专题8 函数的奇偶性及周期性（练习）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 函数的奇偶性及周期性 【考点1：函数的奇偶性】 1．已知是奇函数，若，则（    ） A． B．6 C． D．l 2．以下函数图象是奇函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．0 4．若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________. 7．设函数，，. （1）若，求； （2）是否存在正实数，使得是偶函数. 【考点2：函数性质的综合运用】 8．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则下列说法错误的是（    ） A．在上单调递减 B． C．不等式的解集为 D．的图象与轴只有2个交点 9．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________. 10．设，函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的图像关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【考点1：函数的奇偶性】 11．已知是定义在上的奇函数，，则下列各点中一定在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 12．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D．4 13．设是定义城为实数集R的奇函数，且，若，则__________． 14．已知偶函数满足，且，则的值为________． 15．已知函数的图像经过点. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性. 【考点2：函数性质的综合运用】 16．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 18．设函数是定义在上的奇函数，满足，且，则______． 19．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是________． 20．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，． (1)求证：函数恒有成立； (2)求当时，的解析式； (3)计算的值． 1. （2025年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 2. （2024年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 3.（2024年四川省对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 4. （2023年四川省对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 6.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是 则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题8 函数的奇偶性及周期性 【考点1：函数的奇偶性】 1．已知是奇函数，若，则（    ） A． B．6 C． D．l 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质可求解. 【详解】因为是奇函数，且， 所以. 故选：A. 2．以下函数图象是奇函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】依据奇函数的性质判断. 【详解】奇函数的图象关于原点对称，对比各选项可知，ACD不符合，B符合， 故选：B. 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为当时，，则， 因为函数在上的奇函数，所以. 故选：B. 4．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由周期函数转换然后代入表达式求解即可. 【详解】由题意当时，，此时是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：C. 5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合函数的奇偶性求值即得. 【详解】定义在上的奇函数，由，得， 则函数是以4为周期的周期函数，又当时，， 所以. 故选：D 6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为当时，，所以， 又是定义在上的奇函数，故，， 所以. 故答案为：. 7．设函数，，. （1）若，求； （2）是否存在正实数，使得是偶函数. 【答案】（1）；（2）存在. 【分析】（1）由函数解析式求、，结合已知可得，即可求； （2）假设存在正实数使是偶函数，即，整理求出，判断所得参数是否符合题意即可. 【详解】（1）由题意，，， 由，即，整理可得，即； （2）假设存在正实数，使得是偶函数，即，则， ∴，必有， 故存在正实数，使得是偶函数. 【考点2：函数性质的综合运用】 8．设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则下列说法错误的是（    ） A．在上单调递减 B． C．不等式的解集为 D．的图象与轴只有2个交点 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性，单调性，图象解决即可. 【详解】可作满足题意的下图（不唯一），仅参考 对A：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，由奇函数的性质有在上单调递减，故选项A正确； 对B：因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，所以，所以，故选项B正确； 对C：由选项A与题意可得的解集为，故选项C正确. 对D：由题意，，又是定义在上的奇函数，所以，所以的图象与轴有3个交点，故选项D错误； 故选:D. 9．若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性即可由自变量的大小进行求解. 【详解】由于在上是偶函数，所以， 因为，函数在上时增函数，所以 ，所以. 故答案为： 10．设，函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数的图像关于点对称，且对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）将代入函数解析式，再画出函数图像，即可得到增减区间. （2）根据函数关于点对称得到函数为奇函数，再由双钩函数的性质即可求解. 【详解】（1）若则， 所以的图像如下：    由图知：在上递减，在上递增， 所以单调递减区间为；单调递增区间为． （2）因为函数的图像关于点对称， 所以的图像关于点对称， 所以为奇函数，则， 所以有， 即在上恒成立， 所以恒成立，故， 所以， 故 因为对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 由， 令， 得， 因为， 当即时取“”， 所以， 所以. 【考点1：函数的奇偶性】 11．已知是定义在上的奇函数，，则下列各点中一定在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数性质即可得解. 【详解】∵即点在奇函数的图象上， 关于原点的对称点必在的图象上. 故选：A. 12．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 13．设是定义城为实数集R的奇函数，且，若，则__________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】． 故答案为：. 14．已知偶函数满足，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据函数的周期性和奇偶性进行求值即可． 【详解】由可得函数周期为3， 则，， 是偶函数，， 15．已知函数的图像经过点. (1)求实数的值； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)奇函数 【分析】（1）利用函数图像经过的点满足函数解析式这一性质求解； （2）根据函数奇偶性的定义判断. 【详解】（1）由函数的图像经过点，有，即. （2）由函数，可得函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数. . 故答案为:. 【考点2：函数性质的综合运用】 16．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，分析求解即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数， 当时，单调递增，且， 所以当时，单调递增，且， 又因为，所以或， 即或， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C. 17．如果二次函数对任意实数都有，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数对称性式子得到二次函数对称轴，再根据二次函数单调性，结合对称性，判断函数值大小即可. 【详解】由可得：， 即函数关于对称，且函数的图象开口向上， 即在上单调递减，在上单调递增， ，且由对称性可知：， . 故选：. 18．设函数是定义在上的奇函数，满足，且，则______． 【答案】2 【分析】根据奇函数的特点，结合函数的周期性即可求解. 【详解】已知函数是定义在上的奇函数， 所以， 由可得， 即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以， 则函数为周期为的奇函数， 又，， ，， 所以， 则 . 故答案为：2. 19．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的实根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意画出函数的图象，结合图象可得关于m的不等式，解不等式可求解. 【详解】由于函数为偶函数，且先减后增； 函数的对称轴为，且在对称轴右侧单调递增， 故当时，函数先减后增，当时，函数单调递增，画出函数大致图象如图所示： 要使有三个不同的根，则必须满足， 所以，又， 解得. 故答案为： 20．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，． (1)求证：函数恒有成立； (2)求当时，的解析式； (3)计算的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)0 【分析】(1)通过奇函数的定义即可求解； (2)由奇函数的性质即可求出当，的解析式； (3)由函数的周期性即可求解. 【详解】（1）， ； 即； （2）当时，， 是定义在上的奇函数， 时，， 时，， ，； （3），，， 是周期为4的周期函数， 即． 1. （2025年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）函数为偶函数 ； （2） 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意，所以， 当时，得， 即，整理得，所以函数为偶函数. （2）已知数列，当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为，前项中有个周期余两项， 所以. 2. （2024年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【解析】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以， 因为，所以 . 故选：D. 3.（2024年四川省对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【解析】函数是偶函数，则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即，则，即，解得； 则； 故答案为：2. 4. （2023年四川省对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。 【解析】∵定义在上的函数是奇函数， ∴， ∴，∴，∴，分离常数得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是. ∴选D. 5.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 6.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是 则 . 【答案】60； 【分析】由题意得，函数满足，即函数图像关于（0,2）对称；函数的图像也关于（0,2）对称；因此，两个函数的交点成对关于（0,2）对称。设交点为，则4，两个函数一共有15对交点，总和为60. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $