专题7 函数的单调性及最值（练习）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 函数的单调性及最值 【考点1 函数的单调性】 1．函数在上是增函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 3．已经函数是上的增函数，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．已知函数是定义在上的增函数，若，求实数a的取值范围. 5．已知函数，x∈（－2,＋∞），求此函数的最小值． 【考点2 函数的最值】 6．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（     ） A．0 B．1 C．16 D．25 8．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 9．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 10．函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A．，0     B．0，2 C． ，2     D．，2 【考点1 函数的单调性】 11．已知是函数图像上的两点，且，若，则函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．常数函数 D．无法判断增减性 12．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，且，则的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 13．已知函数是上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．设是定义在内的奇函数，且是减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 15．已知函数. (1)求的解析式; (2)判断并证明函数在上的单调性. 16．函数是定义在上的单调递增函数，且对定义域内任意x，y都有，． (1)求，的值； (2)解不等式：． 【考点2 函数的最值】 17．定义新运算“”：当时，；当时，．则函数在区间上的最大值是__________． 18．若对任意实数a，b规定，则函数的最大值为_________. 19．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 20．已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值. 1. （2025年四川省对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 2.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 3.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》练习 专题7 函数的单调性及最值 【考点1 函数的单调性】 1．函数在上是增函数，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性即可解答. 【详解】已知函数在上是增函数，所以. 故选：A. 2．已知函数在上是减函数，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据减函数的特点进行判断即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 且，所以. 故选：C. 3．已经函数是上的增函数，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】首先比较与的大小，根据函数是上的增函数从而确定，的大小关系． 【详解】因为，又函数是上的增函数， 所以. 故选：C． 4．已知函数是定义在上的增函数，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】利用单调函数的基本性质即可求解. 【详解】因为是定义在上的增函数， 所以时，， 所以，解得，即实数的取值范围. 5．已知函数，x∈（－2,＋∞），求此函数的最小值． 【答案】6 【分析】根据基本不等式解函数的最值. 【详解】∵ ∴ 即： 当且仅当时，即等号成立， 所以,的最小值为. 【考点2 函数的最值】 6．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性判别. 【详解】选项BCD中，在上为单调函数，在开区间上不存在最值． 在区间上单调递减，在区间单调递增，故函数在处取最小值． 故选：A. 7．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（     ） A．0 B．1 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用函数的单调性求最值即可. 【详解】函数在区间上为增函数， 则为最大值； 故选：D. 8．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】将原函数的最值转化为二次函数的最值即可 【详解】由 设 所以当时，函数有最大值 所以在的最大值为， 故选：B. 9．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．的单调递减区间为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的单调递增区间为和 【答案】B 【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确． 故选：B 10．函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ) A．，0     B．0，2 C． ，2     D．，2 【答案】C 【详解】由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值， 故选：C 【考点1 函数的单调性】 11．已知是函数图像上的两点，且，若，则函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．常数函数 D．无法判断增减性 【答案】B 【分析】根据单调性的定义即可解答. 【详解】已知是函数图像上的两点， 且，则， 因为， 所以， 所以函数在上是减函数， 故选：B. 12．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，且，则的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 又时，是减函数，所以，即. 故选：B. 13．已知函数是上的减函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性可得，然后解不等式求解. 【详解】解：由于函数是上的减函数， 则不等式，即， 则， 解得， 故选：C． 14．设是定义在内的奇函数，且是减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为，再根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】∵是定义在内的奇函数，∴. 又∵，∴. 题目已知在上是减函数，则. 而，得到， 所以，即C选项正确. 故选：C. 15．已知函数. (1)求的解析式; (2)判断并证明函数在上的单调性. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用待定系数法易得答案. （2）利用单调性的定义易证结果. 【详解】（1）由题意得 解得， . （2）在上单调递增. 证明:设任意，则 由，得， ，即， 故在上单调递增. 16．函数是定义在上的单调递增函数，且对定义域内任意x，y都有，． (1)求，的值； (2)解不等式：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题设条件，对进行赋值，即可求解. （2）根据函数的单调性和第（1）问所求，将不等式转化为不等式组，即可求解. 【详解】（1）∵对定义域内任意x，y都有，且， ∴令，则，得到. 令，则. （2）∵， ∴. 故可化为. ∵是定义在上的单调递增函数， ∴. 可化为，解得. 所以不等式组的解是. 故不等式的解集为. 【考点2 函数的最值】 17．定义新运算“”：当时，；当时，．则函数在区间上的最大值是__________． 【答案】6 【分析】根据新运算的定义，将自变量分类讨论，求解. 【详解】题目已知，根据新运算的定义可知， 当时，，，则； 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，. 综上，故的最大值为6． 故答案为：6. 18．若对任意实数a，b规定，则函数的最大值为_________. 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到值域，求出最大值. 【详解】， 若，即时， ， 若，即或时， ， 当时，单调递减，故， 当时，单调递增，故， 故或时，， 综上，函数的最大值为2. 故答案为：2 19．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（　　） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】C 【分析】分，讨论，利用单调性求解即可 【详解】当时，由题意得，则； 当时，，则； 综上，. 故选：C. 20．已知函数. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入解析式中即可求值. （2）首先判断函数的单调性，根据单调性求解函数在的最大值即可. 【详解】（1）已知函数， 则. 所以. （2）为一次函数， 其中， 所以在上为减函数. 当时，为最大值. 所以在区间上的最大值为. 1. （2025年四川省对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】； 【分析】画出和的图像，由此得到的最大值. 【解析】设，画出和的图像， 由图可知，当时，取得最大值，故答案为：. 2.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 3.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有. 【答案】(I) ，解得，又，得， 则，设，则由是增函数，知， 则， 则，故函数在上单调递增. （II）. 下面证明：当时，， 由二项式定理可知， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $