20.5 数据分组-【木牍中考】2025-2026学年八年级下册数学同步教学优质课件(沪科版·新教材)

该初中数学课件聚焦“数据分组”核心知识点，涵盖组内离差平方和、组间离差平方和及“组内离差平方和最小”分组原则。课堂导入从中国数据全球占比切入，结合大数据背景引出数据分组必要性，通过10省份人均GDP问题构建从现实问题到公式推导再到电子表格应用的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过推导离差平方和公式发展推理能力，结合电子表格计算与多领域习题（如教学法效果比较、跳远成绩分组）强化数据观念。采用问题驱动与工具辅助教学，课堂小结系统梳理知识，帮助学生理解数据分组原理，为教师提供完整教学流程与实例。

20.5 数据分组 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 8年级下册 学习目标及重难点 1.了解组内离差平方和与组间离差平方和. 2.经历数据分类的过程，知道按照“组内离差平方和最小”的原则对数据进行分组. 3.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯. 前 言 在海量数据背景下，需要进行大数据分析， 数据分组是基本且重要的方法之一. 导入新课 中国数据产出与数据存储全球占比 数据产出 2019 2020 2021 2022 9.5 9.8 9.9 10.5 数据存储 2019 2020 2021 2022 11.9 18 9.9 14.4 数据分组是根据研究目的和客观现象的内在特点，按照某种标准把数据划分为若干个不同的组，使组内的差异尽可能小，组间的差异尽可能大. 探索1：数据分组 分组分析法是在分组的基础上，将不同性质的现象分开,相同性质的现象归纳在一起，从而反映被研究对象的本质、差异和特征. … … … … 讲授新课 数据分组是根据研究目的和客观现象的内在特点，按照某种标准把数据划分为若干个不同的组，使组内的差异尽可能小，组间的差异尽可能大. … … … … 分组分析法是在分组的基础上，将不同性质的现象分开,相同性质的现象归纳在一起，从而反映被研究对象的本质、差异和特征. 对数据分组的方法有很多，使“组内离差平方和最小”的方法是最常用的方法之一. 讲授新课 问题1: 我国 10 个省份某年人均地区生产总值(简称人均 GDP，单位:万元)的数据如下表所示: 如果把这 10 个省份依据人均 GDP 的多少分为两组，并保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组，应该如何划分? 省份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人均GDP/万元 15.68 6.24 10.11 7.18 16.42 12.13 7.37 10.07 8.85 7.16 按照“组内离差平方和最小”的方法，就能保证人均GDP相差不多的省份在一个组. 那怎样能做到组内离差平方和最小呢？ 讲授新课 一般地，假设有 个数据 , 若将其分成两组，其中前 个数据为一组 ( 称为第一组 )， 后 ( ) 个数据为一组 ( 称为第二组 ). … … 个数据 个数据 第一组 第二组 讲授新课 这 个数据的 总体离差平方和 可以表示为： 其中，= … … 个数据 个数据 第一组 第二组 讲授新课 这 个数据的 总体离差平方和 可以表示为： 其中，= 记 平均数： 平均数： … … 个数据 个数据 第一组 第二组 讲授新课 则 = 平均数： 平均数： … … 个数据 个数据 第一组 第二组 讲授新课 = 用完全平方公式展开： 我们先只观察 2 倍项的和，你有什么发现？ 讲授新课 = 前 个数据 2 倍项的和为 由平均数的意义： = = 0 同理，后面个数据的 2 倍项的和也为 0. 所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了. 讲授新课 = = = 讲授新课 = = 其中，= 称为 组内离差平方和, 表达了两个组内数据的离散程度.=称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异. 讲授新课 数据的分组一般步骤： 1. 第一步是排序； 2. 第二步是确定组数和各组内数据的个数. 我们只讨论分两组的情形，如果一共有 个数据，要把较小的 个数据分为一组，把剩下的 个数据分为另一组； 3. 我们通过“组内离差平方和最小” 的原则来确定 的大小. 因此，我们通过计算和比较组内离差平方和，就可以将这 10 个省份分成两组，并保证人均 GDP 相差不多的省份在一个组. 讲授新课 用电子表格软件计算 (1) 在电子表格软件中输入省份代号和人均 GDP 的数据 , 并对数据按照人均 GDP 从小到大进行排序,如下图; 讲授新课 (2) 如图，将排序后的人均 GDP 的数据根据每组个数进行分组，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“DEVSQ” 函数，分别计算每组的离差平方和,如下图； 讲授新课 (2) 如图，将排序后的人均 GDP 的数据根据每组个数进行分组，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“DEVSQ” 函数，分别计算每组的离差平方和,如下图； 讲授新课 (3) 利用“SUM”函数得到组内离差平方和,如下表所示： 讲授新课 (4) 比较组内离差平方和的大小，找到组内离差平方和的最小值和对应的分组即“第一组7个数，第二组3个数”—— 省份划分为{ 省份 2 ,省份 10,省份 4 , 省份 7,省份9,省份8,省份3 }和{省份 6 , 省份1 , 省份5 }. 省份代号 人均GDP/万元 2 6.24 10 7.16 4 7.18 7 7.37 9 8.85 8 10.07 3 10.11 6 12.13 1 15.68 5 16.42 讲授新课 (4) 比较组内离差平方和的大小，找到组内离差平方和的最小值和对应的分组即“第一组7个数，第二组3个数”——省份划分为{ 省份 2 ,省份 10,省份 4 , 省份 7,省份9,省份8,省份3 }和{省份 6 , 省份1 , 省份5 }. 省份代号 人均GDP/万元 2 6.24 10 7.16 4 7.18 7 7.37 9 8.85 8 10.07 3 10.11 6 12.13 1 15.68 5 16.42 能否计算这两个组的组间离差平方和？ 讲授新课 省份代号 人均GDP/万元 2 6.24 10 7.16 4 7.18 7 7.37 9 8.85 8 10.07 3 10.11 6 12.13 1 15.68 5 16.42 在社会经济统计研究中，数据分组的作用在于划分现象的类型、研究总体的结构与现象之间的依存关系. 讲授新课 研究人员比较两种教学法（甲、乙）的效果．甲教学法组3人，成绩为{85，90，95}；乙教学法组3人，成绩为{75，80，85}． (1)计算总平均值； (2)计算总体离差平方和； 解：(1)＝(85＋90＋95＋75＋80＋85)÷6＝85（分）. (2)总体离差平方和为(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＝0＋25＋100＋100＋25＋0＝250. 随堂小练习 讲授新课 研究人员比较两种教学法（甲、乙）的效果．甲教学法组3人，成绩为{85，90，95}；乙教学法组3人，成绩为{75，80，85}． (3)计算组内离差平方和； (4)计算组间离差平方和； 随堂小练习 (3)甲＝(85＋90＋95)÷3＝90，乙＝(75＋80＋85)÷3＝80. 组内离差平方和为(85－90)2＋(90－90)2＋(95－90)2＋(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝(25＋0＋25)＋(25＋0＋25)＝100. (4)组间离差平方和为3×(90－85)2＋3×(80－85)2＝3×25＋3×25＝150. 讲授新课 1.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，按“组内成绩更集中”的原则分为两组（一组3人，一组4人），确定最优分组． 习题1 方式1：第一组{75，80，85}（3人），第二组{90，95，100，105}（4人） 第一组均值1＝(75＋80＋85)÷3＝80， 离差平方和为(75－80)2＋(80－80)2＋(85－80)2＝25＋0＋25＝50. 第二组均值2＝(90＋95＋100＋105)÷4＝97.5. 离差平方和为(90－97.5)2＋(95－97.5)2＋(100－97.5)2＋(105－97.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. 组内离差平方和为50＋125＝175. 习题解析 1.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，按“组内成绩更集中”的原则分为两组（一组3人，一组4人），确定最优分组． 习题1 方式2：第一组{75，80，85，90}（4人），第二组 {95，100，105}（3人） 第一组均值1＝(75＋80＋85＋90)÷4＝82.5. 离差平方和为(75－82.5)2＋(80－82.5)2＋(85－82.5)2＋(90－82.5)2＝56.25＋6.25＋6.25＋56.25＝125. 第二组均值2＝(95＋100＋105)÷3＝100， 离差平方和为(95－100)2＋(100－100)2＋(105－100)2＝25＋0＋25＝50. 组内离差平方和为125＋50＝175. 习题解析 1.某班7名学生的数学小测成绩：75，80，85，90，95，100，105，按“组内成绩更集中”的原则分为两组（一组3人，一组4人），确定最优分组． 习题1 方式1：组内离差平方和为50＋125＝175. 方式2：组内离差平方和为125＋50＝175. 最优分组为{75，80，85}和{90，95，100，105}（或{75，80，85，90}和{95，100，105}）， 组内离差平方和最小，组内成绩更集中． 习题解析 2.学校运动会上，5 名学生的跳远成绩(单位：米)分别是 4.2、4.5、4.8、5.2、5.5，体育老师要按照组内离差平方和最小的原则将学生成绩分为两组，用于后续训练安排，求分组方案. 解：把这5个数据分为两组，共有4种情况： 分为{4.2}和{4.5，4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.58； 分为{4.2，4.5}和{4.8，5.2，5.5}时，组内离差平方和≈0.292； 分为{4.2，4.5，4.8}和{5.2，5.5}时，组内离差平方和=0.225； 分为{4.2，4.5，4.8，5.2}和{5.5}时，组内离差平方和=0.5475； 通过比较每组的组内离差平方和，可知应当分为{4.2,4.5,4.8}和{5.2,5.5}两组. 习题2 习题解析 3.10 个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示. 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 3 11 10 21 22 12 9 17 (1)根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这 10 个城市分为两组.（可借助计算器或电子表格软件） 习题3 解: 将表中的数据按从小到大排列，可得 11　3　3　3　9　10　12　17　21　22 习题解析 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或电子表格软件，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 数据分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第一组1个数，第二组9个数 0 584.2 584.2 第一组2个数，第二组8个数 32 380.9 412.9 第一组3个数，第二组7个数 98.7 285.7 384.4 第一组4个数，第二组6个数 132 158.8 290.8 第一组5个数，第二组5个数 228.8 113.2 342 第一组6个数，第二组4个数 308.8 62 370.8 第一组7个数，第二组3个数 397.4 14 411.4 第一组8个数，第二组2个数 562 0.5 562.5 第一组9个数，第二组1个数 789.6 0 789.6 习题解析 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}． 数据分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第一组1个数，第二组9个数 0 584.2 584.2 第一组2个数，第二组8个数 32 380.9 412.9 第一组3个数，第二组7个数 98.7 285.7 384.4 第一组4个数，第二组6个数 132 158.8 290.8 第一组5个数，第二组5个数 228.8 113.2 342 第一组6个数，第二组4个数 308.8 62 370.8 第一组7个数，第二组3个数 397.4 14 411.4 第一组8个数，第二组2个数 562 0.5 562.5 第一组9个数，第二组1个数 789.6 0 789.6 习题解析 3.(2)结合地理课所学知识，说一说这样分组合理吗？ 习题3 合理．因为第一组中的城市位于我国北方地区，普遍气温偏低，第二组中的城市位于我国南方，温度较高． {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}． 习题解析 数据分组 总体离差平方和 利用“组内离差平方和最小”的原则进行数据分组 组内离差平方和 组间离差平方和 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $