专题9 二次函数（讲义）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 二次函数 【复习目标】 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 【考点：二次函数】 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 【即时训练】 1．设二次函数满足顶点坐标为，其图像过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点坐标设二次函数方程，再用待定系数法求解. 【详解】∵二次函数满足顶点坐标为， ∴可设二次函数， ∵其图像过点， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．已知函数，则下列描述正确的是（    ） A．在内是减函数 B．在内是减函数 C．在内是减函数 D．在内是增函数 【答案】A 【分析】由二次函数的图象和性质分析判断即可. 【详解】函数， 该函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增， 所以在内是减函数. 故选：A. 3．函数在区间上的最大值和最小值的和等于（    ） A．4 B．3 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性求出最大值与最小值求解即可. 【详解】函数，开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又, 所以函数在区间中处取最大值，在处最小值， 最大值为，最小值为. 因此. 故选：A. 4．二次函数的顶点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的顶点式即可得到结果. 【详解】因为二次函数， 则其顶点坐标为. 故选：B 5．已知二次函数在区间上是增函数，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】二次函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 故选：. 6．已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D．不等式的解集是 【答案】A 【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次方程的关系，即可求解. 【详解】对于A，由图像知抛物线开口向上，所以， 由图像可知的解为或，根据韦达定理可知，即，所以，故选项错误； 对于B，由韦达定理，即，所以，故选项正确； 对于C，由图像可知，对称轴，则，故选项正确； 对于D，因为，， 不等式 可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是，故选项正确， 故选：. 7．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为，该公司销售此商品的最大利润为（    ） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】， 函数对称轴为，图像开口向下， 所以函数在单调递增，在单调递减， 因为， 所以当时，函数有最大值， 此时，， 故选：D 8．若不等式的解集为，则函数的图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】由不等式的解集为，可知函数图象开口向下，同时，和为函数图象与x轴交点，即可判断. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 同时和为方程的两个根， 所以函数图象为开口向下的抛物线，且与轴的交点为、. 故选项图象错误，选项图象正确. 故选：B. 9．函数的图像关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解充要条件定义，根据二次函数对称轴公式列式求解即可. 【详解】函数的对称轴为：， 由可得：， 则是函数的图像关于直线对称的必要条件. 若，则，对称轴为：， 则是函数的图像关于直线对称的充分条件. 故选：A. 10．已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象，根据二次函数性质和图像可得结果. 【详解】    由函数，可知在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，；当时，， 所以函数的部分图像如图所示， 要使函数在上的值域为，则实数m的取值范围是. 故选：B 11．已知函数的最小值为1，且函数在区间上为增函数，则__________ . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质求解． 【详解】∵函数的图象开口向上，对称轴为， ∴当时，取最小值，解得. ∵函数在区间上为增函数， ∴，解得， 综上，. 故答案为：4. 12．已知函数的定义域为，函数的值域为，则常数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】    函数的对称轴为，且， ， 因为函数的定义域为，函数的值域为， 结合图像可知， 则常数m的取值范围是， 故答案为： 13．已知函数的单调减区间为，单调增区间为，则实数a的值为______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象和性质结合题中条件知对称轴为，再求解即可. 【详解】由二次函数可知，该函数图像开口向上， 在对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增， 又该函数的单调减区间为，单调增区间为， 即对称轴，解得. 所以实数a的值为. 故答案为：. 14．若是方程的两个实根，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系以及对数的运算性质即可求出． 【详解】因为是方程的两个实根， 所以， ． 故答案为：2. 15．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为0 (3)或 【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论； （2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值． （3）分；；三种情况，根据二次函数的性质和列出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）∵， ∴顶点坐标为． （2）∵顶点坐标为，∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大，∴当时，． ∵当时，随着的增大而减小，∴当时，． ∴当时，函数的最大值为4，最小值为0． （3）当时，对进行分类讨论． ①当时，即，随着的增大而增大． 当时，； 当时，． ∴． ∴，解得（不合题意，舍去）． ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴． 当时，在时，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． 当时，在时，， ∴． ∴，解得，（不合题意舍去）． ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， ∴，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，或． 16．二次函数的顶点坐标为，且图像过点. (1)求二次函数的解析式； (2)若二次函数在区间上是减函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数的顶点式方程，将点的坐标代入求解即可； （2）根据二次函数的单调性，分析求解即可. 【详解】（1）因为二次函数的顶点坐标为， 所以设二次函数为， 又二次函数过点，代入二次函数解析式， 解得， 所以. （2）由（1）知二次函数的图像开口向上，对称轴为， 因为函数在区间上是减函数，所以， 因此的取值范围为. 17．已知二次函数的对称轴为，且图像在轴上的截距为，被轴截得的线段长为4，求： (1)的解析式； (2)的值域. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意得出与轴的交点坐标，设出解析式，将点代入解析式中即可得解. （）将二次函数解析式整理成顶点式即可得解. 【详解】（1）二次函数的对称轴为，被轴截得的线段长为4， 过点， 设的解析式为， 图像在轴上的截距为， 过点， ， ， 即. （2）， 的值域为. 18．已知二次函数（是常数，）与轴有两个不同的交点、，点、点关于直线对称． (1)求的值； (2)若函数，当函数图像在图像上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴列方程即可求出的值. （2）由图像在图像上方可得恒成立，再由二次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）已知（是常数，）， 且对称轴为直线，所以， 解得. （2）由（1）可知，，， ，上恒成立，即， 所以有， 整理得到：， 令，则只需，， 则的对称轴为直线， 且，图像开口向上，时，为增函数， 所以，从而得到. 19．已知二次函数满足①，②关于x的方程的两个根是； (1)求的解析式； (2)设，且在区间是单调函数，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设，由，可得，即可求的解析式； （2）求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于m的不等式，求解即可. 【详解】（1）∵关于x的方程的两个根是， ∴设函数的解析式为， 又∵，代入得到，∴， ∴函数的解析式为. （2）∵， 对称轴为， ∵在区间是单调函数， ∴或， 解得或， 故实数m的取值范围为或. 20．设是定义在R上的函数，且对任意实数，都有． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最小值为，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由换元法求函数解析式即可； （2）由二次函数在区间上的最值求参即可. 【详解】（1）令，得， 化简得，即，． （2）由（1）知， 因为当时，，所以，所以， 故实数m的取值范围为． 1.（2025年四川省对口招生）一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【解析】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为.故选：A. 2.（2024年四川省对口招生） 设，函数. （1）设函数的图象与轴相交于两点，且，求的值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【分析】（）设出点的坐标，利用韦达定理及两点间的距离公式列出方程即可得解. （）将函数转化为以为自变量的函数，分类讨论的单调性，列出不等式即可得解. 【解析】（）由题意可设，，则与是方程的两根， 所以，，因为， 所以，整理得，解得或 （2）， 令，根据题意可知，当，， 当，即时，为增函数， 所以，解得， 当，即时，为减函数，所以，解得，又因为，所以此时无解， 当，即时，，此时不满足题意， 综上所述，对任意的恒成立，实数的取值范围为. 3.（2023年四川省对口招生） 已知函数 (1)若求的最大值; (2)若对任意x∈R,都有f(x)>0恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）4. （2）. 【分析】（）表示出，利用函数的单调性即可求解； （）利用二次函数恒成立的相关知识可求解. 【解析】(1)∵， ， ∵函数在上为减函数，函数为增函数， ∴函数在上为减函数， ∴； (2)∵对任意，恒成立，则须满足， ∴当时，解得， ∴当时，， ， ∴， ∴， ∴，且， 综上所述. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $公共基础课一轮讲练测 今A山职教2》 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项 训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化1 专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进！ 阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到！ {能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9二次函数 01 考情解码·命题预警 【复习目标】 1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 2.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题， 02 体系构建·思维可视 思维导图 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 9AI职教》》 二次函数的定义 一般式 二次函数的解析式 顶点式 两点式 二次函数 单调性 二次函数的图像与性质 对称性 最值 二次函数的综合应用 03 核心突破·靶向攻坚 【考点：二次函数】 1.二次函数的定义 形如x)= 的函数叫做二次函数. 2.二次函数的三种常见解析式 1)一般式：fx)= (2)顶点式：x)= 为顶点坐标： (3)两根式：x)=」 其中 分别是x)=0的两实根。 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a时0) a>0 a<0 y 图象 定义域 R R 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 9A职教》 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 递增 区间 递减 区间 最值 【即时训练】 1.设二次函数满足顶点坐标为-2，-5)，其图像过点(0,3)，则函数的解析式为() A.y=x2-4x+3 B.y=x2+4x+3 C.y=2x2+8x+3 D.y=2x2-8x+3 2.已知函数f(x)=x2-4x+1,则下列描述正确的是() A.f(x)在(-0,2]内是减函数 B.∫(x在(-0,4)内是减函数 C.fx)在[2，+o)内是减函数 D.f(x在(-0，+o)内是增函数 3.函数f(x)=4x-x2在区间0,3]上的最大值M和最小值m的和等于() A.4 B.3 C.6 D.5 4.二次函数y=2(x+2)2-1的顶点是() A.（2,-1 B.（-2,-1 C.（2, D.（-2,1 5.已知二次函数f(x)=x2+(a-1)x+2在区间(2，+∞)上是增函数，则a的取值范围为() 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 A山职教》 A.a2-3 B.a≤-3 C.a23 D.a≤3 6.己知函数f(x=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是() A.b>0 B.e>0 c店*小 D.不等式ar+b1cex+a<0的解集是（行3 7.某公司销售某商品的利润L(万元)是销售量x(件)的函数，且函数解析式为 L=-x2+200x-100(0<x≤90)，该公司销售此商品的最大利润为() A.990万元 B.9900万元 C.980万元 D.9800万元 8.若不等式f(x)=axr2-x-c>0的解集为-2，，则函数y=f(x的图象为() y A B -2 D 9.函数f(x)=x2+mx+1的图像关于直线x=1对称的充要条件是() A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 10.己知函数f(x)=x2-4x在[0，m]上的值域为-4,0，则实数m的取值范围是() 亨原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 今A山职教》 A.(0,2] B.[2,4] c.(0,4] D.(-0,2] 11.已知函数y=x2+bx+5的最小值为1，且函数在区间0，+∞)上为增函数，则b= 12.已知函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m],函数的值域为 空小 则常数m的取值 范围是 13.已知函数f(x)=x2-ax-2的单调减区间为-0,3)，单调增区间为3，+0)，则实数a 的值为· 14.若a,b是方程x2-30x+100=0的两个实根，则1g0+1gb=· 15.已知二次函数y=-x2+6x-5. ()求二次函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (3)当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m,最小值为n,且m-n=3,求t的值. 16.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2，-3)，且图像过点(0,1)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 gAI职教∑》》 ()求二次函数的解析式： (2)若二次函数在区间-5，m]上是减函数，求m的取值范围 17.已知二次函数∫(x)的对称轴为x=1,且图像在y轴上的截距为-3，被x轴截得的线段 长为4，求： (1)f(x)的解析式： (2)f(x)的值域 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 公共基础课一轮讲练测 gAI职教∑》》 18.己知二次函数f(x=x2+(m+4)x-2(m+6)(m是常数，m≠-8)与x轴有两个不同 的交点A、B,点A、点B关于直线x=1对称. (1)求m的值； (2)若函数g(x=mx+n-3,当x∈[-1,3]函数f(x)图像在gx)图像上方，求n的取值范围. 19.已知二次函数f(x)满足①f(0)=-6,②关于x的方程f(x)=0的两个根是x=-1,x2=3 (1)求∫(x)的解析式： (2)设g(x)=f(x)-mx,且g(x)在区间[-2,2]是单调函数，求实数m的取值范围 20.设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x,都有f1-x)=x2-3x+3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)=f(x)-5x+1在[m,m+]上的最小值为-2，求实数m的取值范围. 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 A山职教》 04 真题溯源·考向感知 1.(2025年四川省对口招生)一个绳子长度为1，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损 耗)，当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为() A、1 21 C、l 21 B. D π+4 π+4 π+2 π+2 2.(2024年四川省对口招生)设aeR,函数fx)=3x2-ax+3a-5 (1D设函数f(y的图象与x轴相交于4，B两点，且4B=25 求a的值： (2)若f(x)<0对任意的a∈-l,1恒成立，求实数x的取值范围 3.（2023年四川省对口招生) (m+13 已知函数/x=x21og,%+-2xog m+1 m3 ①若】≤m≤1，求)的最大值： (2)若对任意x∈R,都有fx)>0恒成立，求实数m的取值范围. 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课一轮讲练测 gAI职数∑》 醇原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究：