专题2 充分条件与必要条件（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分条件与必要条件 【复习目标】 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念 2.能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断与以函数、不等式、数列、平面向量、三角函数、解析几何等知识为载体的条件类型 一、知识清单 1.命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫做命题． （2）分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 2.充分条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的______，是的______。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 （2）充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，________； 结论条件，_______ （3）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 3.集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的 若，即，是的 若，即，，是的____________ 若，即，，是的 若，即，，是的 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 二、考点清单 考点 充分条件与必要条件的判断 方向1：以基本函数为载体的条件判断 【典例1】（2025年浙江省高职单独招生仿真卷）已知函数，其中为常数，那么是图像关于轴对称的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练】 1.“”是“关于的函数单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2.“”是“函数的值恒为正数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.命题“”是命题“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 方向2：以三角函数为载体的条件判断 【典例2】（2026浙江省嘉兴、台州市一模）设，则命题“”是“”的（   ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练】 4.在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.在平面直角坐标系中，“”是“角与角的终边相同”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方向3：以不等式或等式为载体的条件判断 【典例3】（2026届浙江省温州市二模）若，则是的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（2025浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练】 7.，，是的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 8.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.已知条件p：x2+y2＝0，条件q：＝0，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12.“”是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13.下列条件中， “”的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 14.已知，，r：，s：，则r是s的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方向4：以数列为载体的条件判断 【典例5】（2025浙江省职教高考绍兴市一模）“数列是公比为1的等比数列”是“数列为常数列”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【即时训练】 15.若，则“成等差数列”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16.等比数列中，是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 方向5：以几何为载体的条件判断 【典例6】（2025浙江省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）“”是“椭圆的焦距为2”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例7】（2024浙江省温州市单独考试三模）已知球O的截面圆半径为r，球心到该截面圆的距离为d，则“r减小”是“d增大”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练】 17.已知空间中两条直线a和b，则“a与b没有公共点”是“a与b异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18.两条直线不平行是两条直线异面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19.“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20.若，分别是两条直线的倾斜角，则“”是“这两条直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21.已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22.若a，b是平面的两条斜线，则“a，b与所成角相等”是“”的（    ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23.“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方向6：以向量为载体的条件判断 【典例8】（2024浙江省职教高考联合体高三二模）命题“”是命题“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【即时训练】 25.已知，，则“与平行”是“”（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 26.“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27.“两个非零向量共线”是“两个向量方向相同”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28.已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，4）“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. （2024年浙江，8）已知皆为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （2023年浙江，2）“”是“”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 4. （2022年浙江，13）“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. （2021年浙江，7）已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、【考向感知】 “充分条件与必要条件” 是浙江省中职高考（单独考试招生）数学的必考基础知识点，每年稳定考查1道选择题，整体难度较低，属于必拿分题。 命题核心围绕定义判断与集合关系，常与不等式（高频载体）、方程、函数、三角函数等知识结合。 命题形式： 题型：单项选择题（主） 题量：1 题，稳定出现在试卷前几题 分值：3 分（2025年起） 难度：容易题（★），属 “送分题” “充分条件与必要条件” 在浙江中职高考中是稳定、低难度的基础得分点。 备考核心：熟练掌握定义法与集合法两种判断工具。 训练重点：结合不等式、三角函数的基础题型，重点辨析充分不必要与必要不充分。 2026 年趋势：取消考纲后，命题更贴近课标，难度保持稳定，仍以基础判断为主。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 充分条件与必要条件 【复习目标】 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的概念 2.能通过“定义法”、“集合法”等多种方法准确判断与以函数、不等式、数列、平面向量、三角函数、解析几何等知识为载体的条件类型 一、知识清单 1.命题的概念 （1）定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 真假 的 陈述句 叫做命题． （2）分类：判断为 真 的语句是真命题，判断为 假 的语句是假命题． （3）结构形式：“若，则”“如果，那么”等形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论． 2.充分条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件的定义 一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出。 由可推出，记作，并且说是的___充分条件___，是的___必要条件___。 如果“若，则”为假命题，是指由条件不能推出结论，记作，则不是的充分条件，不是的必要条件。 （2）充分性和必要性的关系 在“若，则”中， 若：，则是的充分条件，是的必要条件 若：，则是的充分条件，是的必要条件 也就是说：在“若，则”中， 条件结论，____充分性成立____； 结论条件，____必要性成立___ （3）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 充分不必要 条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分 条件 pq且q⇒p p是q的 充要 条件 p⇔q p是q的 既不充分又不必要 条件 pq且qp 3.集合中的包含关系在判断条件关系中的应用 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的______充分不必要条件______ 若，即，，是的____必要不充分条件_______ 若，即，，是的______充要条件_________ 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：判断条件是否能推出结论，再判断结论是否能推出条件，双向判断后即可． （2）集合法：对于条件和结论对应的集合关系，利用“小充分大必要”即可判断． 二、考点清单 考点 充分条件与必要条件的判断 方向1：以基本函数为载体的条件判断 【典例1】（2025年浙江省高职单独招生仿真卷）已知函数，其中为常数，那么是图像关于轴对称的（     ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充要条件的判断与证明、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的性质结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，函数，定义域为，， 函数为偶函数，图像关于轴对称，故充分性成立； 图像关于轴对称时，此时函数为偶函数， 此时，故必要性成立， 所以是图像关于轴对称的充要条件， 故选：. 【即时训练】 1.“”是“关于的函数单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断、充要条件的判断与证明 【分析】利用一次函数的单调性，再结合充要条件的定义判定即可. 【详解】若，则函数单调递减，满足充分性； 若函数单调递减，则，满足必要性， 所以“”是“关于的函数单调递减”的充要条件， 故选：D. 2.“”是“函数的值恒为正数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】二次函数的图象分析与判断、充要条件的判断与证明 【分析】根据二次函数的性质与充分必要条件的定义可判断. 【详解】若函数的值恒为正数，则，解得， 故“”是“函数的值恒为正数”的充要条件， 故选：. 3.命题“”是命题“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、比较指数幂的大小、探求命题为真的充要条件 【分析】根据指数函数的单调性和充要条件的概念求解. 【详解】对于函数，在定义域上是单调递增， 故，当时，可以得到，即“”“”. 而当时，可以得到，即“”“”. 综上，“”是命题“”的充要条件. 故选：C. 方向2：以三角函数为载体的条件判断 【典例2】（2026浙江省嘉兴、台州市一模）设，则命题“”是“”的（   ） A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的判断与证明、求特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据题意，结合充分性、必要性的概念，及特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为，若，则一定成立，故充分性成立； 若，则也一定成立，故必要性成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【即时训练】 4.在中，是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、充要条件的判断与证明 【分析】由充要条件的定义及正弦定理即可得解. 【详解】若成立,由正弦定理 所以,由大边对大角可知. 若,则. 因为. 所以. 所以在中,时的充要条件. 故选:. 5.在平面直角坐标系中，“”是“角与角的终边相同”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】找出终边相同的角、充要条件的判断与证明 【分析】根据终边相同角的定义，结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则角与角的终边相同，充分性成立 反之，若角与角的终边相同，则有，必要性成立， 所以“”是“角与角的终边相同”的充要条件. 故选：C. 6.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】解正弦方程或不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分不必要条件的定义及正弦函数的图象和性质求解即可. 【详解】若，则，故“”是“”的充分条件； 若，则或，故“”是“”的不必要条件； 综上，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 方向3：以不等式或等式为载体的条件判断 【典例3】（2026届浙江省温州市二模）若，则是的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的含绝对值的不等式 【分析】根据绝对值不等式以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】（解法一：直接法）. 所以无法推出，可以推出. 因此是的必要不充分条件. 故选：B. （解法二：集合法）因为，解得，记集合，集合，显然,由集合法可知是的必要不充分条件 故选：B. 【典例4】（2025浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的判断与证明、对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的定义及充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，； 当时，， 所以“”是“”的充要条件， 故选：. 【即时训练】 7.，，是的（   ） A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充要件的概念可判断结果. 【详解】若，则有，即， 若，则或，即， 所以是的充分不必要条件. 故选：C 8.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】根据充分必要条件的判定判断即可. 【详解】因为当时，，故充分性不成立. 当时，，故必要性成立. 综上可知：“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 9.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件求解. 【详解】若，则且，可以推出； 若，则，不能推出. 所以是充分不必要条件. 故选：A. 10.已知条件p：x2+y2＝0，条件q：＝0，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义即可解得. 【详解】由题，条件，即可推出，充分性成立； 条件，则或或，不一定有，必要性不成立， 故条件是的充分不必要条件， 故选：A. 11.“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的判定判断即可. 【详解】且，反之则不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 12.“”是 “”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据，，并结合充要条件的定义可判断. 【详解】取，则不成立，即； 将两边平方，得，即； 所以“”是 “”的必要不充分条件. 故选：B 13.下列条件中， “”的一个必要不充分条件是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、必要条件的判定及性质 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】解：. 对A，因为不一定得到， 又因为. 所以是的必要不充分条件. 所以A正确. 对B，因为， 所以是的充要条件. 所以B错误. 对C，因为， 不一定得到. 所以是的充分不必要条件. 所以C错误. 对D，不一定得到， 不一定得到. 所以是既不充分也不必要条件. 所以D错误. 故选：A 14.已知，，r：，s：，则r是s的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、充要条件的判断与证明 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为，， 当，所以，故充分性成立； 当时，，故必要性成立， 所以r是s的充要条件， 故选：. 方向4：以数列为载体的条件判断 【典例5】（2025浙江省职教高考绍兴市一模）“数列是公比为1的等比数列”是“数列为常数列”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、等比数列的定义及判定 【分析】根据等比数列的定义，结合充分不必要条件，即可判断. 【详解】若数列是公比为1的等比数列，则数列为常数列，是充分条件； 若数列为常数列，则数列不一定是等比数列，如，不是必要条件. 故选：A. 【即时训练】 15.若，则“成等差数列”是“成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】等比数列的定义及判定、等差数列的定义及判定、判断命题的充分不必要条件 【分析】由等差数列、等比数列的定义判断充分性、必要性即可. 【详解】充分性：，若成等差数列， 即，而成等比数列，故充分性成立， 必要性：，若成等比数列， 即，所以成等差数列， 而不成等差数列，故必要性不成立， 所以若，则“成等差数列”是“成等比数列”的充分不必要条件. 故选：A. 16.等比数列中，是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】等比中项的应用、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，结合等比中项的性质，即充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】因为等比数列中，若，则，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立； 故是的必要非充分条件. 故选：A. 方向5：以几何为载体的条件判断 【典例6】（2025浙江省职教高考研究联合体高三第五次联合考试）“”是“椭圆的焦距为2”的（   ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据椭圆方程求a、b、c 【分析】根据充分条件、必要条件以及椭圆的焦距求解即可. 【详解】椭圆的焦距为或，解得或. “”可以推出“椭圆的焦距为2”. “椭圆的焦距为2”，则或，推不出. 所以“”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例7】（2024浙江省温州市单独考试三模）已知球O的截面圆半径为r，球心到该截面圆的距离为d，则“r减小”是“d增大”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的判断与证明、球的截面的性质及计算 【分析】根据球的性质与充要条件的定义即可求解. 【详解】已知球O的截面圆半径为，球心到该截面圆的距离为，设球的半径为，则， ∴当球的半径固定，“减小”时，则“增大”，反之，“增大”时，“减小”，则“减小”是“增大”的充要条件. 故选：C. 【即时训练】 17.已知空间中两条直线a和b，则“a与b没有公共点”是“a与b异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据异面直线的概念，结合必要不充分条件的判断，即可求解. 【详解】若直线“与”没有公共点，则两条直线可能是平行也可能是异面， 所以由“a与b没有公共点”不能推出“a与b异面”， 所以充分性不成立； 若“a与b异面”，则两条直线没有公共点， 所以必要性成立， 所以“a与b没有公共点”是“a与b异面”的必要不充分条件. 故选：B． 18.两条直线不平行是两条直线异面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】异面直线的概念及辨析、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】根据条件的充分性和必要性分别进行证明. 【详解】两条直线不平行，但可相交或者异面，故充分性不成立； 两条直线异面，则两条直线一定不平行，必要性成立. 故选：B. 19.“”是“直线与直线相互垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】已知直线垂直求参数、由斜率判断两条直线垂直、判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】当时，直线为，斜率为， 直线为，斜率为， 此时，，所以两直线相互垂直，即充分性成立； 当直线与直线相互垂直时， 有，即，显然， 则不一定成立，即必要性不成立； 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 20.若，分别是两条直线的倾斜角，则“”是“这两条直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件的判定及性质 【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】，表示两条直线的斜率之积是，所以两条直线垂直，即充分性成立； 假设，，这两条直线垂直，但是倾斜角为的直线斜率不存在，所以不成立，即必要性不成立． 故选：A． 21.已知直线分别在两个不同的平面内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】平面的基本性质及辨析、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据平面的性质及充分条件与必要条件判断. 【详解】若直线和直线相交，则直线有公共点， 又直线分别在两个不同的平面内，可知平面公共点， 所以平面和平面相交，故充分性成立； 若平面和平面相交，则直线和直线可能相交，还可能平行或异面，故必要性不成立. 故选：B. 22.若a，b是平面的两条斜线，则“a，b与所成角相等”是“”的（    ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】解：因为a，b与所成角相等时，可以相交，平行或异面. 而是，a，b与所成角相等. 所以“a，b与所成角相等”是“”的必要不充分条件. 故选：B 23.“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、判断命题的充分不必要条件 【分析】由双曲线的几何性质结合充分必要条件判断即可. 【详解】“直线与双曲线有两个公共点”，可以推出“直线与双曲线相交”，故充分性成立； “直线与双曲线相交”无法推出“直线与双曲线有两个公共点”， 如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个公共点，故必要性不成立； 故“直线与双曲线有两个公共点”是“直线与双曲线相交”的充分不必要条件. 故选：A. 24.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】讨论直线与抛物线的位置关系、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】根据直线与抛物线的位置关系可得答案. 【详解】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”， “直线与抛物线只有一个公共点”时，直线可能与对称轴平行，此时不相切， 故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 方向6：以向量为载体的条件判断 【典例8】（2024浙江省职教高考联合体高三二模）命题“”是命题“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、相反向量、垂直关系的向量表示 【分析】“若，则”与“若，则”都是假命题，根据充要条件的定义可判断. 【详解】若，则与是一对相反向量，不一定有； 故“”不是“”的充分条件. 当非零向量与垂直时，有，但不成立， 故“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【即时训练】 25.已知，，则“与平行”是“”（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、由坐标判断向量是否共线、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据向量的平行的坐标表示结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【详解】已知，， 若与平行，则有，解得， 所以“与平行”不能推出 “”， 若，则，，则有成立， 所以与平行， 即“”能推出“与平行”， 所以“与平行”是“” 的必要非充分条件. 故选：B. 26.“”是“四边形ABCD为平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】相等向量、判断命题的必要不充分条件 【分析】由题目中的命题验证充分性，必要性即可. 【详解】由“”，若四点共线，则推不出“四边形ABCD为平行四边形”， 故充分性不成立. “四边形ABCD为平行四边形”，则且，所以“”. 故必要性成立. 所以“”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要不充分条件. 故选：. 27.“两个非零向量共线”是“两个向量方向相同”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】根据两个非零向量共线的定义判断即可. 【详解】两个非零向量共线包含两个向量方向相同和方向相反两种情况. 即“两个非零向量共线”是“两个向量方向相同”的必要不充分条件，故选项B正确. 故选：B. 28.已知两个单位向量与的夹角为，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、用定义求向量的内积、必要条件的判定及性质、充分条件的判定及性质 【分析】根据及与都是单位向量求出向量与的夹角为，求解即可. 【详解】因为与都是单位向量， 所以，， 所以， 即， 等价于， 因为，等价于， 故“”是“”的充分必要条件，因此选项A正确. 故选：A. 一、【真题溯源】 1. （2025年浙江，4）“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为当时，一定有，即，则“”是“”的充分条件； 但当时，不一定有，即，则“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2. （2024年浙江，8）已知皆为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，可得， 即“”能推出“”， 若有，则或，则不一定为0， 所以“”不能推出“”. 所以“”是“” 的充分不必要条件. 故选：A. 3. （2023年浙江，2）“”是“”的（ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件的定义即可求解. 【详解】设集合，， 显然，集合A是集合B的真子集， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 4. （2022年浙江，13）“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判定. 【详解】当时，得到或，故“” “”. 而“”时，设定，无法得到“”，故“” “”. 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. （2021年浙江，7）已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】因为“若，则”与“若，则”都为真命题，结合充要条件的定义可判断. 【详解】若，则有，所以，即. 所以“”是“”的充分条件； 若，则，即. 所以“”是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 二、【考向感知】 “充分条件与必要条件” 是浙江省中职高考（单独考试招生）数学的必考基础知识点，每年稳定考查1道选择题，整体难度较低，属于必拿分题。 命题核心围绕定义判断与集合关系，常与不等式（高频载体）、方程、函数、三角函数等知识结合。 命题形式： 题型：单项选择题（主） 题量：1 题，稳定出现在试卷前几题 分值：3 分（2025年起） 难度：容易题（★），属 “送分题” “充分条件与必要条件” 在浙江中职高考中是稳定、低难度的基础得分点。 备考核心：熟练掌握定义法与集合法两种判断工具。 训练重点：结合不等式、三角函数的基础题型，重点辨析充分不必要与必要不充分。 2026 年趋势：取消考纲后，命题更贴近课标，难度保持稳定，仍以基础判断为主。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $