与折叠有关的几何探究题-【一战成名新中考】2026广西数学中考必考知识点题组特训

与折叠有关的几何探究题正文 1．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，点E是AB边上的一点，将△CAE沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D处． 初步探究：（1）请直接写出∠BCD的度数为　 　 ； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的∠B变为30°，其它条件不变，过D作DF⊥CB于点F得到图2．试猜想线段CE与CF的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，△ABC中，∠A＝48°，D为AB边上一点，将△BCD沿CD折叠，点B落到点E处，当DE∥AC时，请直接写出此时∠CDB的度数． 2．【问题背景】 在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，点E为线段AB上一点，将△ADE沿着线段DE折叠得到△FDE． 【构建联系】 （1）如图1，当点F恰好在线段BC上时，求线段BF的长． 【深入探究】 （2）如图2，当点F在矩形ABCD的外部，线段DF交线段BC于点H，作∠CDF的平分线交线段BC于点G． ①求证：DH•CG＝CD•HG． ②如图3，点I为△CDH的内心，连接HI，若线段DH＝12，求线段HI的长． 3．在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． （1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的D′处，求CE的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：△D′AE≌△DAE， ∴AD′＝AD＝10，ED′＝ED． ∵∠B＝90°，AB＝6， ∴BD′＝　 　 ． ∴CD′＝　 　 ． 在Rt△CED′中，设CE＝x，则D′E＝DE＝6﹣x， 由勾股定理可得：D′C2+CE2＝D′E2，即（　 　 ）2+x2＝（6﹣x）2， 解得CE＝　 　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，点E是CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，点D落在D′点处，当△CED′为直角三角形时，求CE的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点E是直线CD上一动点，将△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′恰好落到AB边的中垂线上时，请直接写出CE的长． 4．某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 【所得结论】当点F与AD的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：△AEF的边AE＝　 　 cm，EF＝　 　 cm． 乙：EG＝BF． 【完成任务】 （1）填写甲同学所得结果中的数据． （2）当点F为AD边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图2，当点F在AD边上（除点A、D外）时，记四边形AEGD的面积为S，AF为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 5．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C 和AD相交于点E，连接B′D． 解决问题 （1）在图1中， ①B′D和AC的位置关系为 　 　 ； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 　 　 ； （2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； （3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形．则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 　 　 ； 拓展应用 （4）在图2中，若∠B＝30°，AB＝4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为 　 　 ． 6．【探索发现】 如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接CE．小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形． （1）直接写出线段CD，CF，AC之间的数量关系：　 　 ； 【理解运用】 如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D．将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，延长FE与BC交于点G． （2）判断四边形ADGF的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将△AFE沿AE折叠得到△AME，连接MB，若AD＝6，BD＝2，MB的长为　 　 ． 7．等边三角形的思考． 【折等边】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【作等边】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在如图⑤中矩形ABCD的边CD上取一点M，以BM为边画出了更大的等边三角形．请用两种不同的方法在图⑥中尺规作出矩形ABCD内以B为顶点的最大的等边三角形BEF．（简要说明作图的步骤） 【算等边】 （3）用一张边长为4厘米的正方形铁片剪一个等边三角形铁片，能剪出的等边三角形纸片边长的最大值为多少厘米？（画出示意图，并简要的写出你的求解思路） 8．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，BC分别交于点E，F，点C的对应点记为C′，点D的对应点记为D′ 【特例探究】（1）如图1，连接BC′，C′D与AD交于点H，当点B，C′，D三点共线时，与∠BFC′相等的角为　 　 （写出一个即可）． （2）如图2，F为BC的中点，点C′恰好落在AD边上．①直接写出四边形CEC′F的形状：　 　 ，AC′+DE　 　 FC′；（填“＞”“＜”或“＝”） ②延长D′C′交AB于点G，判断GC′与GB的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图3，将矩形纸片ABCD更换为平行四边形，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4，F为BC的中点，当C′D′所在直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时直接写出DE的值． 9．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边所在的射线AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P． 判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：　 　 ． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，求BH的最小值． 10．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝32，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝7，求BC的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，若AB＝8，BC＝16，求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝16，点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）． 11．综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”． 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片ABCD，M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠，使点A的对应点E落在正方形内部，将纸片沿着ME折叠，点D的对应点为点F，折痕交CD于点N． 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片ABCD，M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠使点A的对应点E落在矩形内部，继续折叠纸片，使BE与BF在同一条直线上点C的对应点为点F，折痕交CD边于点P． 问题解决 任务1 在操作一中，试判断EN与CN的大小关系　 　 ； 连接BN，研究小组通过改变点M的位置发现∠MBN的大小不变，其度数为　 　 °； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若DM＝6，DN＝8，求正方形ABCD的边长； 任务3 在操作二中，若AB＝4，AM＝3，AD＝8，求CP的长． 12．折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： （1）小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段AB（如图1），将纸片沿AB折叠得到△ABC（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）小华先把一张正方形的纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF（如图3），然后将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B（如图4），最后沿A'C折叠（如图5），得到△A′BC（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 13．综合与实践 主题：折菱形 素材：如图1是一张边长为4cm的等边三角形纸片ABC． 要求：折一个菱形，使∠A为菱形的一个内角． 步骤如下： 第一步，折叠三角形纸片ABC，使AB边和AC边重合，折痕与BC边相交于点D； 第二步，沿着折痕AD继续折叠，使顶点A与点D重合，如图2；第三步，展开三角形纸片，如图3，两次折痕分别为AD、EF． 证明与计算： （1）连接DE，DF，求证：四边形AEDF是菱形； （2）如图4，点P为AF上一点，将△EAP沿EP翻折得△EA′P，PA'⊥DF，垂足为点G，求FG的长． 14．某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片ABCD进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠，点A的对应点是G．BG与CD交于点H． 求证：△DGH≌△BCH； （2）如图2，分别在AB，CD上取点E，F，将长方形纸片ABCD沿直线EF翻折，点A的对应点是A′，点D的对应点是D′，连接AA′，DD′，探究AA′和DD′的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝12，点N为BC边上一点，CN＝3，AN＝13，将长方形纸片ABCD沿直线EF翻折后，点A的对应点是A′恰好落在射线AN上，点D的对应点是D′，连接BD′，求BD′的最小值，并说明你的理由． 15．项目式学习活动主题：估算A0纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为　 　 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是　 　 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中A0纸的面积为1m2． 将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；．．．．．．，将An纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸． （2）【任务探究】 任务一：A1纸面积是A2纸面积的　 　 倍，A2纸周长是A4纸周长的　 　 倍； （3）任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比． （4）任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 与折叠有关的几何探究题正文+答案 1．综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，点E是AB边上的一点，将△CAE沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D处． 初步探究：（1）请直接写出∠BCD的度数为　10°　 ； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的∠B变为30°，其它条件不变，过D作DF⊥CB于点F得到图2．试猜想线段CE与CF的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，△ABC中，∠A＝48°，D为AB边上一点，将△BCD沿CD折叠，点B落到点E处，当DE∥AC时，请直接写出此时∠CDB的度数． 解：（1）∠BCD的度数为10°；理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠B＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵将△CAE沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D处， ∴∠CDA＝∠A＝50°， ∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝10°， 故答案为：10°； （2）CE＝CF；理由如下： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， ∵将△CAE沿CE折叠，点A恰好落在AB边上的点D处， ∴∠AEC＝∠DEC，∠ACE＝∠DCE， ∵∠AEC+∠DEC＝180°， ∴∠AEC＝∠DEC＝90°， ∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCE＝∠ACE＝30°， ∴∠DCF＝90°﹣30°﹣30°＝30°， ∴∠DCF＝∠DCE， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠DFC＝∠DEC， 在△DCE和△DCF中， ， ∴△DCE≌△DCF（AAS）， ∴CE＝CF； （3）∠CDB的度数为114°；理由如下： ∵将△BCD沿CD折叠，点B落到点E处， ∴∠BCD＝∠ECD，∠B＝∠E， ∵AC∥DE， ∴∠ACE＝∠E， ∴∠ACE＝∠B＝∠E， ∵∠A＝48°， ∴∠B+∠ACB＝180°﹣48°＝132°， ∴∠B+∠BCD+∠DCE+∠ACE＝132°， ∴∠B+∠BCD＝∠DCE+∠ACE＝66°， 即∠ACD＝66°， ∵AC∥DE， ∴∠CDE＝180°﹣∠ACD＝114°． 2．【问题背景】 在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝15，点E为线段AB上一点，将△ADE沿着线段DE折叠得到△FDE． 【构建联系】 （1）如图1，当点F恰好在线段BC上时，求线段BF的长． 【深入探究】 （2）如图2，当点F在矩形ABCD的外部，线段DF交线段BC于点H，作∠CDF的平分线交线段BC于点G． ①求证：DH•CG＝CD•HG． ②如图3，点I为△CDH的内心，连接HI，若线段DH＝12，求线段HI的长． （1）解：设AE＝x，则BE＝9﹣x， ∵将△ADE沿着线段DE折叠得到△FDE， ∴△ADE≌△FDE， ∴AE＝EF，AD＝DF＝15，∠EFD＝∠A＝90°， ∴∠EFB+∠DFC＝90°，FC12． ∵∠B＝∠C＝90°， ∴∠EFB+∠BEF＝90°， ∴∠BEF＝∠DFC， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∴， ∴x＝5， ∴EF＝5，BE＝4， ∴BF3； （2）①证明：过点G作GM∥DH，交CD于点M，如图， ∵DG为∠CDF的平分线， ∴∠HGD＝∠CDG， ∵GM∥DH， ∴∠DGM＝∠HDG， ∴∠DGM＝∠CDG， ∴MG＝MD， ∵GM∥DH， ∴，， ∴， ∴， ∴DH•CG＝CD•HG． ②解：过点I作IM⊥CD于点M，IK⊥DH于点K，IN⊥HC于点N，如图， ∵∠C＝90°， ∴CH3， ∵点I为△CDH的内心， ∴点I为△CDH的三个内角平分线的交点， ∴∠IHK＝∠IHN， 在△IHK和△IHN中， ， ∴△IHK≌△IHN（AAS）， ∴IK＝IN，HK＝HN， 同理：IN＝IM，DK＝DM，CN＝CM， ∵IM⊥CD，IN⊥HC，∠C＝90°， ∴四边形INCM为正方形， ∴CM＝CN＝IN＝IM， ∴IK＝CM＝CN＝IN＝IM， ∵CM+MD＝9，DK+HK＝12，HN+CN＝3， ∴IK＝CM＝CN＝IN＝IM． ∴DM＝DK＝9﹣CM， ∴HK＝HD﹣DK＝12， ∴HI6． 3．在研究一类图形的折叠问题时，乐思数学小组发现，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决． （1）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的D′处，求CE的长； 乐思数学小组的解题思路如下：（请补充填写题中空缺部分） 解：由折叠可知：△D′AE≌△DAE， ∴AD′＝AD＝10，ED′＝ED． ∵∠B＝90°，AB＝6， ∴BD′＝　　 ． ∴CD′＝BC﹣BD′＝2　 ． 在Rt△CED′中，设CE＝x，则D′E＝DE＝6﹣x， 由勾股定理可得：D′C2+CE2＝D′E2，即（　2　 ）2+x2＝（6﹣x）2， 解得CE＝　　 ． （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，点E是CD边上一动点，将△ADE沿AE折叠，点D落在D′点处，当△CED′为直角三角形时，求CE的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝5，点E是直线CD上一动点，将△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′恰好落到AB边的中垂线上时，请直接写出CE的长． 解：（1）由折叠可知：△D′AE≌△DAE， ∴AD′＝AD＝10，ED′＝ED． ∵∠B＝90°，AB＝6， ∴， ∴CD′＝BC﹣BD′＝2． 在Rt△CED′中，设CE＝x，则D′E＝DE＝6﹣x． 由勾股定理可得：D′C2+CE2＝D′E2，即22+x2＝（6﹣x）2， 解得， 故答案为：，BC﹣BD′＝2，2，； （2）当△CED′为直角三角形时，有两种情况： 当点D′落在矩形内部，∠CD′E＝90°时，如图2.1， 在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5， ∴CD＝12，BC＝5，∠D＝90°， 由折叠的性质得：∠AD′E＝90°，DE＝D′E，AD′＝AD＝5， ∴∠AD′E+∠CD′E＝180°， ∴点A，D′，C三点共线， ∵， ∴CD′＝AC﹣AD′＝8， 设CE＝x，则DE＝D′E＝12﹣x， 在Rt△CED′中，由勾股定理可得：CD′2+D′E2＝CE2，即82+（12﹣x）2＝x2， 解得，即； 当点D′落在AB边上，∠CED′＝90°时，如图2.2， 此时，∠DED′＝90°， ∵在矩形ABCD中，∠D＝∠DAD′＝90°， ∴四边形AD′ED是矩形， 由折叠的性质得：AD′＝AD＝5， ∴四边形AD′ED是正方形， ∴DE＝D′E＝5， ∴CE＝CD﹣DE＝7； 综上，当△CED′为直角三角形时，CE的长为或7； （3）CE的长为2或．理由如下： 过点D′作MN⊥AB于N，MN交CD于点M， 设DE＝a，则D′E＝a， 当点E在线段CD上时，如图3.1， ∵MN是AB边的中垂线， ∴，AD＝AD′＝5， 由勾股定理可知：， ∴MD′＝MN﹣ND′＝AD﹣ND′＝2，EM＝DM﹣DE＝4﹣a， ∵ED′2＝EM2+MD′2， ∴a2＝（4﹣a）2+22， 解得：，则， ∴； 当点E在CD延长线上时，如图3.2， 同理，， ∴MD′＝MN+ND′＝5+3＝8， ∴ME＝DE﹣DM＝a﹣4， 在Rt△D′ME中，D′E2﹣D′M2＝ME2， 即a2﹣82＝（a﹣4）2， 解得：a＝10， ∴CE＝DE﹣CD＝2； 综上所述，CE的长为2或． 4．某班甲、乙两位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 【活动情境】如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 【所得结论】当点F与AD的中点重合时（如图1），甲、乙两位同学各得到一个正确结果： 甲：△AEF的边AE＝　3　 cm，EF＝　5　 cm． 乙：EG＝BF． 【完成任务】 （1）填写甲同学所得结果中的数据． （2）当点F为AD边上任意一点（除点A、D外）时，乙同学所得结果还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图2，当点F在AD边上（除点A、D外）时，记四边形AEGD的面积为S，AF为x，求S与x的函数关系式，当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 解：（1）设AE＝xcm，则EF＝（8﹣x）cm，AF＝4cm，∠A＝90°， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴AE＝3cm，EF＝5cm； 故答案为：3，5； （2）乙同学所得结果还成立， 理由如下：如答图2， ∵B、F关于GE对称， ∴BF⊥EG于P， 过G作GK⊥AB于K， ∴∠FBE＝∠KGE， 在正方形ABCD中，GK＝BC＝AB，∠A＝∠EKG＝90°， ∴△AFB≌△KEG（AAS）， ∴BF＝EG．AF＝KE， （3）∵△AFB≌△KEG（AAS）， ∴BF＝EG，AF＝KE＝x， ∴AE＝4x2， ∴AK＝AE+EK＝AF+AE＝4x2+x， ∴S88（AE+AK）＝4（4x2+4x2+x）x2+4x+32， ∴S（x﹣4）2+40（0＜x＜8）， 当x＝4，即F与AD的中点重合时S最大，S最大＝40． 5．综合与实践 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观．折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论． 实践操作 如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C 和AD相交于点E，连接B′D． 解决问题 （1）在图1中， ①B′D和AC的位置关系为 B′D∥AC ； ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是 　菱形　 ； （2）若图1中的矩形变为平行四边形时（AB≠BC），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由； （3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形．则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 　1：1或：1　 ； 拓展应用 （4）在图2中，若∠B＝30°，AB＝4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为 　4或6或8或12　 ． 解：（1）①BD′∥AC． ②将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形； 故答案为：B′D∥AC，菱形； （2）①成立． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB， ∴∠ACB＝∠CAD， ∵∠ACB＝∠ACE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∴EA＝EC， ∵CB＝AD＝CB′， ∴ED＝EB′， ∴∠EDB＝∠EB′D， ∵∠AEC＝∠DEB′， ∴∠ACB′＝∠EB′D， ∴B′D∥AC； ②成立． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB． ∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C， ∴∠ACB′＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACB′， ∴AE＝CE， ∴△AEC是等腰三角形； ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等， ∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形（四边相等的四边形是菱形）； 故答案为：菱形； （3）①当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1． ∵∠AB′D+∠ADB′＝90°， ∴y﹣30°+y＝90°． ②当矩形的长宽之比为：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB′是等腰梯形，是轴对称图形； 综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1； 故答案为：1：1或：1； （4）∵AD＝BC，BC＝B′C， ∴AD＝B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠B＝30°，∴∠AB′C＝∠CDA＝30°， ∵△AB′D是直角三角形， 当∠B′AD＝90°，AB＞BC时，如图3中， 设∠ADB′＝∠CB′D＝y， ∴∠AB′D＝y﹣30°， 解得y＝60°， ∴∠AB′D＝y﹣30°＝30°， ∵AB′＝AB＝4， ∴AD44， ∴BC＝4， 当∠ADB′＝90°，AB＞BC时，如图4， ∵AD＝BC，BC＝B′C， ∴AD＝B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACB′D是等腰梯形， ∵∠ADB′＝90°， ∴四边形ACB′D是矩形， ∴∠ACB′＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝30°，AB＝4， ∴BCBA46； 当∠B′AD＝90°，AB＜BC时，如图5， ∵AD＝BC，BC＝B′C， ∴AD＝B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD＝90°， ∵∠B＝30°，AB′＝4， ∴∠AB′C＝30°， ∴AE＝4，BE′＝2AE＝8， ∴AE＝EC＝4， ∴CB′＝12， 当∠AB′D＝90°时，如图6， ∵AD＝BC，BC＝B′C， ∴AD＝B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是平行四边形， ∵∠AB′D＝90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC＝90°， ∵∠B＝30°，AB＝4， ∴BC＝AB8； ∴当BC的长为4或6或8或12时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：4或6或8或12． 6．【探索发现】 如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接CE．小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形． （1）直接写出线段CD，CF，AC之间的数量关系：CD+CF＝AC ； 【理解运用】 如图2，在△ABC中，AD⊥BC于点D．将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，延长FE与BC交于点G． （2）判断四边形ADGF的形状，并说明理由； 【拓展迁移】 （3）在（2）的前提下，如图3，将△AFE沿AE折叠得到△AME，连接MB，若AD＝6，BD＝2，MB的长为　　 ． 解：（1）线段CD，CF，AC之间的数量关系：CD+CF＝AC，理由是： 由旋转得：∠DAF＝60°＝∠BAC，AD＝AF， ∴∠BAD＝∠CAF， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ADB＝∠AFC，BD＝CF， ∵∠ADC+∠ADB＝∠AFC+∠AFE＝180°， ∴C、F、E在同一直线上， ∴AC＝BC＝BD+CD＝CF+CD， 故答案为：CD+CF＝AC； （2）四边形ADGF是正方形，理由如下： ∵Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF， ∴AF＝AD，∠DAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠DAF＝∠F＝90°， ∴四边形ADGF是矩形， ∵AF＝AD， ∴四边形ADGF是正方形； （3）如图，连接DE， ∵四边形ADGF是正方形， ∴DG＝FG＝AD＝AF＝6， ∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF， ∴∠BAD＝∠EAF，BD＝EF＝2， ∴EG＝FG﹣EF＝6﹣2＝4， ∵将△AFE沿AE折叠得到△AME， ∴∠MAE＝∠FAE，AF＝AM， ∴∠BAD＝∠EAM， ∴∠BAD+∠DAM＝∠EAM+∠DAM，即∠BAM＝∠DAE， ∵AF＝AD， ∴AM＝AD， 在△BAM和△EAD 中， ∵， ∴△BAM≌△EAD（SAS）， ∴． 7．等边三角形的思考． 【折等边】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【作等边】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在如图⑤中矩形ABCD的边CD上取一点M，以BM为边画出了更大的等边三角形．请用两种不同的方法在图⑥中尺规作出矩形ABCD内以B为顶点的最大的等边三角形BEF．（简要说明作图的步骤） 【算等边】 （3）用一张边长为4厘米的正方形铁片剪一个等边三角形铁片，能剪出的等边三角形纸片边长的最大值为多少厘米？（画出示意图，并简要的写出你的求解思路） （1）证明：由折叠可知：BF＝FC，BC＝BP，由矩形的性质可知：EF是线段BC的垂直平分线， ∴PB＝PC， ∴PB＝BC＝CP， ∴△PBC是等边三角形； （2）解：方法一：先对折矩形纸片ABCD（AB＞BC），使AB与DC重合，得到折痕MN，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点C落在MN上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，延长EP交BC边与点F，得到等边三角形BEF； 方法二：先对折矩形纸片ABCD（AB＞BC），使AB与DC重合，得到折痕MN，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点C落在MN上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，最后分别以点B，E为圆心，以BE的长为半径画弧，两弧相交于点F，连接EF得到等边三角形BEF； （3）解： 在正方形ABCD，所以Rt△ABF≌Rt△CBE（HL），得AF＝CE，设AF＝CE＝x，则DE＝DF＝4﹣x，由勾股定理可得BE2＝42+x2，FE2＝2（4﹣x）2，根据BE＝FE，故42+x2＝2（4﹣x）2，解得x1＝8﹣4，（舍去），FD＝ED＝44，在Rt△EFD中根据勾股定理得EF， ∴等边三角形纸片边长的最大值为（）厘米． 8．【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，BC分别交于点E，F，点C的对应点记为C′，点D的对应点记为D′ 【特例探究】（1）如图1，连接BC′，C′D与AD交于点H，当点B，C′，D三点共线时，与∠BFC′相等的角为　∠ABH或∠D′EH（任选一个）　 （写出一个即可）． （2）如图2，F为BC的中点，点C′恰好落在AD边上．①直接写出四边形CEC′F的形状：　菱形　 ，AC′+DE　＝　 FC′；（填“＞”“＜”或“＝”） ②延长D′C′交AB于点G，判断GC′与GB的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图3，将矩形纸片ABCD更换为平行四边形，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4，F为BC的中点，当C′D′所在直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时直接写出DE的值． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°， ∵将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，BC分别交于点E，F，点C的对应点记为C′，点D的对应点记为D′， ∴∠D′C′F＝∠C＝90°，∠D′＝∠D＝90°， ∵点B，C′，D三点共线， ∴∠BC′F＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BFC′+∠FBC′＝90°， ∵∠ABH+∠FBC′＝90°， ∴∠ABH＝∠BFC′， ∵∠ABH+∠AHB＝90°，∠D′HE+∠D′EH＝90°，∠AHB＝∠D′HE， ∴∠ABH＝∠D′EH， ∴∠D′EH＝∠BFC′， ∴与∠BFC′相等的角为∠ABH或∠D′EH， 故答案为：∠ABH或∠D′EH（任选一个）； （2）①四边形CEC′F的形状为菱形，AC′+DE＝FC′；理由如下： ∵将矩形纸片ABCD先沿EF折叠，折痕与边AD，BC分别交于点E，F，点C的对应点记为C′，点D的对应点记为D′， ∴CE＝C′E，CF＝C′F，∠CFE＝∠C′FE， ∵AD∥BC， ∴∠C′EF＝∠CFE， ∴∠C′EF＝∠C′FE， ∴C′E＝C′F， ∴C′E＝C′F＝CF＝CE， ∴四边形CEC′F是菱形， ∵F为BC的中点， ∴， ∵四边形CEC′F是菱形， ∴， ∵AD＝BC， ∴， ∴， ∴AC′+DE＝FC′， 故答案为：菱形，＝； ②GB＝GC′；理由如下： 如图2，连接FG， 由折叠可得，∠FC′D′＝∠FCD＝90°， ∴∠FC′G＝90°， ∵点F为BC的中点， ∴BF＝CF， ∵CF＝C′F， ∴BF＝C′F， 在Rt△BFG和Rt△C′FG中， ， ∴Rt△BFG≌Rt△C′FG（HL）， ∴GB＝GC′； （3）DE的值为或．理由如下： 当C′D′⊥AB时，如图3，垂足为点G，过点C′作C′M⊥ED′于M，连接AF交ED′于H， ∵∠ABC＝60°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝60°，∠BAD＝∠C＝120°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝4， 由折叠可得，∠FC′D′＝∠C＝120°，∠D′＝∠D＝60°，C′D′＝CD＝2，C′F＝CF，D′E＝DE， ∵C′M⊥ED′， ∴∠C′MD′＝∠C′MH＝90°， ∴∠MC′D′＝30°， ∴，∠MC′F＝120°﹣30°＝90°， ∵C′D′⊥AB， ∴∠NGD′＝90°， ∴∠D′NG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠ANE＝∠D′NG＝30°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠AEN＝30°， ∴∠ANE＝∠AEN， ∴AN＝AE， ∵F为BC的中点， ∴， ∴AB＝BF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴∠BAF＝60°， ∴∠AHN＝90°， ∴∠MHF＝∠AHE＝90°， ∴四边形C′MHF是矩形， MH＝C′F＝2， 设AH＝x，则AE＝2x，， ∵D′E＝DE， ∴DE+AE＝D′E+AE＝AD， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当C′D′⊥BC时，如图4，垂足为点G，延长BA交ED′于点H， 由折叠可得，∠D′＝∠D＝60°，∠FC′D′＝∠C＝120°，C′D′＝CD＝2，D′E＝DE，C′F＝CF， ∴∠GC′F＝60°， ∵F为BC的中点， ∴， ∵C′D′⊥BC， ∴∠BGM＝∠C′GF＝90°， ∵∠GC′F＝60°， ∴∠C′FG＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BMG＝30°， ∴，∠D′MH＝∠BMG＝30°， ∴，∠MHD′＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，AB＝2， ∴， ∴， ∵∠BAD＝120°， ∴∠EAH＝60°， ∵∠AHE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AEH＝30°， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当C′D′所在直线垂直于平行四边形ABCD的一边所在直线时，DE的值为或． 9．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片ABCD的边所在的射线AD上一动点，将正方形沿着CE折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线AB于点P． 判断：根据以上操作，图1中AP与EF的数量关系：AP＝EF ． （2）迁移探究 在（1）条件下，若点E是AD的中点，如图2，延长CF交AB于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段BQ的长度，如果不确定，说明理由； （3）拓展应用 在（1）条件下，如图3，CE，DF交于点G，取CG的中点H，连接BH，求BH的最小值． 解：（1）如图，设CE，DF交于点G， 由轴对称性质可得：CE⊥DF，DE＝EF， ∴∠CGD＝90°， ∴∠DCG+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠A＝90°，CD＝AD， ∴∠ADP+∠CDG＝90°， ∴∠ADP＝∠DCG， 在△ADP和△DCE中， ， ∴△ADP≌△DCE（ASA）， ∴DE＝AP， ∴AP＝EF， 故答案为：AP＝EF； （2）点Q的位置确定，BQ＝9；理由如下： 如图2，连接EQ， 由折叠可知：EF＝DE，CF＝CD＝12，∠EFQ＝∠EFC＝∠ADC＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴AE＝EF， ∵∠A＝∠EFQ＝90°，QE＝QE， ∴Rt△AEQ≌Rt△FEQ（HL）， ∴AQ＝FQ， 设BQ＝x，则FQ＝AQ＝12﹣x， 在Rt△BCQ中，CQ＝CF+FQ＝12+（12﹣x）＝24﹣x，BQ＝x，BC＝12， ∴（24﹣x）2﹣x2＝122， ∴x＝9， ∴BQ＝9； （3）取CD的中点O，再取OC的中点I，连接OG，HI，BI，如图3， ∵∠CGD＝90°， ∴， ∵点H是CG的中点，则HI是△COG的中位线， ∴， ∵∠BCD＝90°，BC＝AB＝12，， ∴， ∵， ∴当B、H、I共线时，BH的最小值为． 10．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝32，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于点E，EC＝7，求BC的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，若AB＝8，BC＝16，求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片ABCD中，AB＝10，BC＝16，点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长（注：长方形的对边平行且相等）． 解：（1）∵AC＝32，EC＝7， ∴AE＝AC﹣EC＝32﹣7＝25， 由折叠的性质得：BE＝AE＝25， 在Rt△BCE 中，由勾股定理得：BC， 即BC的长为24； （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝16，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， 由折叠的性质得：∠EBD＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴BE＝DE， 设AE＝x，则BE＝DE＝16﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2+AB2＝BE2， 即x2+82＝（16﹣x）2， 解得：x＝6， 即AE的长为6； （3）∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝8，∠B＝90°， 设线段BC的垂直平分线交BC于点M，交AD于点N，则MN＝AB＝10， 分两种情况：①如图，当点F在长方形内部时， ∵点F在线段BC 的垂直平分线MN上， ∴AN8，BMBC＝8， 由折叠的性质得：BF＝BA＝10，AE＝FE， 在Rt△BFM中，由勾股定理得：FM． ∴FN＝MN﹣FM＝10﹣6＝4， 设AE＝FE＝y，则EN＝8﹣y， 在Rt△ENF中，由勾股定理得：EF2＝EN2+FN2， 即y2＝（8﹣y）2+16， 解得：y＝5，即AE的长为5； ②如图，当点F在长方形外部时， 由折叠的性质得：BF＝BA＝10，AE＝FE，同①得：FM＝6，FN＝MN+FM＝10+6＝16， 设AE＝FE＝a，则EN＝a﹣8， 在Rt△ENF中，由勾股定理得：EF2＝EN2+FN2，即a2＝（a﹣8）2+162， 解得：a＝20，即AE的长为20； 综上所述，点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AE的长为5或20． 11．综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”． 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片ABCD，M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠，使点A的对应点E落在正方形内部，将纸片沿着ME折叠，点D的对应点为点F，折痕交CD于点N． 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片ABCD，M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠使点A的对应点E落在矩形内部，继续折叠纸片，使BE与BF在同一条直线上点C的对应点为点F，折痕交CD边于点P． 问题解决 任务1 在操作一中，试判断EN与CN的大小关系EN＝CN ； 连接BN，研究小组通过改变点M的位置发现∠MBN的大小不变，其度数为　45　 °； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若DM＝6，DN＝8，求正方形ABCD的边长； 任务3 在操作二中，若AB＝4，AM＝3，AD＝8，求CP的长． 解：任务1：EN＝CN，∠MBN＝45°， 连接BN，如图： 由折叠的性质可知，AB＝BE，∠BEM＝∠A＝90°，∠ABM＝∠EBM， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠C＝90°， ∴BE＝BC，∠C＝∠BEN＝90°， ∵BN＝BN， ∴△BEN≌△BCN（HL）， ∴EN＝CN，∠EBN＝∠CBN， ∴∠MBN∠ABE∠CBE∠ABC＝45°； 故答案为：EN＝CN，45； 任务2：∵DM＝6，DN＝8， ∴MN10， 由任务1知，EM＝AM，EN＝CN， 设AD＝CD＝x，则ME＝x﹣6，EN＝x﹣8， ∴x﹣6+x﹣8＝10， 解得：x＝12， 即正方形ABCD的边长为12； 任务3：连接MP，过M作MG⊥BP于G，如图： 由任务1可得∠MBP＝45°， ∵AM＝3，AB＝4， ∴BM＝5， ∴BG＝MG， 设PC＝y，DP＝4﹣y， ∵AD＝BC＝8， ∴PM2＝DM2+DP2＝25+（4﹣y）2＝y2﹣8y+41，BP， ∴PG＝BP﹣BG， ∴PM2＝MG2+PG2y2+645y2+89﹣5， ∴y2﹣8y+41＝y2+89﹣5， ∴548+8y， ∴50y2+3200＝2304+768y+64y2， ∴14y2+768y﹣896＝0， ∴（y+56）（7y﹣8）＝0， ∴y， 即CP． 12．折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： （1）小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段AB（如图1），将纸片沿AB折叠得到△ABC（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）小华先把一张正方形的纸片ABCD对折后再展开，折痕为EF（如图3），然后将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B（如图4），最后沿A'C折叠（如图5），得到△A′BC（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 解：（1）同意， 理由：如图2，∵将长方形纸∠沿AB折叠得到△ABC， ∴∠CAB＝∠MAB， ∵CB∥AM， ∴∠CBA＝∠MAB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形． （2）同意， 理由：如图6，∵把正方形ABCD对折后再展开，折痕为EF， ∴点C与点B关于直线EF对称， ∴EF垂直平分BC， ∴A′B＝A′C， ∵将点A翻折到EF上的点A′处，且使折痕过点B， ∴A′B＝AB， ∴AB＝BC， ∴A′B＝BC＝A′C， ∴△A′BC是等边三角形． 13．综合与实践 主题：折菱形 素材：如图1是一张边长为4cm的等边三角形纸片ABC． 要求：折一个菱形，使∠A为菱形的一个内角． 步骤如下： 第一步，折叠三角形纸片ABC，使AB边和AC边重合，折痕与BC边相交于点D； 第二步，沿着折痕AD继续折叠，使顶点A与点D重合，如图2；第三步，展开三角形纸片，如图3，两次折痕分别为AD、EF． 证明与计算： （1）连接DE，DF，求证：四边形AEDF是菱形； （2）如图4，点P为AF上一点，将△EAP沿EP翻折得△EA′P，PA'⊥DF，垂足为点G，求FG的长． （1）证明：如图，经两次折叠后，线段AE，AF，DE，DF重合， ∴AE＝AF＝DE＝DF． ∴四边形AEDF是菱形； （2）解：如图，连接A′F， 由折叠知AD⊥BC，AO＝DO，AD⊥EF， ∴EF∥BC． ∴AE＝BE＝2． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°． ∴∠EA′P＝∠BAC＝60°． ∴∠EA′G＝120°． ∵∠BAC＝60°，AE＝AF， ∴△AEF是等边三角形． ∴AE＝EF，∠AFE＝60°， ∴AE＝A′E＝EF． ∴∠EA′F＝∠EFA′． 由（1）知四边形AEDF是菱形， ∴AE∥DF． ∴∠PFG＝∠BAC＝60°． ∴∠EA′G＝∠EFG＝120°． ∴∠GA′F＝∠GFA′． ∴GA′＝GF． 设FG＝GA′＝x，在Rt△PFG中，∠PFG＝60°， ∴PF＝2x，AP＝A′P＝2﹣2x．， ∴PG＝A′P+A′G＝2﹣2x+x＝2﹣x． ∴． 解得． ∴FG的长为． 14．某班数学兴趣小组的同学在学习了轴对称知识后，利用一张长方形纸片ABCD进行折纸探究活动． （1）如图1，将长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠，点A的对应点是G．BG与CD交于点H． 求证：△DGH≌△BCH； （2）如图2，分别在AB，CD上取点E，F，将长方形纸片ABCD沿直线EF翻折，点A的对应点是A′，点D的对应点是D′，连接AA′，DD′，探究AA′和DD′的位置关系，并说明你的理由； （3）如图3，长方形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝12，点N为BC边上一点，CN＝3，AN＝13，将长方形纸片ABCD沿直线EF翻折后，点A的对应点是A′恰好落在射线AN上，点D的对应点是D′，连接BD′，求BD′的最小值，并说明你的理由． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， 由折叠性质得：GD＝AD，∠G＝∠A＝90°， ∴DG＝BC，∠G＝∠C＝90°， 在△DGH和△BCH中， ， ∴△DGH≌△BCH（AAS）； （2）AA'和DD'的位置关系是：AA'∥DD'，理由如下： 由折叠性质得：AA'⊥EF，DD'⊥EF， ∴AA'∥DD'； （3）作射线DD'，过点B作BH⊥DD'于点H，延长BC交DD'于点K，如图所示： ∵四边形ABCD是长方形，且AD＝8，AB＝12， ∴BC＝AD＝8，DC＝AB＝12，AB∥DC，∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝∠DAB＝90°， ∵CN＝3， ∴BN＝BC﹣CN＝5， ∵长方形纸片ABCD沿直线EF翻折后，点A的对应点是A'恰好落在射线AN上， ∴由（2）可知：AN∥DD'， ∴点D'在过点B与AN平行的直线上， 根据“垂线段最短”得：BD'≥BH， ∴当点D'于点H重合时，BD'为最小，最小值是线段BH的长， ∵AN∥DD'， ∴∠KDA+∠DAN＝180°， ∵∠KDA＝∠KDC+∠ADC＝∠KDC+90°，∠DAN＝∠DAB﹣∠NAB＝90°﹣∠NAB， ∴∠KDC+90°+90°﹣∠NAB＝180°， ∴∠KDC＝∠NAB， ∵AB∥DC， ∴∠KCD＝∠NBA＝90°， 在△KCD和△NBA中， ， ∴△KCD≌△NBA（ASA）， ∴CK＝BN＝5， ∴BK＝BC+CK＝8+5＝13， ∵AN＝13， ∴BK＝AN＝13， ∵BH⊥DD'于点H， ∴∠BHK＝∠ABN＝90°， ∵AN∥DD'， ∴∠BKH＝∠ANB， 在△BHK和△ABN中， ， ∴△BHK≌△ABN（AAS）， ∴BH＝AB＝12， ∴BD'的最小值是12． 15．项目式学习活动主题：估算A0纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为　　 ． 一般结论：正方形的对角线与边长的比是　，1　 ． 【项目素材】如图2，按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中A0纸的面积为1m2． 将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成两张A3纸；．．．．．．，将An纸沿长边对折、裁开，便成两张A（n+1）纸． （2）【任务探究】 任务一：A1纸面积是A2纸面积的　2　 倍，A2纸周长是A4纸周长的　2　 倍； （3）任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是AB和AE），观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比． （4）任务三：根据上述结论，估算A0纸的长和宽分别是多少毫米（结果取整数）． （参考数据：，，，，，，，） 解：（1）∵两个边长为1的小正方形，合成一个大正方形面积为2， ∴大正方形的边长为；正方形的对角线与边长的比是， 故答案为：； （2）根据图2的面积关系发现：A1纸面积是A2纸面积的2倍，A2纸周长是A4纸周长2倍； 故答案为：2，2； （3）由折叠的性质可知AC＝AB，由（1）可知在正方形中， ∴，即A4纸的长宽之比为； ∴将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠，观察发现点B恰好和点C重合，求A4纸的长与宽之比为； （4）由（3）可知：A0纸的长与宽之比是， 设A0纸的宽为xmm，则长为xmm， ∵A0纸的面积为1m2＝106mm2， ∴， ∴， ∴， ∴； 故A0纸的宽约为841mm，长约为1189mm． ( 第 1 页 共 48 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $