专题10 指数函数与对数函数（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数与对数函数 【复习目标】 1.了解几种常见幂函数的图象和性质； 2.理解指数函数的概念、图象和性质； 3.了解对数函数的图象和性质； 4.了解指数函数与对数函数的实际应用举例. 【考点1 指数函数的图像及性质】 1、指数函数的概念 函数 叫做 ，其中指数x是自变量，定义域是R，是底数 2、指数函数的图像及性质 底数 图象 性质 定义域为　　，值域为　 　 图象过定点　 　 当时，恒有；当时，恒有 当时，恒有；当时，恒有 　 　函数 　 　函数 【即时训练】 一、单选题 1．函数的定义域、值域分别是（   ） A． B． C． D． 2．的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．如果指数函数（）的图像经过点，那么的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．已知指数函数的图像经过点，则（   ） A． B． C． D．9 7．已知指数函数 的图像过点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 8．设函数，，则（    ） A． B． C． D． 9．若，则函数的图像为（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，其中，则下列各式中成立的是（    ）. A． B． C． D． 11．设，，，则（   ） A． B． C． D． 12．下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 13．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 14．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数，则（  ） A． B． C． D． 16．已知函数，则 （    ） A． B． C．2 D． 17．已知函数，则＝（   ） A． B． C．3 D．27 二、填空题 18．函数的图像恒过定点________． 19．已知函数经过点，则______. 20．已知函数，则______． 【考点2 对数函数的图像及性质】 1、对数函数的概念 函数 叫做 ，其中x是自变量，定义域是 。 2、对数函数的图像及性质 底数 性质 定义域：　 　 值域：R 图象过定点　 　，即恒有 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在上是　 函数　 在上是　 函数　 【即时训练】 一、单选题 1．对数函数的图象大致是（   ）. A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．已知“”，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数 ，其中 且 ，若 ，则 =（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，求的值（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，下面说法正确的有（　　） A．的图像不关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的值域为 D．，且， 11．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 13．函数，则（    ） A． B． C．1 D． 14．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 16．若，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 17．已知函数，则________． 18．已知函数，则__________. 19．已知函数，则_____． 1.（2024·广东·真题T10）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数函数与对数函数 【复习目标】 1.了解几种常见幂函数的图象和性质； 2.理解指数函数的概念、图象和性质； 3.了解对数函数的图象和性质； 4.了解指数函数与对数函数的实际应用举例. 【考点1 指数函数的图像及性质】 1、指数函数的概念 函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，是底数 2、指数函数的图像及性质 底数 图象 性质 定义域为　R　，值域为　　 图象过定点　（0，1）　 当时，恒有；当时，恒有 当时，恒有；当时，恒有 　增　函数 　减　函数 【即时训练】 一、单选题 1．函数的定义域、值域分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质求解即可 【详解】指数函数的定义域，值域． 故选：B. 2．的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质求解即可. 【详解】要使函数有意义，则， 即， 所以的定义域是， 故选：A. 3．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式大于等于0，0和负数无对数，分母不等于0，以及指数函数的定义域逐个分析即可. 【详解】函数，定义域为，故A不符合题意， 函数，定义域为，故B不符合题意， 函数，定义域为，故C符合题意， 函数，定义域为，故D不符合题意， 故选：C. 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式，结合指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 根据指数函数的单调性，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 5．如果指数函数（）的图像经过点，那么的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将点的坐标代入指数函数的解析式求解. 【详解】由题意，将点代入指数函数（）， 得，解得. 故选：B. 6．已知指数函数的图像经过点，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】求出指数函数的解析式代入求解. 【详解】把点代入（且），得，故. 故选：D 7．已知指数函数 的图像过点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将点代入指数函数解析式中即可得解. 【详解】指数函数，则且，因为函数图像过点， 则，解得或（舍）， 故选：. 8．设函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数值确定指数函数的解析式，进而由指数函数的单调性判断即可； 【详解】因为函数，， 所以，解得，所以函数， 因为的底数大于1，所以在定义域上是增函数， 所以，即选项B正确，选项ACD错误. 故选：B 9．若，则函数的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质求出的范围，利用指数函数的图像与性质得出答案. 【详解】因为，即，即， 所以指数函数在上单调递减，且过点，， 因此，选项ABC不符合，选项D符合， 故选：D. 10．已知函数，其中，则下列各式中成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可解题. 【详解】函数，其中，则函数为减函数， 自变量越小，函数值越大. ，则，故A错误； ，则，故B错误； ，则，故C正确； ，则，故D错误. 故选：C. 11．设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知，， 其中，因为在上为减函数， 且，故， 故选：B. 12．下列函数中，在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本初等函数的单调性即可得解. 【详解】是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意； 是指数函数，，在区间上单调递增，符合题意； 是二次函数，开口向下，对称轴为y轴，在区间上单调递减，不符合题意； 是对数函数，，在区间上单调递减，符合题意. 故选：B. 13．下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可求解. 【详解】对A：因为函数是在定义域上的增函数，且，所以，故A项错误； 对B：因为函数是在定义域上的减函数，且，所以，故B项错误； 对C：因为函数是在上的增函数，且，所以，故C项错误； 对D：因为函数是在定义域上的减函数，且，所以，故D项正确. 故选：D.. 14．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由指数函数的性质，对于任意实数，恒成立. 若，则一定有； 但时，可以是任意实数，不一定满足， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 15．已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】由函数， 可知， . 故选：D. 16．已知函数，则 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】首先将代入合适的解析式中求出的值，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 则， 所以， 故选：C. 17．已知函数，则＝（   ） A． B． C．3 D．27 【答案】D 【分析】先求的值，再求的值. 【详解】由题知，则. 故选：D. 二、填空题 18．函数的图像恒过定点________． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】在函数中，令，即， 可得， 故函数的图像恒过定点. 故答案为：. 19．已知函数经过点，则______. 【答案】/ 【分析】将点代入函数解析式中求出即可得解. 【详解】函数经过点，则，解得， 所以函数，则. 故答案为：. 20．已知函数，则______． 【答案】12 【分析】将自变量代入分段函数对应的解析式，结合指数函数的求值，即可解得. 【详解】因为， 所以，， 即， 故答案为： 【考点2 对数函数的图像及性质】 1、对数函数的概念 函数 叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是 2、对数函数的图像及性质 底数 性质 定义域：　（0，＋∞）　 值域：R 图象过定点　（1，0）　，即恒有 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在上是　增函数　 在上是　减函数　 【即时训练】 一、单选题 1．对数函数的图象大致是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合对数函数图像的性质即可得解. 【详解】对数函数，底数，则函数定义域上单调递增， 选项定义域为，故错误； 选项，定义域为，但为减函数，故错误； 选项,定义域为，且为增函数，故正确， 故选：. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数有意义的条件列式求解即可. 【详解】对于，需满足. 解不等式，得，即定义域为. 故选：D 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据0和负数无对数列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须满足真数，解得， 即或，用区间表示为， 故选：C. 4．下列函数为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为，，所以不是偶函数，故错误； 函数，定义域为，，所以不是偶函数，故错误； 函数，定义域为，，所以是偶函数，故正确； 函数，定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，故错误， 故选：. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合指数函数及对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为函数，定义域为，，所以在定义域内为增函数， 则，即， 因为函数，底数，所以在定义域内为增函数， 则，即， 因为函数，底数，所以在定义域内为减函数， 则，即， 综上所述，， 故选：. 6．已知“”，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质并结合充要条件的基本概念即可判断. 【详解】因为对数函数在上单调递增， 所以由“”可以推出“”； 另一方面，若“”，则推不出“”， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．“”是“函数是奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若函数为奇函数， 则，即， 即， 即，整理得， 所以，解得或， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 当时，， 定义域为关于原点中心对称，且，满足奇函数定义， 所以函数是奇函数或． 若，则函数是奇函数，充分性成立， 若函数是奇函数，则或，不一定有，必要性不成立， 所以“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件， 故选：A. 8．已知函数 ，其中 且 ，若 ，则 =（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出未知数，再代入解析式求解即可. 【详解】因为，且 ，所以. 所以. 故选：B. 9．已知函数，求的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入函数解析式中即可得解. 【详解】函数， ， 故选：. 10．已知函数，下面说法正确的有（　　） A．的图像不关于原点对称 B．的图象关于y轴对称 C．的值域为 D．，且， 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A不正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误. 【详解】因为的定义域为R， 又，可得函数为奇函数，不是偶函数， 所以函数的图像关于原点对称，故选项A错误，选项B错误； 设，可得，所以，即，解得， 即函数的值域为，所以选项C正确； 对，且， 又，可得函数为增函数， 所以， 故选项D错误. 故选：C. 11．已知，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用指对数函数分析、、的取值范围，再比较它们的大小. 【详解】函数在上单调递增， 因为，所以，即； ； 函数在上单调递减， 因为，所以，即， 综上，. 故选：A. 12．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂与根式的转化，对数的运算以及对数函数的单调性求解. 【详解】因为，而，所以， ， ， 所以. 故选：A. 13．函数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用函数的解析式，从内而外依次计算所求函数值，从而得解. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：B. 14．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式以及指数及对数运算法则进行求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 所以，. 故选：D. 15．已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 16．若，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答. 【详解】因函数， 所以， 故选：. 二、填空题 17．已知函数，则________． 【答案】1 【分析】由分段函数的解析式，按自变量的取值范围代入对应解析式，逐层求值即可. 【详解】函数， 因为，则. 因为，则. 所以. 故答案为：1. 18．已知函数，则__________. 【答案】4 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外计算可得结果. 【详解】， . 故答案为：4 19．已知函数，则_____． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， ， ， 故答案为：. 1.（2024·广东·真题T10）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的真数大于0，求解对数函数的定义域即可. 【详解】根据真数大于0可以得到， 因式分解可得， 解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 2.（2026·广东·真题T22）已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $