专题7 函数的单调性及最值（讲义）-2027年四川省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 【复习目标】 1.理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 2.理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值. 3.能利用函数的单调性解决其他一些综合问题. 【考点1：函数的单调性】 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的 两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是 ．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的 两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是 ．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是 或是 ，就说这个函数在这个区间M上具有 (区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 【即时训练】 1．下列选项为函数单调递减区间的是（    ） A．R B． C． D． 2．函数在上是减函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在R上是减函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．观察两个函数，图像，在下列区间中，同为单调递减的区间是（    ）    A． B． B． C． D． 5．已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 7．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是__________. 8．函数在区间A上是减函数，那么区间A是_____________. 9．若函数的单调递增区间为，则常数_____________. 10．已知函数 ， 则函数的值域为_____________. 11．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________． 12．设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______. 13．函数的定义域为，满足：对于任意，都有，且． (1)求的值； (2)如果，且在上是单调增函数，求的取值范围． 14．已知函数满足成立. (1)若，求的值； (2)当时，恒成立，判断函数的单调性并证明. 【考点2：函数的最值】 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 【即时训练】 15．函数在区间上的最小值是（     ） A． B． C． D． 16．函数的最小值是　　 A． B．0 C．1 D．2 17．已知函数，求函数的最大值和最小值. 18．已知二次函数． (1)当，求的最小值． (2)当时，求的最小值． 19．已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 20．已知函数（， 为常数，且 ）满足 ，方程 有唯一解． (1)求函数的解析式． (2)若，求函数的最大值． 1. （2025年四川省对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 2.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 3.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年四川省对口招生考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年四川省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的单调性及最值 【复习目标】 1.理解函数单调性的定义，并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间上的单调性. 2.理解函数的单调性、最大(小)值的几何意义，会用单调性方法求函数的最大(小)值. 3.能利用函数的单调性解决其他一些综合问题. 【考点1：函数的单调性】 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 【即时训练】 1．下列选项为函数单调递减区间的是（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解反比例函数的定义域，再求解函数的单调减区间即可. 【详解】因为反比例函数的定义域为， 且，所以是反比例函数的单调减区间. 故选:B. 2．函数在上是减函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以. 故选：C. 3．若函数在R上是减函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性与函数值的大小，确定自变量的大小关系，进而得到答案. 【详解】在R上是减函数，， ，， 故选：A 4．观察两个函数，图像，在下列区间中，同为单调递减的区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性定义，依次判断. 【详解】选项A中，在区间为单调递增，不满足题意，故错误. 选项B中，和在区间同为单调递减，满足题意，故正确. 选项C中，在区间为单调递增，不满足题意，故错误. 选项D中，和在区间同为单调递增，不满足题意，故错误. 故选：B. 5．已知函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由函数在上是减函数， 知，即， 解得或． 故选：D. 6．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，及函数的单调性，即可求解. 【详解】函数为偶函数，， 函数在区间上单调递增，且， ，即． 故选：B. 7．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用函数的定义域和单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：， 所以满足条件的x的取值范围是. 故答案为：. 8．函数在区间A上是减函数，那么区间A是________. 【答案】，(答案不唯一） 【分析】化简函数为，作出其图象，数形结合，即可得答案. 【详解】由题意得， 作出其图像如图： 由图像可知函数在区间，上是减函数， 故区间A是，，或其子集 故答案为：， 9．若函数的单调递增区间为，则常数_____________. 【答案】3 【分析】利用分段函数的单调性求出函数的单调增区间，即可求解该问题. 【详解】因为，所以函数的单调增区间为，所以. 故答案为：3. 10．已知函数 ， 则函数的值域为_______. 【答案】 【分析】根据二次函数在区间上的单调性即可作答. 【详解】二次函数图象的对称轴为，于是得在上递减，在上递增， 从而有，而，即， 所以函数的值域为. 故答案为：. 11．当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________． 【答案】 【分析】分时，时，时三种情况讨论，根据绝对值的概念及一次函数的性质即可求解． 【详解】①若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，最小值为， 由题意，，解得：，满足，符合题意； ②若，则当时，， 故当时，有最小值，最小值为0， 由题意，，解得：，不满足，不符合题意； ③若时，则当时，有，故， 故当时，有最小值，最小值为， 由题意，，方程无解，此情况不存在， 综上，满足条件的的值为． 故答案为：． 12．设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出的对称轴为，得到要想存在最小值，需要，单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，的对称轴为， 要想存在最小值，当时，单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值， 故且②，解②得：或， 综上： 故答案为：. 13．函数的定义域为，满足：对于任意，都有，且． (1)求的值； (2)如果，且在上是单调增函数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由已知，令，易求出的值 （2）由（1）和已知条件，找出函数值为3的自变量值，结合函数单调性求解. 【详解】（1）对于任意，都有，且 令 则， （2）， ， 又定义域为且在定义域上是单调增函数， 成立时，满足， 解得 即满足条件的的取值范围为． 14．已知函数满足成立. (1)若，求的值； (2)当时，恒成立，判断函数的单调性并证明. 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件赋予函数值，代入求解. （2）根据函数单调性的定义求证. 【详解】（1）函数满足，且， 令，得 ， 令，得，所以， 令，得 ， 令，得 ，即， 则. （2）函数为减函数.证明如下: 令，则，即. 令，则，即， 令，则，依题意：. 所以， 即. 所以，故函数为减函数. 【考点2：函数的最值】 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. 【即时训练】 15．函数在区间上的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在区间上是减函数求解即可. 【详解】因为， 所以函数在区间上是减函数， 所以当时函数有最小值， ，因此选项B正确. 故选：B. 16．函数的最小值是　　 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分别讨论两段函数的单调性和最值，即可得到所求最小值． 【详解】当时，的最小值为； 当时，递减，可得， 综上可得函数的最小值为0． 故选B． 【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意分析各段的单调性和最值，考查运算能力，属于基础题． 17．已知函数，求函数的最大值和最小值. 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，再求函数的最值即可. 【详解】设是上任意两个实数，且， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数， 所以， . 18．已知二次函数． (1)当，求的最小值． (2)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的最值求解即可； （2）分情况讨论对称轴与区间的关系求解即可. 【详解】（1）当时，，故最小值为. （2），对称轴为. 当时，在上单调递增，最小值为； 当时，最小值为； 当时，在上单调递减，最小值为. 综上， 19．已知函数，． (1)当时，求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，结合函数的导函数确定单调区间，进而求解最小值； （2）由恒成立条件列出式子，解得答案. 【详解】（1）将代入，得. 对，函数的导数为， 当时，，故在上单调递增. 因此在上单调递增，最小值为. （2）由（），等价于在上恒成立. 令，其对称轴为， 故在上单调递增，最小值为. 要使恒成立，需，即. 20．已知函数（， 为常数，且 ）满足 ，方程 有唯一解． (1)求函数的解析式． (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1) (2)-8 【分析】（1）先根据 的方程有唯一解,求得，进而根据求得，可写出函数解析式. （2）先化简函数，再根据及化简后的函数求最大值即可. 【详解】（1）由 ，得 ，即 ． 因为方程有唯一解， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ． （2）因为 ，所以   ，而   ， 当 ，即 时， 取得最小值 ， 此时 取得最大值 ． 1. （2025年四川省对口招生） 已知函数，则的最大值为__________. 【答案】； 【分析】画出和的图像，由此得到的最大值. 【解析】设，画出和的图像， 由图可知，当时，取得最大值，故答案为：. 2.（2022年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数对于任意实数都有成立，且. （Ⅰ）求与的值； （Ⅱ）当时，成立，判断函数的单调性，并说明理由. 【答案】(Ⅰ) ， （Ⅱ）单调递减。 【分析】(Ⅰ)根据条件及，通过赋值法即可求出与的值。（Ⅱ）函数在在定义域上单调递减 【解析】(Ⅰ)令，得，则； 令，得，则； 令，得，则，可得； 令，得，则，可得； （Ⅱ）函数在在定义域上单调递减。证明如下： 令，得成立.∴,∴函数在为奇函数. 当时，成立,为奇函数. 故当时，成立; 令,且 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵当时， ∴ ∴ ∴ ∴函数在在定义域上单调递减. 3.（2021年四川省职教师资和高职班对口考试）设函数 (I)判断函数的单调性，并说明理由； （II）证明：对于任意不小于5的正整数n，都有 【答案】(I) ，解得，又，得， 则，设，则由是增函数，知， 则， 则，故函数在上单调递增. （II）. 下面证明：当时，， 由二项式定理可知， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $