比例函数的定义 一般地，形如（其中为常数，且）的函数，叫做反比例函数。 关键说明：① 自变量的取值范围是（分母不能为0）；② 函数值的取值范围是；③ 核心特征：与的乘积为定值（即，）。 知识点2：反比例函数的三种表达式形式 1. 基本形式：（，最常用，直观体现“反比例”关系）； 2. 乘积形式：（，可快速判断两个变量是否成反比例关系）； 3. 负指数形式：（，与幂函数关联，注意，避免混淆指数符号）。 易错提醒：三种形式可相互转化，但必须满足，若，则函数变为，是常数函数，不是反比例函数。 知识点3：反比例函数与正比例函数的区别 1. 表达式不同：正比例函数（），反比例函数（）； 2. 变量关系不同：正比例函数中与成正比例（比值为定值），反比例函数中与成反比例（乘积为定值）； 3. 自变量取值范围不同：正比例函数可取任意实数，反比例函数。 （二）反比例函数的图象与性质 知识点4：反比例函数的图象特征 1. 形状：反比例函数（）的图象是双曲线，由两条互不相交的曲线组成； 2. 对称性：① 关于原点成中心对称（若点在双曲线上，则点也在双曲线上）；② 关于直线和成轴对称（可选，贴合教材拓展要求）； 3. 渐近性：双曲线无限靠近轴和轴，但永远不会与轴、轴相交（因为，）。 知识点5：反比例函数图象所在象限与k的关系 反比例函数图象经过的象限，仅由比例系数的符号决定，与其他因素无关： 1. 当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限； 2. 当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 衍生结论：若双曲线经过某一象限，则可直接判断的符号；反之，由的符号可快速判断双曲线经过的象限。 知识点6：反比例函数的增减性 反比例函数的增减性与的符号有关，且必须在每个象限内单独讨论（不能跨象限判断）： 1. 当时，在每个象限内，随的增大而减小； 2. 当时，在每个象限内，随的增大而增大。 易错提醒：严禁说“当时，随的增大而减小”（忽略“每个象限内”），例如中，时，时，从-1增大到1，从-2增大到2，与“减小”矛盾。 知识点7：反比例函数中k的几何意义 过反比例函数（）图象上任意一点，向轴、轴分别作垂线，垂足分别为、，则： 1. 矩形（为坐标原点）的面积； 2. 三角形或三角形的面积； 3. 关键说明：的几何意义中，面积始终取绝对值，与的符号无关（即无论为正还是负，面积均为正值），的符号仅影响双曲线的位置。 （三）反比例函数的解析式与综合应用 知识点8：待定系数法求反比例函数解析式 1. 核心思路：反比例函数只有1个待定系数，因此只需1个独立的已知条件（如图象上一个点的坐标、一组与的对应值、图形面积），即可求出的值，进而确定解析式。 2. 一般步骤：① 设：设反比例函数解析式为（）；② 代：将已知条件代入解析式，列出关于的方程；③ 解：解方程求出的值；④ 写：将的值代入所设解析式，写出完整表达式。 知识点9：求反比例函数解析式的常见已知条件类型 1. 已知图象上一个点的坐标（最常见）：将点代入，得； 2. 已知一组与的对应值：直接利用计算； 3. 已知图形面积：根据的几何意义，由面积求出，再结合图象所在象限确定的符号； 4. 已知与一次函数的关系（如交点、平行/垂直）：结合一次函数解析式，求出交点坐标，再代入反比例函数求。 知识点10：一次函数与反比例函数的综合要点 1. 交点问题：联立一次函数（）与反比例函数（）的解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标；若无实数解，则两函数图象无交点。 2. 图象综合判断：结合、（一次函数）和（反比例函数）的符号，判断两个函数图象经过的象限，进而分析交点所在象限。 3. 实际应用：找到题目中两个成反比例关系的变量，设出反比例函数解析式，结合已知条件求出，再利用解析式解决实际问题（如行程、工程、浓度等问题）。 知识点11：反比例函数的易错点梳理 1. 忽略的前提，误将的函数当作反比例函数； 2. 判断增减性时，未强调“每个象限内”，跨象限判断导致错误； 3. 利用的几何意义求时，忘记结合图象象限确定的符号，只取绝对值； 4. 求解析式时，代入点的坐标颠倒、的值，或计算时符号错误； 5. 解决一次函数与反比例函数综合问题时，联立方程组后解错，或忽略自变量的取值范围（反比例函数）。04 题型•汇总 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 【典例1】．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 跟随训练1-1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 跟随训练1-2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 跟随训练1-3．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据定义判断是否是反比例函数】 【典例2】．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．函数是（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 跟随训练2-2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 跟随训练2-3．下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】 【典例3】．反比例函数经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 跟随训练3-2．若函数是反比例函数，则____． 跟随训练3-3．平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【题型4 求反比例函数值】 【典例4】．下列各点中，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值为__________． 跟随训练4-3．已知反比例函数．将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；……如此继续下去，则_________． 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【典例5】．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数图象上，则m等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 跟随训练5-2．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 跟随训练5-3．函数，当时，y的范围是________；时，x的范围是________． 【题型6 判断（画）反比例函数图象】 【典例6】．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 跟随训练6-1．若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 跟随训练6-3．函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是______． 【题型7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【典例7】．“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（   ） A．A B．B C．C D．D 跟随训练7-1．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 跟随训练7-2．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 跟随训练7-3．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【题型8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【典例8】．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 跟随训练8-1．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是______； （2）的面积是______． 跟随训练8-3．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 【题型9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【典例9】．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 跟随训练9-1．兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练9-2．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 跟随训练9-3．已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【题型10 判断反比例函数的增减性】 【典例10】．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 跟随训练10-1．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 跟随训练10-2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 跟随训练10-3．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】 【典例11】．一次函数与反比例函数的图象都不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 跟随训练11-1．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 跟随训练11-2．已知反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小，若点，和点在该反比例函数图像上，则______．（填“”“”或“”） 跟随训练11-3．设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【题型12 已知反比例函数的增减性求参数】 【典例12】．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练12-1．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 跟随训练12-3．若点，点均在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是________． 【题型13 比较反比例函数值或自变量的大小】 【典例13】．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 跟随训练13-1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 跟随训练13-2．若点，在y关于x的函数的图象上，则_________．（填“”“”或“”） 跟随训练13-3．已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 【题型14 已知比例系数求特殊图形的面积】 【典例14】．如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 跟随训练14-1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 跟随训练14-2．如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 跟随训练14-3．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【题型15 根据图形面积求比例系数】 【典例15】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 跟随训练15-1．如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 跟随训练15-2．如图，在平面直角坐标系中，是轴上的任意一点，轴，分别交的图象和的图象于，两点．若的面积是6，则的值为_____． 跟随训练15-3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【题型16 求反比例函数解析式】 【典例16】．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 跟随训练16-1．若点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练16-2．反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 跟随训练16-3．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，即两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（单位：度）与车速v（单位：）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度f为______度． 【题型17 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例17】．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 跟随训练17-1．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 跟随训练17-2．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 跟随训练17-3．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【题型18 一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例18】．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为4，则k的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 跟随训练18-1．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 跟随训练18-2．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 跟随训练18-3．如图，直线与轴交于点，与一个反比例函数图像交于点，过点作轴于点，若，则该反比例函数的表达式为________． 【题型19 一次函数与反比例函数的实际应用】 【典例19】．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 跟随训练19-1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 跟随训练19-2．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    跟随训练19-3．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【题型20 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【典例20】．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练20-1．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个． 跟随训练20-2．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 跟随训练20-3．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 05 过关•检测 1．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 4．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（    ） A． B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C．线段的长为3 D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值 5．根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 7．在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 8．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 9．如图，点在函数的图象上，过点作轴，交轴于点，将点绕线段的中点逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接．若的面积等于2，则的值为___________． 10．已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 11．某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 12．如图，直线与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图象交于点，与轴交于点． 若点是线段的中点时，则点的坐标是______，的值是______（直接写答案）． 当时，直接写出的取值范围． 13．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)若，求的值； (2)求的值． 14．函数的图象如图1所示（正方形网格边长为1）．      x … 1 2 4 … … 4 2 1 … … 0 5 3 2 … (1)根据表格中的数据，在图1中画出函数的图象．根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式是 ； (3)如图2，函数的图象无限接近y轴及直线，则 ，A是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为4，，则 ． 15．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.4反比例函数 （11知识点+20题型+过关检测） 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 4 【题型2 根据定义判断是否是反比例函数】 6 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】 8 【题型4 求反比例函数值】 10 【题型5 由反比例函数值求自变量】 12 【题型6 判断（画）反比例函数图象】 13 【题型7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 16 【题型8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 18 【题型9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 21 【题型10 判断反比例函数的增减性】 23 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】 25 【题型12 已知反比例函数的增减性求参数】 27 【题型13 比较反比例函数值或自变量的大小】 30 【题型14 已知比例系数求特殊图形的面积】 31 【题型15 根据图形面积求比例系数】 35 【题型16 求反比例函数解析式】 38 【题型17 一次函数与反比例函数图象综合判断】 40 【题型18 一次函数与反比例函数的交点问题】 43 【题型19 一次函数与反比例函数的实际应用】 45 【题型20 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 50 1. 理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达式形式，能准确判断一个函数是否为反比例函数，能根据定义求相关参数的值。 2. 掌握反比例函数的图象特征（双曲线）及性质，理解比例系数k的符号对图象位置、增减性的影响，能结合性质判断图象象限、分析函数变化规律。 3. 熟练运用反比例函数的定义、性质，解决图象判断、函数值与自变量求解、参数范围、图形面积等基础问题，提升运算和推理能力。03 知识•梳理 （一）反比例函数的定义 知识点1：反比例函数的定义 一般地，形如（其中为常数，且）的函数，叫做反比例函数。 关键说明：① 自变量的取值范围是（分母不能为0）；② 函数值的取值范围是；③ 核心特征：与的乘积为定值（即，）。 知识点2：反比例函数的三种表达式形式 1. 基本形式：（，最常用，直观体现“反比例”关系）； 2. 乘积形式：（，可快速判断两个变量是否成反比例关系）； 3. 负指数形式：（，与幂函数关联，注意，避免混淆指数符号）。 易错提醒：三种形式可相互转化，但必须满足，若，则函数变为，是常数函数，不是反比例函数。 知识点3：反比例函数与正比例函数的区别 1. 表达式不同：正比例函数（），反比例函数（）； 2. 变量关系不同：正比例函数中与成正比例（比值为定值），反比例函数中与成反比例（乘积为定值）； 3. 自变量取值范围不同：正比例函数可取任意实数，反比例函数。 （二）反比例函数的图象与性质 知识点4：反比例函数的图象特征 1. 形状：反比例函数（）的图象是双曲线，由两条互不相交的曲线组成； 2. 对称性：① 关于原点成中心对称（若点在双曲线上，则点也在双曲线上）；② 关于直线和成轴对称（可选，贴合教材拓展要求）； 3. 渐近性：双曲线无限靠近轴和轴，但永远不会与轴、轴相交（因为，）。 知识点5：反比例函数图象所在象限与k的关系 反比例函数图象经过的象限，仅由比例系数的符号决定，与其他因素无关： 1. 当时，双曲线的两支分别位于第一、三象限； 2. 当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。 衍生结论：若双曲线经过某一象限，则可直接判断的符号；反之，由的符号可快速判断双曲线经过的象限。 知识点6：反比例函数的增减性 反比例函数的增减性与的符号有关，且必须在每个象限内单独讨论（不能跨象限判断）： 1. 当时，在每个象限内，随的增大而减小； 2. 当时，在每个象限内，随的增大而增大。 易错提醒：严禁说“当时，随的增大而减小”（忽略“每个象限内”），例如中，时，时，从-1增大到1，从-2增大到2，与“减小”矛盾。 知识点7：反比例函数中k的几何意义 过反比例函数（）图象上任意一点，向轴、轴分别作垂线，垂足分别为、，则： 1. 矩形（为坐标原点）的面积； 2. 三角形或三角形的面积； 3. 关键说明：的几何意义中，面积始终取绝对值，与的符号无关（即无论为正还是负，面积均为正值），的符号仅影响双曲线的位置。 （三）反比例函数的解析式与综合应用 知识点8：待定系数法求反比例函数解析式 1. 核心思路：反比例函数只有1个待定系数，因此只需1个独立的已知条件（如图象上一个点的坐标、一组与的对应值、图形面积），即可求出的值，进而确定解析式。 2. 一般步骤：① 设：设反比例函数解析式为（）；② 代：将已知条件代入解析式，列出关于的方程；③ 解：解方程求出的值；④ 写：将的值代入所设解析式，写出完整表达式。 知识点9：求反比例函数解析式的常见已知条件类型 1. 已知图象上一个点的坐标（最常见）：将点代入，得； 2. 已知一组与的对应值：直接利用计算； 3. 已知图形面积：根据的几何意义，由面积求出，再结合图象所在象限确定的符号； 4. 已知与一次函数的关系（如交点、平行/垂直）：结合一次函数解析式，求出交点坐标，再代入反比例函数求。 知识点10：一次函数与反比例函数的综合要点 1. 交点问题：联立一次函数（）与反比例函数（）的解析式，组成方程组，解方程组即可得到交点坐标；若无实数解，则两函数图象无交点。 2. 图象综合判断：结合、（一次函数）和（反比例函数）的符号，判断两个函数图象经过的象限，进而分析交点所在象限。 3. 实际应用：找到题目中两个成反比例关系的变量，设出反比例函数解析式，结合已知条件求出，再利用解析式解决实际问题（如行程、工程、浓度等问题）。 知识点11：反比例函数的易错点梳理 1. 忽略的前提，误将的函数当作反比例函数； 2. 判断增减性时，未强调“每个象限内”，跨象限判断导致错误； 3. 利用的几何意义求时，忘记结合图象象限确定的符号，只取绝对值； 4. 求解析式时，代入点的坐标颠倒、的值，或计算时符号错误； 5. 解决一次函数与反比例函数综合问题时，联立方程组后解错，或忽略自变量的取值范围（反比例函数）。04 题型•汇总 【题型1 用反比例函数描述数量关系】 【典例1】．下列各种关系中，成反比例关系的是（   ） A．商品的进价一定，利润与售价的关系 B．同学的年龄一定，他的身高与体重的关系 C．路程一定，速度与时间的关系 D．工作效率一定，工作总量与工作时间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例关系的判断，需依据“两个相关联的量乘积一定则成反比例关系”的知识点，逐项分析各选项的数量关系即可求解． 【详解】解：A：设进价为定值，售价为，利润为，则，是差的数量关系，乘积非定值，不成反比例关系； B：身高与体重无固定的乘积或比值关系，不成比例关系； C：设路程为定值，速度为，时间为，则，为定值，即与的乘积一定，与成反比例关系； D：设工作效率为定值，工作总量为，工作时间为，则，为定值，即与的比值一定，成正比例关系； 故选：C． 跟随训练1-1．下列各选项中的两个量成反比例关系的是（   ） A．速度一定，路程与时间 B．圆柱的体积一定，底面积与高 C．小明的体重与他的年龄 D．圆的周长与半径 【答案】B 【分析】本题考查了反比例关系； 判断两个量是否成反比例关系，需满足它们的乘积为常数． 【详解】解：A．速度一定时，路程与时间成正比，不符合题意； B．V=底面积S×高h，圆柱的体积V一定，底面积与高成反比例关系，符合题意； C．体重与年龄无确定比例关系，不符合题意； D．圆的周长与半径成正比，不符合题意； 故选：B． 跟随训练1-2．农村的手压水井是“前自来水时代”较为普遍的汲水工具．已知手压水井的阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）与动力臂（单位：）之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了列函数表达式．根据“阻力阻力臂动力动力臂”即可得到函数表达式． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴， 即． 故答案为：． 跟随训练1-3．一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用了到达目的地．当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握路程、速度、时间的数量关系是解题的关键． 根据去程的速度和时间求出路程，返回时根据路程不变，速度与时间成反比例关系列函数关系式即可． 【详解】解：∵ 去程速度 ，时间 ， ∴ 路程 ， 返回时，路程不变，且匀速返回， ∴ ， ∴ ， 即函数关系式为 ． 故选：A． 【题型2 根据定义判断是否是反比例函数】 【典例2】．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的定义为形如（为常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A、是正比例函数，不符合反比例函数定义，不合题意； B、符合反比例函数的形式，是反比例函数，符合题意； C、分母不是单独的，不符合反比例函数定义，不合题意； D、不符合反比例函数定义，不合题意； ∴答案选B． 跟随训练2-1．函数是（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的一般形式．函数符合反比例函数的形式，其中． 【详解】解：∵正比例函数一般形式为，一次函数一般形式为，二次函数一般形式为，反比例函数一般形式为， 又∵题目给出的函数符合反比例函数的定义，不符合其余三类函数的定义， ∴该函数是反比例函数， 故选：D． 跟随训练2-2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是的反比例函数的有 ________ ．（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，），或可转化为（）、（）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数， ②可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ③中自变量的次数为，不符合反比例函数定义，不是反比例函数， ④可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑤是二次函数，不是反比例函数， ⑥可变形为，符合反比例函数的定义，是反比例函数， ⑦是正比例函数，不是反比例函数， 综上所述，反比例函数有②④⑥． 故答案为：②④⑥． 跟随训练2-3．下列各函数：；；；； ；；；；中，是关于的反比例函数的是__________填所有正确的序号． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的定义，判断函数是否为反比例函数，需满足形式（k为常数且），或等价形式如．需逐一分析每个函数是否符合条件，注意分母是否为的一次式，以及是否存在其他变形导致不符合定义的情况． 【详解】解：，未明确说明的取值范围，可能为0，因此不符合题意； ，由于（无论为何实数），分母为，分子为常数且不为零，故符合反比例函数的定义； ，可化简为，分子为常数且，符合定义，故是反比例函数； ，分母为，不符合分类函数的形式，不属于反比例函数，故不符合； ，此为正比例函数，与反比例函数形式不同，故不符合； ，为反比例函数与常数的组合，不符合纯反比例函数的定义，故不符合； ，该函数可化为，自变量的指数是，不等于，不符合反比例函数的定义，故不符合； ，即，显然符合反比例函数的定义，故是反比例函数； ，变形为，即，符合反比例函数的定义，故是反比例函数． 综上，符合条件的函数为． 故答案为：． 【题型3 根据反比例函数的定义求参数】 【典例3】．反比例函数经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将已知点坐标代入解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴将代入得 解得． 跟随训练3-1．若反比例函数的图象经过，两点，则a的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于常数k，先求出k的值，再代入B点坐标计算得到a的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵点在该反比例函数图象上， ∴， 解得． 跟随训练3-2．若函数是反比例函数，则____． 【答案】 【分析】反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 跟随训练3-3．平面直角坐标系中，点和点都在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于m和n的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：把点代入得，； 把点代入得， ∴， 故答案为：． 【题型4 求反比例函数值】 【典例4】．下列各点中，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据负整数指数幂的法则化简函数，再将选项横坐标代入函数计算，若计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上． 【详解】解：首先化简函数，∵， ∴纵坐标为0的选项B，D直接排除； 代入选项A，当时，，∴A不符合要求； 代入选项C，当时，，与点的纵坐标一致， ∴C正确． 跟随训练4-1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于常数，本题中，只需计算各选项的点的横纵坐标乘积，判断结果是否等于即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， ∵，，，， ∴反比例函数的图象一定经过的点是． 跟随训练4-2．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）的函数表达式为．当时，的值为__________． 【答案】 2 【分析】本题考查的是求反比例函数值，直接将代入中可得I的值． 【详解】解：当时，的值为， 故答案为：2． 跟随训练4-3．已知反比例函数．将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；将代入该函数的解析式中，所得函数值记为；……如此继续下去，则_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的周期性，掌握通过依次计算函数值寻找循环周期是解题的关键． 要解决这道题，需要根据反比例函数的解析式依次计算函数值，进而寻找其循环规律，最终得到的值． 【详解】解：当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 可见，函数值序列从开始重复的值，因此序列周期为， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【典例5】．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ，解得． 跟随训练5-1．反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数图象上，则m等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，先求出k的值，再代入待求点计算得到m的值. 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 又∵ 点在反比例函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 跟随训练5-2．反比例函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，自变量x的取值范围是． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，即自变量x的取值范围是． 故答案为：． 跟随训练5-3．函数，当时，y的范围是________；时，x的范围是________． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．数形结合是解题的关键．对于第一部分，根据反比例函数的性质，当时，x为负数，因此y为负数，求出y的范围；对于第二部分，解不等式由，得，再求解即可． 【详解】解：函数为， 当时，x为负数，因此y为负数， 当时，，⁻ 所以y的取值范围是， 由，得， 解得：或， 故答案为：；或． 【题型6 判断（画）反比例函数图象】 【典例6】．下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 跟随训练6-1．若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与值对比，相等则该点在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 跟随训练6-2．反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 跟随训练6-3．函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可． 【详解】解：直线中，，图像过一、三象限， 函数的图象与直线没有交点， 函数的图像必须位于二、四象限， ， ． 故答案为：． 【题型7 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【典例7】．“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】根据函数图象可知横，纵坐标的乘积即为米粒的重量，再比较得出答案． 【详解】解：根据题意可知出米率， ∴米粒的重量， 可知A试验田的米粒的重量； B试验田的米粒的重量； C试验田的米粒的重量； D试验田的米粒的重量， 因为， 所以产出的米粒重量最多的是C． 跟随训练7-1．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 跟随训练7-2．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点B的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 跟随训练7-3．反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【题型8 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【典例8】．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当时，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键．本题利用反比例函数的图象与性质，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于A，将代入，得，所以A选项错误，不符合题意； 对于B，因为，所以函数图象的两个分支分布在第一、三象限，所以选项B错误，不符合题意； 对于C，反比例函数的两个分支关于原点中心对称，不关于x轴对称，所以选项C错误，不符合题意； 对于D，由于，当时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 跟随训练8-1．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 跟随训练8-2．如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是______； （2）的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标； （2）根据反比例函数的中心对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得的面积． 【详解】解：（1）∵点在双曲线上， ∴， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点B作轴，过点C作轴，和交于点G，过点B作轴，过点A作轴，和交于点E，与交于点F． ∵直线BO与双曲线在第一象限交于点C，点， ∴点C的坐标为． ∵点，，， ∴， ∴． 故答案为：． 跟随训练8-3．若正比例函数与反比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【题型9 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【典例9】．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象在第一，三象限，即可得出，得． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， 解得． 故选：C． 跟随训练9-1．兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵， ∴， 从图象可知，函数图象在y轴右侧有渐近线，且渐近线在y轴右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 综上，选项A符合题意． 跟随训练9-2．在平面直角坐标系中，某反比例函数的图象分别位于第二、四象限，且k为大于的整数，则满足条件的k的值是_________． 【答案】 【分析】图象在第二、四象限可得，再由且为整数，即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 且为整数， 且为整数， ． 跟随训练9-3．已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，反比例函数图像分布在第二、四象限时，比例系数小于0，据此列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， 移项得， 系数化为得．． 【题型10 判断反比例函数的增减性】 【典例10】．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．该函数的图象位于第二、四象限 D．点在该函数的图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图象上点的坐标特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，因此选项C错误； 当时，随的增大而减小，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 对选项D，将代入，得，与点的纵坐标相等， ∴ 点在该函数图象上，选项D正确． 跟随训练10-1．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象与两坐标轴相交 C．y随x的增大而减小 D．图象经过点 【答案】A 【分析】根据的符号判断反比例函数的图象位置和增减性，再结合反比例函数图象上点的坐标特征逐一判断选项即可． 【详解】解： 反比例函数为， ， 反比例函数的图象位于第二、四象限，故A符合题意； 反比例函数中，， 图象不可能与坐标轴相交，故B不符合题意； ， 只有在每个象限内，随的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， 图象不经过点，故D不符合题意． 跟随训练10-2．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得，再根据点在图象上求出和，进而比较大小即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 点，都在该图象上， ，， ，， ， ， 又， ， 则． 跟随训练10-3．若反比例函数 的图像经过点，则当时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质判断时随的变化趋势即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∴当时，随的增大而增大． 【题型11 判断反比例函数图象所在象限】 【典例11】．一次函数与反比例函数的图象都不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，分别判断两个函数经过的象限，即可得到两个函数都不经过的象限． 【详解】解：对于一次函数为， ，， 该一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限； 对于反比例函数为， ， 该反比例函数图象经过第二、四象限，不经过第一、三象限； 两个函数的图象都不经过第一象限． 跟随训练11-1．反比例函数经过点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，先根据已知点求出k的值，再结合性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，故B选项不符合题意 ∵， ∴当时，随的增大而增大，故C选项符合题意； ∵， ∴函数图象不经过点，故D选项不符合题意， 跟随训练11-2．已知反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小，若点，和点在该反比例函数图像上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数的增减性判断，图像在一、三象限，得出，，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小， ∴，图像在一、三象限， ∵，和点， ∴，， ∴． 跟随训练11-3．设为反比例函数图象上的两点，若时，，则点在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的比例系数判断图象所在的象限及每个象限内的增减性，再结合已知条件分析点A、B的位置关系，进而确定点B所在象限． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，且， ∴反比例函数的图象分布在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 当点A和点B都在第二象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A和点B都在第四象限时，若，则，这与时，矛盾； 当点A在第二象限，点B在第四象限时，满足，且满足； 综上所述，点B在第四象限， 故答案为：四． 【题型12 已知反比例函数的增减性求参数】 【典例12】．已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 跟随训练12-1．在反比例函数中，都随的增大而减小，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数的性质，先求出的取值范围，再判断各选项即可得到答案． 【详解】∵反比例函数中，随的增大而减小 ∴根据反比例函数性质，可得比例系数 解得 对选项逐一判断： A. ，不符合要求， B. ，不符合要求， C. 时，，原式不是反比例函数，不符合要求， D .，符合要求． 跟随训练12-2．已知反比例函数的两点，，若，则m的取值范围为_________． 【答案】 或 【分析】根据反比例函数的比例系数判断函数增减性，再结合的条件，分两点在不同象限、同一象限两种情况，列不等式组求解，最后合并得到的取值范围. 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 分两种情况讨论: 情况1：点在不同象限 若，则在第一象限，在第三象限，可得不等式组 解得，即该情况解集为； 情况2：点在同一象限 若，结合反比例函数增减性，得，且两点横坐标同号，即， 解得， 解得， 所以. 综上，的取值范围是 或 . 跟随训练12-3．若点，点均在反比例函数的图象上，且，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据已知点横坐标的大小关系和纵坐标的大小关系，判断反比例函数的增减性，进而得到比例系数的取值范围，即可求出的取值范围. 【详解】解： 点，都在反比例函数的图象上，且，. 当时，随的增大而减小. . 解得. 故答案为 【题型13 比较反比例函数值或自变量的大小】 【典例13】．已知点，都在反比例函数的图象上，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将点的横坐标代入反比例函数解析式，求出和的值后直接比较大小，也可结合反比例函数的性质判断． 【详解】解：点，都在反比例函数的图象上， 把代入，得， 把代入，得， ， ． 跟随训练13-1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 把代入得 把代入得 把代入得 ∵ ∴． 跟随训练13-2．若点，在y关于x的函数的图象上，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】分别计算出，，然后比较即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，； ∴． 跟随训练13-3．已知点，都在反比例函数的图象上，则_____________（填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限，再根据两个点横坐标的符号判断纵坐标的正负，进而比较和的大小. 【详解】解：对于任意实数，都有， ， 反比例函数的图象位于第一，三象限， 点的横坐标， 点在第一象限，可得， 点的横坐标， 点在第三象限，可得， ， 即. 【题型14 已知比例系数求特殊图形的面积】 【典例14】．如图，点是反比例函数在第二象限内图象上一点，点是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线与轴交于点，且点恰为的中点，连接，，则的面积是（　　） A．4 B．5 C．6.5 D．8 【答案】A 【分析】令点坐标为，点坐标为，可得点坐标为，由点在轴上，可得，代入的面积公式，即可得出结果． 【详解】解：令点坐标为，点坐标为， ∵点恰为的中点， ∴点坐标为，即， ∴的面积为， ∵点在轴上， ∴， 即， 代入上式面积公式得． 跟随训练14-1．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点， ∴， ∴的面积． 跟随训练14-2．如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 【答案】2 【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出及的值，进而可得出的值． 【详解】解：∵点A，B是双曲线上的点，， ∴， ∴, 解得． 跟随训练14-3．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【分析】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【详解】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 【题型15 根据图形面积求比例系数】 【典例15】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为，四边形的面积是4，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】求出点E的坐标为，点F的坐标为，根据进行计算即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ∵点的坐标为， ∴，， 则点E的坐标为，点F的坐标为， ∴ ， 解得，， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴． 跟随训练15-1．如图，反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4，则k的值是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据k的几何意义和反比例函数图象的性质，可得k的值． 【详解】解：反比例函数的图象过点A，正方形的面积为4， ， ， 由反比例函数图象可知，， ． 跟随训练15-2．如图，在平面直角坐标系中，是轴上的任意一点，轴，分别交的图象和的图象于，两点．若的面积是6，则的值为_____． 【答案】 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又， ． 跟随训练15-3．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，延长到点，使得，连接、，若的面积为3，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据三角形底和高之间的关系，可求，，再根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：轴，，的面积为3， ， 正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， ， ， ， ，解得， 反比例函数的图象过一、三象限， ． 【题型16 求反比例函数解析式】 【典例16】．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象在点和之间即可作出判断． 【详解】解：反比例函数的图象在点和之间， ，即， 观察四个选项，只有选项D符合题意． 跟随训练16-1．若点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标特征确定的坐标，再将坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； 【详解】解：∵ 关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，点 ∴ 的坐标为 ∵ 在反比例函数的图象上 ∴ 将代入解析式得 整理得 ， 解得 ； 跟随训练16-2．反比例函数（k为常数，）的图象与点的位置关系如图所示，已知点的坐标为，则的值可能是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图象判定出参数的取值范围即可． 【详解】解：∵函数图象位于第二象限， ∴； 当时，， 解得， ∴可取，（答案不唯一）． 跟随训练16-3．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，即两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（单位：度）与车速v（单位：）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度f为______度． 【答案】80 【分析】首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：根据题意：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，． 【题型17 一次函数与反比例函数图象综合判断】 【典例17】．函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【分析】分两种情况讨论直线和双曲线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 跟随训练17-1．若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 跟随训练17-2．如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 跟随训练17-3．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【题型18 一次函数与反比例函数的交点问题】 【典例18】．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为4，则k的值为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先根据交点横坐标和一次函数解析式求出交点坐标，再将交点坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：∵ 反比例函数与一次函数交点的横坐标为4， ∴ 当时，， ∴交点坐标为， 将代入得：， 解得 ． 跟随训练18-1．如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意； B、当时，，则此项正确，符合题意； C、当时，，则此项错误，不符合题意； D、当时，，当时，，则此项错误，不符合题意． 跟随训练18-2．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 跟随训练18-3．如图，直线与轴交于点，与一个反比例函数图像交于点，过点作轴于点，若，则该反比例函数的表达式为________． 【答案】 【分析】由坐标与图形可得点B的横坐标为3，进而求得点的坐标为，然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵轴于点， ∴点B的横坐标为3， ∵点在直线上， ∴当时，． ∴点的坐标为． 设反比例函数的表达式为． 将点代入，得，解得． ∴该反比例函数的表达式为． 【题型19 一次函数与反比例函数的实际应用】 【典例19】．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 跟随训练19-1．某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 跟随训练19-2．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 跟随训练19-3．如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 【题型20 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【典例20】．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，根据“对偶关系”的定义，点和点关于轴对称，即横坐标互为相反数，纵坐标相等．逐一分析每个结论即可． 【详解】解：①设点在上，坐标为，则点在上，坐标为， 纵坐标相等， ， 解得：， 存在点和，关于轴对称，具有对偶关系， 故①错误； ②由①可知对偶值为6， 故②正确； ③对偶值为，则点在上，纵坐标为， ， 解得：， 点的坐标为； 点与关于轴对称， 点的坐标为在上， ， 解得：， 故③错误； ④设点在上， 点坐标为，其中， 点与关于轴对称， ，在上， ，即 ，即， 当时，, 当时，， 的取值范围为， 故④正确． 综上，正确结论为，共个． 故选：B． 跟随训练20-1．如图，在平面直角坐标系中，点是直线与双曲线的交点．现将线段及其下方双曲线围成的封闭区域涂黑，则阴影部分（不含边界）内的整点（横、纵坐标都是整数）的个数为________个． 【答案】3 【分析】分别求出直线和双曲线的解析式，在区域内逐个检验整数坐标的点是否满足条件即可． 【详解】解：∵点，是直线与双曲线的交点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得， ∴； ∴图形G是双曲线上方与直线下方之间的部分，且； 所以，当时，，， ∴， ∴点是图形G内的整数点； 同理可得，当时的整数点是； 当时的整数点是； 当时，无整数点； 综上，符合条件的整数点共有3个， 跟随训练20-2．如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过，两点向轴作垂线段，垂足分别为点和，连接，则四边形的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探索，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， ， 设点在双曲线上，点的横坐标为，当时，， ， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线，如图所示： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，， ， ，， ， 依题意， ． 故答案为：． 跟随训练20-3．如图，直线与双曲线交于，两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)点P在线段上，过P作轴，与双曲线交于D，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，根据题意可得，，则，再根据三角形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得， ∴， ∴双曲线的解析式为， 把点A的坐标代入得， ∴， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵轴，即轴，且点D在双曲线上， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 05 过关•检测 1．如果反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知点的坐标求出系数k即可得到结果． 【详解】解：设这个反比例函数的解析式为， ∵函数图象经过点， ∴将代入解析式得， ∴这个反比例函数的解析式为． 2．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 3．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点在轴的正半轴上，则（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴． 4．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B，将直线向下平移m个单位后与该曲线只有一个交点C．下列结论正确的是（    ） A． B．平移后的直线与x轴的交点的坐标是 C．线段的长为3 D．当时，一次函数的值大于反比例函数的值 【答案】A 【分析】表示出平移后的函数解析式，联立平移后的一次函数与反比例函数，根据判别式为零，求解m的值可判断A选项；根据求解出的一次函数解析式，令，求解交点坐标判断B选项；联立一次函数与反比例函数，求解点A、B的坐标，再根据两点间距离公式求解可判断C选项；根据两个函数的图象即可判断D选项． 【详解】解：一次函数向下平移m个单位后的解析式为， A选项，若反比例函数与只有一个交点， ∴，即， 则有，即， 解得或， ∵，则平移后直线需在第一象限与双曲线有一个交点， 且当时，一次函数为与第一象限的双曲线不相交，故舍； ∴取，故A选项正确； B选项，，一次函数为， 令时，，解得， 平移后的直线与x轴的交点的坐标是，故B选项错误； C选项，一次函数与反比例函数的图象相交于点A、B， ∴，即，解得或， 当时，；当时，； ∴点，点， 由两点间距离公式可得，， ∴线段的长为，故C选项错误； D选项，由图象可知，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，故D选项错误 ． 5．根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴时，． 6．已知反比例函数的图象经过点，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，将点代入反比例函数解析式，即可求解的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 7．在平面直角坐标系中，点P的坐标为．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，这样的点叫做点P的“调和点”．若点是反比例函数图象上点P的“调和点”，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据调和点的定义，分两种情况讨论，得到点坐标与点坐标的关系，再利用点在反比例函数图象上的性质求出未知参数，验证条件后得到点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据“调和点”的定义，分两种情况讨论： 情况：当时，的坐标为， 已知， 因此可得，， 解得， 即， ∵点在上， ∴将代入解析式得， 此时，，满足，因此符合题意； 情况：当时，的坐标为， 已知， 因此可得，， 解得， 即， ∵点在上， ∴将代入解析式得， 解得， 此时，，满足，因此符合题意； 综上，点的坐标为或． 8．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数的图像上一点A作轴于点B，点P在x轴上，若，则k的值为______． 【答案】4 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点 ， 点的坐标为 ， ， 的底边为，高为点到直线的距离， 点到直线的距离为， 高， 由题意， ， . 9．如图，点在函数的图象上，过点作轴，交轴于点，将点绕线段的中点逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接．若的面积等于2，则的值为___________． 【答案】8 【分析】设，则，根据题意可得出，则．根据三角形面积公式可求出a的值，进而得出，．再根据点P和点都在的图象上，即可求出k和b的值． 【详解】解：设，则， ∵轴，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点， ∴， ∴． ∵的面积等于2， ∴，即， 解得：（舍去负值）， ∴，． ∵点P和点都在的图象上， ∴，解得：， ∴． 10．已知，是反比例函数图象上的两个点，则_________（用“>”“<”或“=”填空）． 【答案】> 【分析】根据反比例函数中的符号，判断函数图象的分布与同一象限内的增减性，再根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小即可. 【详解】解：已知反比例函数为 根据反比例函数的性质可得， 当时，函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小. 因为点，的横坐标都小于， 所以两点都在第三象限的反比例函数图象上. 因为 ， 所以． 11．某工程队承接一项挖管道任务，计划每天所挖的长度与天数如下表所示： 每天所挖的长度（米） 150 200 300 500 … 所挖的天数（天） 20 15 10 6 … (1)这项工程所挖管道共有多少米？ (2)所挖的天数是怎样随着每天所挖的长度的变化而变化的？ (3)用表示所挖的天数，表示每天所挖的长度，用式子表示与的关系，与成什么比例关系？ 【答案】(1)3000米 (2)所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了列式计算、函数的表示、反比例等知识点，理解表格是解题的关键． （1）直接列式计算即可； （2）分析表格即可解答； （3）先根据题意列出函数关系式，再根据函数关系式判断与成什么比例关系即可． 【详解】（1）解：（米）． 答：这项工程所挖管道共有3000米． （2）解：由表格可知：所挖天数随着每天所挖的长度的增加而减少． （3）解：由题意可得：， 所以与成反比例关系． 12．如图，直线与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)过点作轴的平行线，直线与直线交于点，与函数的图象交于点，与轴交于点． 若点是线段的中点时，则点的坐标是______，的值是______（直接写答案）． 当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，； ② 【分析】（1）待定系数法求出的值即可； （2）①根据平行得到点纵坐标为，直线与轴的交点，得到的纵坐标为，中点坐标可求，再把点坐标代入一次函数解析式求解即可； ②求出时的坐标，求出此时的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入函数得：， ∴； （2）解：①∵轴， ∴， ∵点为的中点，在轴上， ∴， ∵点在函数的图象上， ∴， 即：， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：； ②当时，点为的中点， ∵， ∴， 当时，， 解得：即：， ∵点在直线上， ∴，解得：， 由图可知；当时. 13．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将代入反比例函数，求出点的坐标，再将点的坐标代入正比例函数，即可求出的值； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到；再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，得到，最后代入化简求值． 【详解】（1）解：把代入，则，即的坐标为． 把的坐标代入，得，解得． （2）解：在反比例函数的图象上， ． 在正比例函数的图象上， 两点关于原点对称， ． ． 14．函数的图象如图1所示（正方形网格边长为1）．      x … 1 2 4 … … 4 2 1 … … 0 5 3 2 … (1)根据表格中的数据，在图1中画出函数的图象．根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式是 ； (3)如图2，函数的图象无限接近y轴及直线，则 ，A是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为4，，则 ． 【答案】(1)见详解，上，1； (2) (3)1；3 【分析】（1）观察图象即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得； （3）根据图象填空即可． 【详解】（1）解：画出函数的图象如图，    根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向上平移 1 个单位长度而得到的； （2）解：函数的图象向下平移3 个单位长度后的函数表达式是； （3）解：如图2， 函数的图象无限接近轴及直线， 则， 是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为 4 ，， 则． 15．如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4． (1)分别求出a和b的值； (2)结合图象直接写出的取值范围； (3)在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：作点A关于y轴的对称点，连接并延长，交轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∴此时最大， 点关于轴的对称点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $