专题09 指数运算与对数运算（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 指数运算与对数运算 【复习目标】 1.理解有理数指数幂的概念； 2.掌握实数指数幂及其运算法则； 3.理解对数的概念(含常用对数、自然对数)； 4.了解积、商、幂的对数； 【考点1 指数运算法则】 1.有理指数幂的有关概念： (1)正整数指数幂： n个 (2)零指数幂： (3)负整数指数幂： (4)分数指数幂： 正分数指数幂： m,n互质,m,n∈N*,n>1), 负分数指数幂： m,n互质,m,n∈N*,n>1). 2.实数指数幂的运算法则(a>0,b>0,m,n∈R): 3.根式的概念： (1)式子 叫做根式，这里n叫做根指数，叫做被开方数. (3)当n为奇数时， 当 n为偶数时， 【即时训练】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合根式的化简求值，即可求解. 【详解】因为，故选项A错误； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C错误； 因为，故选项D正确； 故选：D. 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对根式进行化简和0次幂成立的条件易得答案. 【详解】因为，A错误； ，B错误； 成立的条件为，D错误； 因为，故C正确. 故选：C. 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式的运算即可求解. 【详解】对A：，故A项错误； 对B：，故B项错误； 对C：，故C项错误； 对D：，故D项正确. 故选：D. 4．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用负指数、零指数和奇次根式的运算：，，，求解即可. 【详解】，，， ∴原式. 故选：C. 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用零指数幂、负整数指数幂法则计算，即可求解. 【详解】. 故选：C. 6．计算的结果（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】， 故选：A. 7．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】对A，，故A错误. 对B，，故B错误. 对C，要使有意义，则且，即，故C错误. 对D，，故D正确. 故选：D. 8．对任意实数，，各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂的运算法则即可求出. 【详解】A: 错误,应为; B: 错误,应为; C: 错误,应为; D:正确,根据法则. 故选:D 9．已知且，对任意实数m，n，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】选项 A：； 选项 B：； 选项 C：，因此； 选项 D：，而，故不成立. 故选：C. 10．设，，则等于（    ） A． B． C．1 D．27 【答案】B 【分析】由同底数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选:B. 11．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 二、填空题 12．计算：________. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 13．将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）=_____________. （2）  =_____________. 【答案】 【分析】根据分数指数幂与根式的互化求解即可. 【详解】（1）；（2）. 故答案为：. 14．将分数指数幂与根式互化 （1）_______．    （2）_______．（3）_______．（4）_______． 【答案】 【分析】根据根式与指数的互化即可得解. 【详解】；；；， 故答案为：；；；. 15．已知则________. 【答案】 【分析】利用指数运算法则易求出答案. 【详解】因为. 故答案为:. 【考点2 对数运算法则】 1、对数的概念 如果 ，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数 2、对数性质 , 3、对数运算性质 4、换底公式 【即时训练】 一、单选题 1．下列对数式中，与指数式等价的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式和对数式互化即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．将化成对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数与对数互化即可求解. 【详解】将化成对数式是. 故选：B. 3．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 4．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用对数积的运算法则，即可判断． 【详解】根据对数积的运算法则可得 . 故选：B 5．已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式性质和对数的运算法则即可得解. 【详解】选项，因为函数为减函数，，所以，故错误； 选项，，故错误； 选项，，故正确； 选项，，当时，，故错误. 故选：. 6．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积、商、幂的对数运算公式及换底公式逐一检验判断即可. 【详解】对于A，，故A选项错误； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项正确； 对于D，由换底公式，,故D选项错误. 故选：C 7．下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数和对数的运算法则即可求解. 【详解】对A：，故A项正确； 对B：，故B项错误； 对C：，故C项正确； 对D：，故D项正确. 故选：B. 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实数指数幂、对数的运算逐项判断即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：B. 9．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数的解析式代入求值即可. 【详解】因为函数，所以， 则. 故选：A. 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数转对数，再拆分对数并代换，最后得出结果即可. 【详解】已知，根据对数的定义，可得， 同理得：， 由对数的运算法则得，， 又因为， 将，代入上式，可得： . 故选：B. 二、填空题 11．若，则=________. 【答案】2 【分析】根据对数与指数式的转化法则，将对数式化为指数式，由此求得即可. 【详解】由于，所以. 故答案为：. 12．________，________，________； 【答案】 0 1 2 【分析】由对数的运算性质和对数的运算法则即可求解. 【详解】由对数的运算性质知: 由对数的运算法则知: . 故答案为:0，1，2. 13．计算：_______. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 14．计算：______． 【答案】/ 【分析】根据指数以及对数的运算规律求解即可. 【详解】． 故答案为：. 15．已知，，则的值为__________， 【答案】 【分析】根据对数的定义求出和的值，再利用指数运算法则求出的值. 【详解】因为，， 所以， 即， 故答案为：. 1.（2026·广东·真题T16）_____. 【答案】 【分析】根据指数和对数的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 2.（2025·广东·真题T16）计算： . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 3.（2024·广东·真题T13）已知函数，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入可求出t的值，再求的值即可. 【详解】因为函数为， ，即， 故. 故选：A. 4.（2024·广东·真题T16）计算 . 【答案】36 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 5.（2023·广东·真题T16）计算_________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用对数运算解答即可. 【详解】由可知， 故答案为：3. 6.（2022·广东·真题T05）已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 【答案】C 【分析】由对数式与指数式的互化，得到，进而求出. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 指数运算与对数运算 【复习目标】 1.理解有理数指数幂的概念； 2.掌握实数指数幂及其运算法则； 3.理解对数的概念(含常用对数、自然对数)； 4.了解积、商、幂的对数； 【考点1 指数运算法则】 1.有理指数幂的有关概念： (1)正整数指数幂： n个 (2)零指数幂： (3)负整数指数幂： (4)分数指数幂： 正分数指数幂： m,n互质,m,n∈N*,n>1), 负分数指数幂： m,n互质,m,n∈N*,n>1). 2.实数指数幂的运算法则(a>0,b>0,m,n∈R): 。 3.根式的概念： (1)式子 叫做根式，这里n叫做 ，叫做被 . (3)当n为奇数时， 当n为偶数时， 【即时训练】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．计算（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果（   ） A． B． C． D． 7．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．对任意实数，，各式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知且，对任意实数m，n，下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．设，，则等于（    ） A． B． C．1 D．27 11．若，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 12．计算：________. 13．将下列各分数指数幂写成根式的形式. （1）=_____________. （2）  =_____________. 14．将分数指数幂与根式互化 （1）_______．    （2）_______．（3）_______．（4）_______． 15．已知则________. 【考点2 对数运算法则】 1、对数的概念 如果 ，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的 ，叫做 。 2、对数性质 , 。 3、对数运算性质 4、换底公式 【即时训练】 一、单选题 1．下列对数式中，与指数式等价的是（　　） A． B． C． D． 2．将化成对数式是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 4．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数则（    ） A． B． C． D． 10．已知，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则=________. 12．________，________，________； 13．计算：_______. 14．计算：______． 15．已知，，则的值为__________， 1.（2026·广东·真题T16）_____. 2.（2025·广东·真题T16）计算： . 3.（2024·广东·真题T13）已知函数，若，则（     ） A． B． C． D． 4.（2024·广东·真题T16）计算 . 5.（2023·广东·真题T16）计算_________. 6.（2022·广东·真题T05）已知，则（    ） A．9 B．36 C．64 D．81 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $