专题10 指数函数与对数函数（讲义）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数与对数函数 【复习目标】 1．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 2．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． 3.能利用指数函数、对数函数的性质解决相关的综合问题. 【考点1：指、对数的运算】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝ (a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝ (a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)． 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以 为底 的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的 ，N叫做 ． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝ ； ②logaaN＝ ； ③logbN＝ ； ④ ； ⑤logab＝ ，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ ； ④loga＝ . 【即时训练】 1．( ) A．1 B． C． D．0 2．计算：（    ） A． B．8 C．6 D． 3．已知，则的值等于（    ） A． B． C．2 D． 4．计算 ；． 5．计算下列各式： (1)； (2)． 6．计算：． 7．计算： 【考点2：指数函数】 1. 指数函数定义 一般地，函数 叫做指数函数，函数的定义域是 ． 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （1） 值域 （2） 性质 （3） （4） （5） （6） （7） 【即时训练】 8．当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．指数函数，，函数最大值比最小值大2，则a的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．3 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知指数函数（且）的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)函数在上的值域． 13．已知函数． (1)求方程的根； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【考点3：对数函数】 1. 对数函数的定义 一般地，我们把函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ． 2．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域： (2)值域： 　　　 (3) (4) (5) (6) (7) 【即时训练】 14．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数（且）在上的值域为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 16．函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 17．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 18．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 19．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 . 20．已知函数，. (1)求的值，并写出函数的定义域； (2)讨论函数的单调性. 1.（2024年四川省对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 2.（2024年四川省对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 3. （2024年四川省对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. （2023年四川省对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 5. （2023年四川省对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 6. （2022年四川省职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 8.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数与对数函数 【复习目标】 1．指数函数 (1)了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 2．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． (2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． (3)知道对数函数是一类重要的函数模型． 3.能利用指数函数、对数函数的性质解决相关的综合问题. 【考点1：指、对数的运算】 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④ ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 【即时训练】 1．( ) A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质可得结果. 【详解】. 故选：A 2．计算：（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂的运算，即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．已知，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先进行指数式与对数式的转化，再解方程即可. 【详解】由题意得，，则，且， 即，且，解得. 故选：C. 4．计算______． 【答案】2026 【分析】由根式及指数幂的运算计算即可. 【详解】. 故答案为：2026. 5．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数的运算性质即可得解； （2）由指数幂的运算和根式的运算即可得解. 【详解】（1）原式 ． （2）原式= ． 6．计算：． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】原式. 7．计算： 【答案】 【分析】由指数幂和对数的运算即可得解. 【详解】原式. 【考点2：指数函数】 1. 指数函数定义 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R． 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【即时训练】 8．当时，在同一坐标系下，函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数和一次函数的图像即可得解. 【详解】函数在定义域内单调递增，AC选项排除， 函数的一次项系数为正， 函数在定义域内单调递增，故B正确. 故选：B. 9．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及值域求解即可. 【详解】因为，所以，且单调递增，所以， 即，即所求函数的值域为. 故选：C. 10．指数函数，，函数最大值比最小值大2，则a的值为（  ） A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】分类讨论和的情况，结合指数函数的单调性即可得解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增， 所以最大值为，最小值为，则，解得或(舍去)，所以； 当时，指数函数在上单调递减， 所以最大值为，最小值为，则，，无解； 所以. 故选：B. 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可得出，从而可得的大小关系. 【详解】因为在定义域上为增函数，所以，即， 因为在定义域上为减函数，所以，即， 因为在为增函数，所以，即， 所以， 故选：B. 12．已知指数函数（且）的图像过点． (1)求函数的解析式； (2)函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法将点代入指数函数的解析式求解即可； （2）由指数函数的单调性求函数的值域即可. 【详解】（1）由题意，得， 因为且，即， 所以． （2）因为在上单调递减， 且， 所以函数值域为． 13．已知函数． (1)求方程的根； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用换元法，结合指数幂的运算，即可求解； （2）根据题意， 可将不等式转化为对于任意恒成立，利用基本不等式求得的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，令，则，即， 解得，即，所以， 即方程的根是； （2）因为，所以， 所以， 又对于任意，不等式恒成立， 即，所以对于任意恒成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为4，故， 即实数的取值范围是. 【考点3：对数函数】 1. 对数函数的定义 一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R　　　　 (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【即时训练】 14．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零列式即可求解. 【详解】要使函数有意义，则需使， 解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 15．已知函数（且）在上的值域为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性结合给定值域，分类讨论即可得解. 【详解】若，则在上单调递减， 则，不符合题意； 若，则在上单调递增， 则， 又因为的值域为， 所以，解得：. 故选：A. 16．函数 的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特殊取值法和绝对值的范围排除选项易得答案. 【详解】因为，故排除D； 当时，，故排除BC； 结合对数函数的性质可知A正确． 故选：A． 17．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知，因为在上为增函数， 由，得，即， 已知，因为在上为减函数， 由，得，即， 已知，因为在上为减函数， 由，得，即， 所以， 故选：A. 18．下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知在上为增函数， 因为，所以，故A错误， 已知在上为减函数， 因为，所以，故B正确， 已知在上为减函数， 因为，所以，故C错误， 已知在上为增函数， 因为，所以，故D错误， 故选：B. 19．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性求出在区间上的最值结合题意即可得解. 【详解】因为，则函数在上为增函数， 在区间上，当时，函数最小值为； 当时，函数最大值为， 由题意可知，，解得， 故答案为：. 20．已知函数，. (1)求的值，并写出函数的定义域； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)， (2)在上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）将代入中可求的值，再由0和负数无对数求定义域即可. （2）根据导数求单调性即可. 【详解】（1）因为函数， 由，可得 解得， 所以， 要使有意义，则， 所以函数的定义域为. （2）由（1）可知， 则， 令，即，， 且函数的定义域为， 所以时，，函数单调递增. ，，函数单调递减. 所以在上单调递增，在上单调递减. 1.（2024年四川省对口招生） （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 25 【答案】C 【分析】利用完全平方公式和对数的基本运算性质求解. 【解析】 . 故选：C 2.（2024年四川省对口招生） 一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【解析】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 3. （2024年四川省对口招生）已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可求解. 【解析】由题意得，因为幂函数在上是增函数，又指数函数在定义域上是增函数. 所以，又，所以. 故选：C. 4. （2023年四川省对口招生）已知函数. （1）若，求的最大值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的最大值为4（2）实数的取值范围为. 【分析】本题主要考查对数的运算法则，复合函数的值域问题及函数恒成立问题, 综合考查了学生的数形结合思想，转化与化归思想，数学运算等核心素养，是综合题. 【解析】（1）∵， ∴ . ∵，∴，∴，∴， ∴， ∴的最大值为4. （2）∵对任意，都有恒成立， ∴， ∴， 解①：，∴， 解②：∵=，=，， ∴， 令，∴，∴，∴，∴.∵， ∴，∴，∴，∴，∴，∴， ∴， ∴实数的取值范围为. 5. （2023年四川省对口招生）设，，其中，是正实数，则（ ） A.2 B.4 C.10 D.25 【答案】A 【分析】本题考查指对互化及对数的运算法则，等公式及法则，是基础题. 【解析】∵，∴，∵，∴，∴， ∴选A. 6. （2022年四川省职教师资和高职班对口考试）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】通过逆用完全平方公式及运用及等性质即可化简求值. 【解析】 ∴选B. 7.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 = . 【答案】2 【分析】本题考查对数的运算，log2 6 -log2 3 + lg5 + lg2 =1+1=2。 8.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）函数的单调递减区间是（ ） A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,+∞) 【答案】A 【分析】本题主要考查复合函数的单调性，内函数y=x-1为增函数，外函数对数函数底数为0.5＜1单调递减，复合后原函数单调递减，则有x-1＞0，x＞1；则答案为A。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $