专题8 函数的奇偶性及周期性（讲义）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 【复习目标】 1.理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 2.理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值 3.能利用函数的单调性解决其他一些综合问题. 【考点1：函数的奇偶性及周期性】 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．已知是定义在的偶函数，且，，则（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的概念结合已知条件即可求解. 【详解】因为是定义在的偶函数， 所以， 所以. 故选：D. 2．下列函数是奇函数的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】对于A，定义域为，关于原点对称，，函数为偶函数不是奇函数，不合题意； 对于B， 定义域为，不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，不合题意； 对于C，定义域为，关于原点对称，，函数为奇函数，符合题意； 对于D， 定义域为，关于原点对称，且，函数为非奇非偶函数，不合题意. 故选：C. 3．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性易得答案. 【详解】因为函数的定义域是，关于原点对称， 因为， 所以函数是偶函数，图像关于轴对称，排除B，C选项， 当时，， 令，又在上是增函数， 所以在上是增函数， 故只有D选项符合条件. 故选：D. 4．已知函数在上是奇函数，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断，求值. 【详解】函数在上是奇函数,. 故选：C. 5．设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝（    ） A．e-x－1 B．e-x＋1 C．－e-x－1 D．－e-x＋1 【答案】D 【详解】当x<0时，－x>0，则f(－x)＝e－x－1，而f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1，故选D. 6．已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数为偶函数知其定义域关于原点对称，图象关于轴对称，据此列式求出的值即可求解. 【详解】由于偶函数的定义域关于原点对称，所以，即， 因为其对称轴为轴，即从而得，所以. 故选 ：B 7．若函数是定义在区间上的奇函数，则的值为___________. 【答案】 【分析】根据函数在给定区间内为奇函数，则区间关于原点对称求解即可. 【详解】根据奇函数的性质知，其定义域关于原点对称， 则，得. 故答案为：. 8．函数为奇函数，则a=___________. 【答案】1 【分析】根据函数是奇函数的性质求解. 【详解】∵是奇函数，∴. ， ∴. 即：. 因此，. 故答案为：1. 9．已知偶函数在上单调递减，且函数图像经过点，则的解集为__________. 【答案】 【分析】根据偶函数的对称性确定函数的单调性，即可解不等式. 【详解】已知偶函数在上单调递减， 则在上单调递增， 由函数图像经过点，得， 由，得或， 当时，函数单调递减，所以， 当时，函数单调递增，所以， 所以的解集为. 故答案为：. 10．若函数是定义在的偶函数;当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，可得，再根据是定义在上的偶函数，求得的解析式； （2）先判断在单调性，再根据函数为偶函数，将不等式转化为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）设任意，则， 由题知 ， 又为偶函数， ∴. 即时，. 故. （2）由题可知：函数在调递增， 又为偶函数， 所以可化为 ， ∴， ， ， . 11．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有. (1)若，试比较与的大小关系； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题中不等式及奇函数的性质求解； （2）根据奇函数的性质及的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 由题意得，所以. 又是定义在上的奇函数，所以， 所以，即. （2）由（1）知为上的单调递增函数， 因为，所以， 即，所以，所以. 所以实数m的取值范围为. 【考点2：函数性质的综合运用】 函数奇偶性和单调性的相关关系： (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 12．已知为定义在上的奇函数，且对任意，有，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意判断出函数为减函数，再利用奇函数和减函数的性质列式求解即可. 【详解】因为，且， 则，即， 故， 因为为定义在上的奇函数， 所以， 因为对任意，有， 所以函数为定义在上为减函数， 故，即，故实数的取值范围是. 故选：B. 13．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶函数的对称性、单调性及，作出的简图，利用数形结合可求解. 【详解】又因为是偶函数，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又，所以； 据此作出的简图如下：    所以当或时，；当时，. 又不等式等价于或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是. 故选：C 14．函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的特点和恒成立，得出为常数，再设，并将代入求解即可. 【详解】因为函数在定义域上是增函数， 要使恒成立， 则为常数， 设（为常数），则， 将上式整理得， 令，则，又， 所以，即， 则，因式分解得， 其中， 所以，则 所以， 故选：B. 15．已知函数满足：①在上单调递增；②，都有；③是偶函数，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由②得到为指数型函数，排除C、D项；再由是偶函数，且，计算验证，即可得到答案. 【详解】由函数满足，可得为指数函数型，可排除C、D项； 又由是偶函数，且， 对于A中，若，则满足，函数为偶函数， 且，不符合题意，舍去； 对于B中，若，则满足，函数为偶函数， 且，符合题意. 故选：B. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，，则等于（   ） A．0 B． C． D．2023 【答案】A 【分析】先分析出函数的周期，再由求解a与b的值，分别求出的值，再由函数的周期性即可求解. 【详解】∵，∴， 又是奇函数，所以， ∴，∴， 则函数的周期是4， ∵是定义在R上的奇函数，∴， 又当时，，且， ∴，， 两式联立可解得，， ∴当时，， ∴，，，， ∴， ∴. 故选：A. 17．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性及单调性得出的正负取值情况，题中不等式化为即可求解． 【详解】∵函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，， ∴在上也单调递增，，，， ∴当或时，；或时，， 由得，，即， ∴或，∴或， ∴的解集为． 故选：C. 18．设函数是周期为4的奇函数，已知，则（     ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 【答案】A 【分析】根据函数的周期性及奇偶性直接求解即可. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 又因为函数是周期为4的函数， 所以， 所以，因此选项A正确. 故选：A. 19．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（     ） A．1 B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】由是奇函数，且，可得函数为周期函数，求出函数的最小正周期为，然后利用函数的周期性和奇偶性之间的关系可知，由题意求出其值. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∵，∴，即， ∴，即， ∴函数的最小正周期为， ∴， ∵是定义在上的奇函数，∴， ∵当时，， ∴. 故选：D. 20．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由题意结合奇函数的性质可得函数的周期，再进行转化即可得解. 【详解】因为函数为奇函数，且， 所以，， 也即，4为函数的一个周期， 所以. 故选：A. 21．已知是定义上的奇函数，当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质，求时，的解析式，据此可得解； （2）利用奇函数的性质，判断函数的单调性，将原不等式转化为，根据单调性列不等式可求解. 【详解】（1）在函数，当时，. 令，则，， 因为是定义在R上的奇函数， 所以， 故； （2）当时，，其对称轴为，且开口向上， 所以函数在单调递增. 因为奇函数关于原点对称且，所以函数在上为增函数. 由，可得 ， 从而有，解得， 故的取值范围为. 22．已知，求的值. 【答案】2011 【分析】先由得到，进而可求出结果. 【详解】因为， 所以， 因此， 所以. 1. （2025年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1）函数为偶函数 ； （2） 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）运用函数方程推导数列的递推关系，发现周期性进而分组求和即可. 【解析】（1）已知函数的定义域为，关于原点对称， 当时，， 即，解得或， 若，设，此时，不满足题意，所以， 当时，得， 即，整理得，所以函数为偶函数. （2）已知数列，当时，， 因为，所以， 即数列，且， 当时，则， ，解得，即， 由，得， 由，得， 由，得， 数列的周期为，每项的和为，前项中有个周期余两项， 所以. 2. （2024年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据可知的周期为，再根据解析式分别求出的值，再根据周期函数的性质求值即可. 【解析】已知定义在上的函数满足， 所以的周期为，且当时，， 当时，，所以， ， ， ， ， ， ， 所以， 因为，所以 . 故选：D. 3.（2024年四川省对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 【答案】2 【分析】利用对数函数的定义域结合函数奇偶性求出即可. 【解析】函数是偶函数，则，， 则，或，； 当时，，此时定义域不关于原点对称，不符合偶函数， 若，则，则有或，无解，不符合题意； 若，则，则或， 因偶函数定义域关于原点对称，则，则； 则解析式为 则，即， 即，则，即，解得； 则； 故答案为：2. 4. （2023年四川省对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由奇函数的定义域中包含0，所以由奇函数性质得出值，进而得出解析式,进而由得出关于p的不等式，解之即可得实数的取值范围。 【解析】∵定义在上的函数是奇函数， ∴， ∴，∴，∴，分离常数得， ∵，∴，∴，∴，∴，∴实数的取值范围是. ∴选D. 5.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 6.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是 则 . 【答案】60； 【分析】由题意得，函数满足，即函数图像关于（0,2）对称；函数的图像也关于（0,2）对称；因此，两个函数的交点成对关于（0,2）对称。设交点为，则4，两个函数一共有15对交点，总和为60. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的奇偶性及周期性 【复习目标】 1.理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 2.理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值 3.能利用函数的单调性解决其他一些综合问题. 【考点1：函数的奇偶性及周期性】 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)就叫做 ． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)就叫做 ． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域 对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为 ． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为 ． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 ． ②两个偶函数的和函数、积函数是 ． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 ． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝ . 4.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称 为这个函数的周期． （2）最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 【即时训练】 1．已知是定义在的偶函数，且，，则（    ） A． B．2 C． D．8 2．下列函数是奇函数的是（      ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   4．已知函数在上是奇函数，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．无法判断 5．设函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝（    ） A．e-x－1 B．e-x＋1 C．－e-x－1 D．－e-x＋1 6．已知函数是定义在上的偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．若函数是定义在区间上的奇函数，则的值为___________. 8．函数为奇函数，则a=___________. 9．已知偶函数在上单调递减，且函数图像经过点，则的解集为__________. 10．若函数是定义在的偶函数;当时，. (1)求函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 11．设是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有. (1)若，试比较与的大小关系； (2)若，求实数的取值范围. 【考点2：函数性质的综合运用】 函数奇偶性和单调性的相关关系： (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． 【即时训练】 12．已知为定义在上的奇函数，且对任意，有，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．函数在定义域上是增函数，且对任意的实数恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 15．已知函数满足：①在上单调递增；②，都有；③是偶函数，且，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，，则等于（   ） A．0 B． C． D．2023 17．已知函数是定义在上的奇函数，且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 18．设函数是周期为4的奇函数，已知，则（     ） A．3 B．1 C．-3 D．-1 19．设是定义在上的奇函数，满足，当时，，则（     ） A．1 B． C．3 D．0 20．定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D．1 21．已知是定义上的奇函数，当时，. (1)写出函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 22．已知，求的值. 1. （2025年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足对任意的，都有，. （1）判断函数的奇偶性； （2）若数列，求数列的前项和. 2. （2024年四川省对口招生）已知定义在上的函数满足，当时，，当时，则（ ） A. B. C. D. 3.（2024年四川省对口招生） 已知函数是偶函数，其中，则__________. 4. （2023年四川省对口招生）设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 6.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）定义在R上的函数满足， 若函数与函数 的图象的交点的坐标是 则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $