2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（六）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第6卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（六） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合描述法交集的运算易得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．命题甲：是命题乙：的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，或，故必要性不成立； 所以命题甲：是命题乙：的充分不必要条件， 故选：. 3．若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】分子分母同时除以，将其化为，最后将代入求值即可. 【详解】已知， 则， 故选：A. 4．已知点，，则线段AB的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出线段AB的斜率，可求出线段AB的垂直平分线的斜率，再求出线段AB的中点坐标，再由点斜式求直线方程即可. 【详解】由点，，则线段AB的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为， 线段AB的中点坐标为，即， 所以线段AB的垂直平分线方程是，即. 故选：D. 5．函数的定义域为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根底数为非负，结合一元二次不等式的基本解法，即可求解. 【详解】要使函数有意义，则， 不等式可化为，解得或， 即函数的定义域为， 故选：D. 6．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】，是增函数， 又，，即； ，是减函数， 又，，即； ，是增函数， 又，，即； 所以. 故选：A. 7．由4名男生和3名女生组成的代表队参加完市中职学生运动会后，7名同学站成一排合影留念，若3名女生相邻，则不同的站法有（    ） A．144种 B．576种 C．720种 D．1440种 【答案】C 【分析】利用捆绑法即可得解. 【详解】先把3名女生看作一个元素，此时有种排法， 而在每一种排法里，3名女生内部又有种排法， 所以不同的站法. 故选：C. 8．在数列中，若，则当这个数列的前n项和最大时，n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】D 【分析】先判断数列类型，再求出通项公式，进而确定使前项和最大时的值. 【详解】已知，即，这表明数列是公差的等差数列. 已知，，则， 因为最大时，需满足，即，解得， 又因为，所以或. 故选：D. 9．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由图形中线面平行、线面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则可能平行、相交或异面，故A选项错误； B选项，若，当共面时，可能，故B选项错误； C选项，若，则或，故C选项错误； D选项，由线面垂直的性质，若，则，故D选项错误. 故选：D. 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先根据椭圆离心率得到，结合椭圆内的定义和直角三角形勾股定理，建立等式得到和，即可解得. 【详解】设，，，，    因为离心率为，则， 由，得，即， 可化为，代入得到， 即，解得，则，， 又，所以， 则，即， 解得，即，所以. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某中学共有300名教职员工，其中一线教师220人，行政人员60人，后勤人员20人，采取分层随机抽样的方法，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取的人数为________． 【答案】12 【分析】根据分层抽样的特点求解即可. 【详解】因为总人数为300，要抽取60人，故抽样比为. 因此行政人员应抽取的人数为. 故答案为：12. 12．已知，，且，则__________． 【答案】 【分析】根据向量垂直得出其数量积为零，再根据向量的模长求法得出答案. 【详解】 ， 故答案为： 13．若函数，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】先由分段函数求出，再按分段函数的定义域分类讨论，解不等式即可. 【详解】由函数可得， ， 当时，由，可得， 即，解得或， 因为，所以或； 当时，由，可得， 解得，因为，所以； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 14．已知角的终边经过点，则与单位圆的交点坐标为______________． 【答案】 【分析】根据角的终边与单位圆的交点坐标为即可求出. 【详解】角的终边经过点,， ． 则与单位圆的交点坐标为. 故答案为：． 15．过直线上一点向圆作切线，切点为，则取最小值时，点的坐标为_______． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切的性质结合数形结合法即可求解. 【详解】 如图，由切线性质可知， 要最小，要求最小， 由圆可知圆心， 圆心与直线上的点的连线中垂线段最小， 利用数形结合法，得点的坐标为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的公差为2，且恰为等比数列的前3项． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出等式，求出等边数列的通项公式. （2）首先求出数列的通项公式，再根据等差数列与等边数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）已知等差数列的公差为2，则，. 因为恰为等比数列的前3项，可得， 化简得，解得.所以， 则等比数列的首项，公比. 根据等比数列通项公式，可得. （2）由（1）可知，又， 所以. . 其中，. 所以. 17．(本小题满分10分) 一个袋中装有个同样大小的小球，编号分别为,现从袋中随机取个小球，用表示取出的小球的最大号码： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望. 【答案】(1)见详解. (2). 【分析】（1）由离散型随机变量分布列即可得解. （2）由期望公式即可得解. 【详解】（1）的值可能为. 所以随机变量的分布列为 （2）. 所以. 18． (本小题满分10分) 如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可证明线线垂直； （2）根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）证明：连接， ∵是正方形，故， ∵平面 ，平面，故， 而平面，平面，，∴平面, ∵平面，∴. （2）由长方体知， 平面， ∴三棱锥的体积： . 19．(本小题满分10分) 已知函数，. (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，求的单调区间. 【答案】(1)， (2)或 (3)单调递减区间为；单调递增区间为. 【分析】（1）利用二次函数的单调性，求得其最值，从而得解； （2）利用二次函数的单调性，分类讨论其单调性，从而得解； （3）利用二次函数的单调性，分类讨论与两种情况，从而得解. 【详解】（1）当时，，其图象开口向上，对称轴为， 又， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故； 又，， 故. （2）因为的对称轴为，开口向上， 当在上单调递减时，对称轴，得； 当在上单调递增时，对称轴，得； 因此，的取值范围是或. （3）当时，， 当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增； 当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增. 综上，的单调递减区间为；单调递增区间为. 20.(本小题满分10分) 已知双曲线的离心率为， 为C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M， N两点， O为坐标原点， 求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线的离心率和双曲线上点的坐标求解即可； （2）先根据双曲线的标准方程得到右焦点坐标，进而求出直线l的方程，联立直线与双曲线方程求出的面积即可. 【详解】（1）双曲线的离心率为， 故，故，进而. 又在双曲线上，代入方程， 得：， 因此， 双曲线的方程为：. （2）由，右焦点为. 直线l的倾斜角为，斜率， 故直线l的方程为. 联立，得， 设， 由韦达定理：， 则， 所以. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，. (1)求的值； (2)若，求b以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理及已知即可求得； （2）先求得，，再由正弦定理得，根据余弦定理求得，进而由三角形面积公式求得面积. 【详解】（1）由余弦定理及已知， 得. （2）因为，为三角形内角，所以， 因为，， 所以， . 又因为，所以由正弦定理得， 又因为， 所以，解得（舍）. 所以. 22．(本小题满分10分) 某投资商计划用60万元投资甲、乙两个项目．根据预判，甲项目最大亏损率为20%，乙项目最大亏损率为30%，最大亏损不能超过16万元；甲、乙两个项目的最大盈利率分别为70%和60%．问投资商对甲、乙两个项目分别投资多少万元时，才能使盈利最大？最大盈利是多少万元？ 【答案】投资商对甲、乙两个项目分别投资60万元和0万元才能使盈利最大，最大盈利为42万元 【分析】根据题意建立约束条件不等式组和目标函数，画出可行域，即可求解目标函数最大值.. 【详解】设投资商对甲、乙两个项目分别投资万元，获得的盈利为万元， 则有，即， 目标函数， 作可行域，如图所示： 作零等值线，并平移零等值线，当直线经过可行域中的点时，目标函数取到最大值, 点为直线的交点，即， 所以，当时，最大盈利为(万元) 因此，投资商对甲、乙两个项目分别投资60万元和0万元才能使盈利最大，最大盈利为42万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第6卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（六） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题甲：是命题乙：的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】分子分母同时除以，将其化为，最后将代入求值即可. 【详解】已知， 则， 故选：A. 4．已知点，，则线段AB的垂直平分线方程是（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ）. A． B． C． D． 6．已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．由4名男生和3名女生组成的代表队参加完市中职学生运动会后，7名同学站成一排合影留念，若3名女生相邻，则不同的站法有（    ） A．144种 B．576种 C．720种 D．1440种 8．在数列中，若，则当这个数列的前n项和最大时，n等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 9．已知两条不同的直线与平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交C于A，B两点.若，则（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某中学共有300名教职员工，其中一线教师220人，行政人员60人，后勤人员20人，采取分层随机抽样的方法，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取的人数为________． 12．已知，，且，则__________． 13．若函数，则不等式的解集为______. 14．已知角的终边经过点，则与单位圆的交点坐标为______________． 15．过直线上一点向圆作切线，切点为，则取最小值时，点的坐标为_______． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的公差为2，且恰为等比数列的前3项． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 17．(本小题满分10分) 一个袋中装有个同样大小的小球，编号分别为,现从袋中随机取个小球，用表示取出的小球的最大号码： (1)随机变量的分布列； (2)求随机变量的数学期望. 18． (本小题满分10分) 如图所示，已知正四棱柱的底面是正方形，，. (1)求证：； (2)求三棱锥的体积. 19．(本小题满分10分) 已知函数，. (1)当时，求函数的最大值和最小值； (2)若函数在上具有单调性，求实数的取值范围； (3)当时，求的单调区间. 20.(本小题满分10分) 已知双曲线的离心率为， 为C上一点. (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为30°的直线l交C于M， N两点， O为坐标原点， 求的面积. . 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，. (1)求的值； (2)若，求b以及的值. 22．(本小题满分10分) 某投资商计划用60万元投资甲、乙两个项目．根据预判，甲项目最大亏损率为20%，乙项目最大亏损率为30%，最大亏损不能超过16万元；甲、乙两个项目的最大盈利率分别为70%和60%．问投资商对甲、乙两个项目分别投资多少万元时，才能使盈利最大？最大盈利是多少万元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $