第一章 专题强化5 带电粒子在组合场中的运动（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（人教版 浙江）

DIYIZHANG 第一章 专题强化5　带电粒子在组合 场中的运动 1 1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。 2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。 3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。 学习目标 2 一、带电粒子在组合场中的运动 二、带电粒子在立体空间中的运动 专题强化练 内容索引 3 带电粒子在组合场中的运动 一 4 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域内交替出现。 2.组合场中的动力学分析 在匀强电场中：匀变速直线运动(速度方向与电场方向平行) 在匀强磁场中：匀速圆周运动 (速度方向与磁场方向垂直)   甲   乙 在匀强电场中：类平抛运动(初速度方向与电场方向垂直) 在匀强磁场中：匀速圆周运动 (速度方向与磁场方向垂直)   丙   丁 3.组合场运动情形图例 (多选)(2023·金华市十校高二期末)如图所示，竖直平面内存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，a、b两带正电的离子分别从静止开始经电压为U0的匀强电场加速后，从边界EH水平射入磁场，a离子在EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出，已知正方形边界的边长为2R，进入磁场时，两离子间的距离为0.5R，已知a离子的质量为m、电荷量为q，不计重力及离子间的相互作用。则下列说法正确的是 例1 A.磁场的磁感应强度B= B.若a、b两离子的比荷相同，则两离子在边界HG上的 出射点间的距离为(1-)R C.若a、b两离子的比荷为1∶4，则a、b两离子在磁场中运动的时间相等 D.若a、b两离子从同一点射出磁场区域，则a、b两离子的比荷之比为5∶2 √ √ 由动能定理可知qU0=m，由几何关系可知a的轨道 半径为R，则有qv0B=，联立可得B=，故A 正确； 若a、b两离子的比荷相同，由以上分析可知，两离子的轨道半径相同，则有由几何关系可知b离子在边界HG上的出射点到H的距离为d= =R，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为Δd=R -R=(1-)R，故B正确； 由A选项的表达式可得离子在磁场运动的半径为r= ，若a、b两离子的比荷为1∶4，则ra∶rb=2∶1， 可得rb=0.5R，则a、b都垂直边界HG射出，运动的圆 心角都是90°，则a的运动时间为ta=×=，则b的运动时间为tb =×=，则a、b两离子在磁场中运动的时间不相等，故C错误； 若a、b两离子从同一点射出磁场区域，则由几何关 系可知rb'2=R2+(rb'-0.5R)2，可得rb'=1.25R。 由r=，可得a、b两离子的比荷之比为=，故D错误。 如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y=-2h的P3点。不计重力。求： (1)电场强度的大小。 例2 答案　　 粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示。设粒子从P1运动到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二 定律qE=ma，根据运动学公式有v0t=2h，h=at2，联立解得E= (2)粒子到达P2时速度的大小和方向。 答案　v0　方向与x轴夹角45°斜向右下方　 粒子到达P2时速度沿x方向速度分量为v0，沿y方向 速度分量为v1，v表示速度的大小，θ为速度与x轴正 方向的夹角，则有=2ah，v=，解得v1 =v0，v=v0，由tan θ=，则可知θ=45°，方向与x 轴夹角45°斜向右下方。 (3)磁感应强度大小。 答案　 设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子 做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得qvB=m， r是圆周的半径，与x轴、y轴的交点为P2、P3，因 为OP2=OP3，θ=45°，由几何关系可知，连线P2P3 为圆周的直径，由几何关系可得r=h，联立解得B=。 总结提升 带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键。 (2023·杭州市高二期末)如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场，从y=L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x=2L处的c点。不计粒子重力。求： (1)磁感应强度B的大小； 例3 答案　　 带电粒子的运动轨迹如图 由几何关系可知r+rcos 60°=L 解得r=L 又因为qv0B=m 解得B= (2)电场强度E的大小； 答案　 带电粒子在电场中运动时，沿x轴有 2L=v0t2，沿y轴有L=a 又因为qE=ma 解得E= (3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。 答案　 带电粒子在磁场中运动时间为 t1=T=·=××= 带电粒子在电场中运动时间为t2=， 所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为=。 如图所示，平面直角坐标系xOy中，在x轴上方和 y=-L下方存在电场强度大小相等、方向相反(均平 行于y轴)的匀强电场，在x轴下方和y=-L间存在垂 直坐标平面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量 为q的带正电粒子，经过y轴上的点P1(0，L)时的速率为v0，方向沿x轴正 方向，然后经过x轴上的点P2(L，0)进入磁场，经偏转垂直y=-L虚线进入下方电场，不计粒子重力，sin 37°=，cos 37°=，求： 例4 (1)粒子到达P2点时的速度大小和方向； 答案　v0　方向与x轴正方向的夹角为53° 如图所示，粒子从P1到P2做类平抛运动，设到达 P2时的y轴方向分速度为vy，由运动学规律有L= v0t1，L=t1，可得t1=，vy=v0，故粒子在P2点 时的速度大小v==v0，设v与x轴正方向的夹角为β，则tan β ==，即β=53° (2)电场强度E和磁感应强度B的大小； 答案　　　 粒子从P1到P2， 由动能定理有qEL=mv2-m 可得E= 作出粒子运动轨迹如图所示，  设在磁场中做匀速圆周运动的半径为r， 则由几何关系可得r==L 由qvB=m得B== (3)粒子从P1点出发后至第5次经过x轴所经历的时间及此时经过x轴的位置坐标。 答案　　(L，0) 粒子运动一个周期的轨迹如图所示， 粒子从P1运动到P2，t1= 又因为T磁== 粒子从P2运动到M的时间为t2=T磁= 粒子从M运动到N， 由牛顿第二定律得加速度a== 则t3== 则粒子第5次经过x轴经历了2个周期加1个类平抛的时间， 即为t=4(t1+t2+t3)+t1= 每个周期内粒子会沿x轴正方向移动的距离为 Δx=2×L+2×(L-L·cos 37°)=4L 则粒子第5次经过x轴距坐标原点的距离为 x=2Δx+L=L，则坐标为(L，0)。 返回 带电粒子在立体空间中的运动 二 28 　(2024·台州市高二期末)如图，在空间直角坐标系 O-xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点 分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向 的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、 电荷量为+q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入 电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： 例5 (1)匀强电场的电场强度的大小E； 答案　 画出平面图如图甲所示： 粒子在电场区域内做类平抛运动， 设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看， 如图乙所示 粒子从O1点进入右边磁场，则L=v0t =at2，qE=ma 联立解得E= 甲 乙 (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。 答案　 设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴正方向夹角为θ， 如图乙所示，则vy=at，v= tan θ= 故tan θ=1 即有θ=45°，v=v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，则qvB=m， 粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，根据几何关系有R+Rcos 45°=L 解得B=。 乙 总结提升 此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和在磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。 返回 专题强化练 三 训练1　带电粒子在组合场中的运动 训练2　带电粒子在立体空间中的运动(选练) 35 1.(多选)(2024·宁波市高二期中)一带负电粒子的质量为 m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2 间的电压为U。将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度 释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、 方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行S2)，图中Ox垂直极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ=60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则 1 2 3 4 5 6 基础强化练 A.极板S1带正电 B.粒子到达O点的速度大小为 C.此粒子在磁场中运动的时间t= D.若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从 右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d= 1 2 3 4 5 6 √ √ 1 2 3 4 5 6 带负电粒子向右加速，所受静电力向右，电场强度 向左，说明极板S1带负电，故A错误； 设粒子到达O点的速度大小为v，由动能定理可得 qU=mv2，解得v=，故B正确； 由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ=60°=，此粒子在磁场中运动的时间t=T=×=，故C正确； 1 2 3 4 5 6 若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经 过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临 界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第 二定律可得qvB=m，把上述求得的速度大小代入 可得r=，则该有界磁场区域的宽度d=r=，故D错误。 2.(2023·绍兴市高二期末)如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差U=100 V，带电粒子以初速度v0=300 m/s沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d=20 cm，则 A.当v0=600 m/s，U=50 V时，d=20 cm B.当v0=600 m/s，U=100 V时，d=40 cm C.当v0=300 m/s，U=50 V时，d<20 cm D.当v0=600 m/s，U=100 V时，d<40 cm 1 2 3 4 5 6 √ 1 2 3 4 5 6 设带电粒子离开电场时的速度为v， 与水平方向夹角为θ， 可得v= 以速度v进入磁场中做匀速圆周运动， 由牛顿第二定律可得qvB=m 可得粒子在磁场中运动的半径r=， 1 2 3 4 5 6 由几何关系可得MN的距离d=2rcos θ 解得d=，与U无关， 故当v0=300 m/s时，d=20 cm， 当v0=600 m/s时，d=40 cm，B正确，A、C、D错误。 3.(2023·杭州市高二期中)如图所示，在xOy坐标系的 0≤y≤d的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在d <y≤2d的区域内分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁 场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。 现从原点O处沿x轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回电场。已知电场强度E= ，不计粒子重力。求： (1)粒子第一次穿过MN时的速度； 1 2 3 4 5 6 答案　2v0，方向与MN夹角为60°斜向右上方　 1 2 3 4 5 6 粒子的运动轨迹如图，设粒子第一次穿过MN时的 速度为v，粒子在电场中做类平抛运动，由动能定 理Eqd=mv2-m，解得v=2v0，同时有cos θ== ，故可知θ=60°，即方向与MN夹角为60°斜向右上方； (2)磁场的磁感应强度B的大小； 1 2 3 4 5 6 答案　　 设粒子在磁场中的运动轨迹半径为R，根据几何 关系有=sin 30°，解得R=d，粒子在磁场中做圆周运动Bqv=m，解得B=； (3)粒子再次回到x轴时在电场和磁场中运动的总时间。 1 2 3 4 5 6 答案　 根据对称性可知粒子从磁场中进入电场时与MN的 夹角为60°，根据几何知识可知粒子在磁场中运动 的圆心角为240°，粒子在磁场中运动的周期为T， 可知在磁场中运动的时间为t1=T，T=，解得t1=，粒子开始在电场中做类平抛运动时竖直方向有t2===，粒子再次进入 电场中做减速运动，根据对称性可知粒子第二次在电场中的时间也为t2，到达x轴时速度沿x轴方向，故粒子再次回到x轴时在电场和磁场中 运动的总时间为t总=2t2+t1=。 1 2 3 4 5 6 4.(多选)如图所示，虚线MN上方为匀强电场，下方为匀 强磁场，匀强电场的电场强度大小为E，方向竖直向下 且与边界MN成θ=45°角，匀强磁场的磁感应强度大小 为B，方向垂直纸面向外，在电场中有一点P，P点到边 界MN的竖直距离为d。现将一质量为m、电荷量为q的带 正电粒子从P处由静止释放(不计粒子所受重力，电场和磁场范围足够大)。则下列说法正确的是 1 2 3 4 5 能力综合练 6 A.粒子第一次进入磁场时的速度大小v= B.粒子第一次进入磁场到第一次离开磁场的时间t= C.粒子第一次离开磁场到第二次进入磁场的时间t1= D.粒子第一次在磁场中运动的半径R= 1 2 3 4 5 √ √ 6 设粒子第一次进入磁场时的速度大小为v，由动能定理可得 qEd=mv2-0，解得v=，故A正确； 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T==，由几何关 系可得，粒子第一次进磁场到第一次出磁场用时t=，故B正确； 粒子在电场中做类平抛运动则有x=vt1，y=a，qE=ma，由几何知识可得x=y，解得t1=，故C错误； 由qvB=m，代入v=，解得R=，故D错误。 1 2 3 4 5 6 5.(2023·杭州市高二期中)如图所示，半径为R、磁感应强 度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形磁场区域，右侧与 y轴相切于C点，下侧与x轴相切于O点，感光板(足够大)与 y轴的距离为1.5R。已知质量为m，带电荷量为q的粒子过 O点垂直于x轴射入，从C点垂直于y轴射出。不计粒子的重力。 (1)求该粒子速率v0； 1 2 3 4 5 6 答案　　 1 2 3 4 5 6 由几何关系可得r=R， 由洛伦兹力提供向心力得qv0B=， 解得v0= (2)若在y轴与感光板之间充满垂直纸面的匀强磁场，求能使该粒子击中感光板的磁感应强度大小范围； 1 2 3 4 5 6 答案　B1≤B　 1 2 3 4 5 6 粒子进入右侧磁场后，粒子仍做匀速圆周运动，当 圆周与感光板相切时，粒子恰好打在感光板上，即 粒子的半径r1=1.5R，由洛伦兹力提供向心力得qv0B1 =m，解得B1=B，能使粒子击中感光板的磁感应 强度大小范围为B1≤B。 (3)现有大量速率为v0的同种粒子沿不同方向从坐标O点处射入磁场。若在y轴与感光板之间加沿y轴正方向 E0=的匀强电场，求粒子打在感光板上的范围。 1 2 3 4 5 6 答案　y轴正方向上，2R≤y≤4R 1 2 3 4 5 6 粒子进入电场后，粒子在电场中均可看作做类平抛运动， 由牛顿第二定律qE0=ma， 又E0=， 在x轴方向上有1.5R=v0t， 在y轴方向上有y=at2，解得y=2R，如图所示，粒子打在感光板上的范 围为：y轴正方向上，2R≤y≤4R。 6.如图甲所示，粒子加速器与速度选 择器并排放置，已知速度选择器内匀 强磁场磁感应强度大小为B1、电场强 度大小为E。在速度选择器右侧建立 xOy坐标系，0≤x≤d的区域里有磁场，规定磁场方向垂直纸面向里为正， 磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，其中T0=。质量为m、 电荷量为+q的粒子从加速器M极板由静止释放，通过N极板中间的小孔后进入速度选择器，沿直线穿过速度选择器后从O点沿x轴射入磁场。 1 2 3 4 5 6 尖子生选练 (1)求粒子到达O点的速度v0和M、N两板 间的电压U0； 1 2 3 4 5 6 答案　　　 粒子沿直线穿过速度选择器，根据受力平衡可得qE=qv0B1 解得v0= 粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得qU0=m 解得M、N两板间的电压为U0= (2)若粒子在t=0时从O点射入磁场，且在t<的某时刻从点P(d，)离开磁场，求B0的大小； 1 2 3 4 5 6 答案　　 1 2 3 4 5 6 若粒子在t=0时从O点射入磁场，且在t<的某时刻从点P(d，)离开磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 qv0B0=m 由几何关系可得R2=d2+(R-)2 解得R=d 联立解得B0== (3)若B0=，粒子在t=时刻从O点射入磁场，求粒子离开磁场时的位置坐标。 1 2 3 4 5 6 答案　(d，-d) 1 2 3 4 5 6 若B0=，则粒子在磁场中的轨道半径为R1==d 粒子在磁场中运动的周期为 T1===2T0 粒子在t=时刻从O点射入磁场，可知粒子进入磁场时磁场方向刚好变为向外，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据图中几何关系可得cos θ=== 可知粒子离开磁场时的纵坐标为y=-(3R1+R1sin θ)=-d 则粒子离开磁场时的位置坐标为(d，-d)。 1.(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ 划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向 相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左 侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质 子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是 1 2 3 4 5 基础强化练 √ 由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左 侧运动，刚进入时根据左手定则可知受到y轴正方向 的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方 向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由 对称性可知，A可能正确，B错误； 根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。 1 2 3 4 5 2.如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N间的电势差为U；底面半径为L的圆柱体区域内有竖直向上的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子，从圆筒M右侧由静止释放，粒子在两筒间做匀加速直线运动，在N筒内做匀速直线运动，粒子自圆筒N出来后，正对着磁场区域的中心轴线垂直进入磁场区域，在磁场中偏转了60°后射出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求： (1)粒子进入磁场区域时的速率； 答案　 1 2 3 4 5 粒子在电场中加速，由动能定理可知qU=mv2，解得v= 1 2 3 4 5 (2)磁感应强度的大小。 答案　 1 2 3 4 5 根据题意以及“径向进，径向出”的规律，轨迹如图所示(俯视图) 分析可得粒子在磁场中运动的轨迹半径 R=Ltan 60°=L 粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m 解得B= 1 2 3 4 5 3.(2024·宁波市高二期末)如图所示空间内有一垂直于x轴的足够大的平面M，M将x≥0的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为B，方向相反且平行于y轴的匀强磁场，xOy平面内有一带电粒子从O点以速度v射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与x轴正向成θ=37°，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过y轴上的P点，其中yP=7d，不计带电粒子的重力，sin 37°=0.6。则该粒子的比荷为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 能力综合练 √ 将粒子的入射速度沿水平方向与竖直方向分解，则 有vx=vcos θ=v，vy=vsin θ=v，粒子水平方向的分运 动为匀速圆周运动，竖直方向的分运动为匀速直线 运动，假设粒子带正电，Ⅰ、Ⅱ两部分磁场方向分 别沿y轴正方向与y轴负方向，作出粒子水平方向运动的俯视图如图所示。 1 2 3 4 5 粒子在水平方向中做匀速圆周运动，则有qvxB= m，粒子做匀速圆周运动的周期T=，解得 R=，T=，粒子在左右磁场中做圆周运动 的半径相等，则有α=60°，粒子在水平方向做圆周运动的时间tx=T，粒子在竖直方向做匀速直线运动的时间ty=，根据分运动的等时性有tx=ty，解得=，故选A。 1 2 3 4 5 4.(2024·台州市高二期末)如图所示，空间直角坐标系Oxyz 中，M、N为竖直放置的两金属板构成的加速器，两板间 电压为U。荧光屏Q位于Oxy平面上，虚线分界面P将金属 N、荧光屏Q间的区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、 N、P与Oxy平面平行，ab连线与z轴重合。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿y轴负方向 的匀强磁场和y轴正方向匀强电场，磁感应强度大小为、电场强度大小为。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板上的a点静止释放，经加速器加 速后从N板上的b孔射出，最后打在荧光屏Q上。不考虑粒子的重力，M、N、P、Q足够大，不计M、N间的边缘效应。求： 1 2 3 4 5 (1)粒子在b点速度大小及在磁场中做圆周运动的半径R； 答案　　d　 1 2 3 4 5 粒子在电场加速过程，根据动能定理有qU=mv2，解得v=。粒子 在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qBv0= m，结合上述解得R=d。 (2)粒子经过P分界面时到z轴的距离； 答案　d-d 1 2 3 4 5 作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系有sin θ=，解得θ=45° 可知粒子经过P分界面时到z轴距离为 x1=R-Rcos 45°=d-d。 (3)粒子打到光屏Q上的位置，用坐标(x，y，z表示)。 答案　(d，，0) 1 2 3 4 5 在区域Ⅱ电场中，粒子在z轴上移动的时间为 t=，在x轴上做匀速直线运动，则有x2= vsin θt=d，所以在x轴的横坐标为x=x1+x2=d 在y轴上做初速度为0的匀加速直线运动，且qE=ma， 则有y=at2=d，，0)。 1 2 3 4 5 5.(2023·浙江高二期末)如图所示为某离子实验装置 的原理图，Ⅰ区宽度为d1，左边界与x轴垂直交于坐 标原点O，其内充满沿y轴正方向的匀强电场，电场 强度大小为E；Ⅱ区宽度为d2，左边界与x轴垂直交 于O1点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感 应强度大小为B=。足够大的测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心与 O2点重合，以O2为原点建立zO2y坐标系，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，离子以某初速度沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区到达测试板。离子从Ⅰ区飞出时的位置到O1点的距离l。忽略离子间的相互作用，不计离子的重力。求： 1 2 3 4 5 (1)离子进入Ⅰ区的初速度大小； 答案　d1　 1 2 3 4 5 设离子在Ⅰ区内做类平抛运动的时间为t1，则x方向d1=v0t1，y方向l= a，由牛顿第二定律得qE=ma，解得v0=d1； 1 2 3 4 5 (2)离子在Ⅱ区运动的路程； 答案　 1 2 3 4 5 离子刚飞出Ⅰ区时沿y轴方向的速度大小vy= at1=，合速度的大小为v== ，在Ⅱ区内沿x方向做匀速直 线运动，设离子在Ⅱ区运动的时间为t2，x方向d2=v0t2，解得t2=，离子在Ⅱ区运动的路程s=vt2=； 1 2 3 4 5 (3)离子打在测试板上的位置与O2点的连线沿y轴方向的距离。 答案　 1 2 3 4 5 设离子在Ⅱ区yO2z平面方向做匀速圆周运 动的半径为r，则qvyB=m，T=，解得 r=，T=，则离子在yO2z平面方 向转动的圈数N==周，由几何关系可知，离子打在测试板上的位置与O2点的连线沿y轴方向的距离ly==。 1 2 3 4 5 返回 $ 专题强化5　带电粒子在组合场中的运动 ［学习目标］　1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。 一、带电粒子在组合场中的运动 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域内交替出现。 2.组合场中的动力学分析 3.组合场运动情形图例 在匀强电场中：匀变速直线运动(速度方向与电场方向平行) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 甲 乙 在匀强电场中：类平抛运动(初速度方向与电场方向垂直) 在匀强磁场中：匀速圆周运动(速度方向与磁场方向垂直) 丙 丁 例1　(多选)(2023·金华市十校高二期末)如图所示，竖直平面内存在边界为正方形EFGH、方向垂直纸面向外的匀强磁场，a、b两带正电的离子分别从静止开始经电压为U0的匀强电场加速后，从边界EH水平射入磁场，a离子在EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出，已知正方形边界的边长为2R，进入磁场时，两离子间的距离为0.5R，已知a离子的质量为m、电荷量为q，不计重力及离子间的相互作用。则下列说法正确的是(　　) A.磁场的磁感应强度B= B.若a、b两离子的比荷相同，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为(1-)R C.若a、b两离子的比荷为1∶4，则a、b两离子在磁场中运动的时间相等 D.若a、b两离子从同一点射出磁场区域，则a、b两离子的比荷之比为5∶2 答案　AB 解析　由动能定理可知qU0=m，由几何关系可知a的轨道半径为R，则有qv0B=，联立可得B=，故A正确；若a、b两离子的比荷相同，由以上分析可知，两离子的轨道半径相同，则有由几何关系可知b离子在边界HG上的出射点到H的距离为d==R，则两离子在边界HG上的出射点间的距离为Δd=R-R=(1-)R，故B正确；由A选项的表达式可得离子在磁场运动的半径为r=，若a、b两离子的比荷为1∶4，则ra∶rb=2∶1，可得rb=0.5R，则a、b都垂直边界HG射出，运动的圆心角都是90°，则a的运动时间为ta=×=，则b的运动时间为tb=×=，则a、b两离子在磁场中运动的时间不相等，故C错误；若a、b两离子从同一点射出磁场区域，则由几何关系可知rb'2=R2+(rb'-0.5R)2，可得rb'=1.25R。 由r=，可得a、b两离子的比荷之比为∶=，故D错误。 例2　如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y=-2h的P3点。不计重力。求： (1)电场强度的大小。 (2)粒子到达P2时速度的大小和方向。 (3)磁感应强度大小。 答案　(1)　(2)v0　方向与x轴夹角45°斜向右下方　(3) 解析　(1)粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示。设粒子从P1运动到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律qE=ma，根据运动学公式有v0t=2h，h=at2，联立解得E= (2)粒子到达P2时速度沿x方向速度分量为v0，沿y方向速度分量为v1，v表示速度的大小，θ为速度与x轴正方向的夹角，则有=2ah，v=，解得v1=v0，v=v0，由tan θ=，则可知θ=45°，方向与x轴夹角45°斜向右下方。 (3)设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得qvB=m，r是圆周的半径，与x轴、y轴的交点为P2、P3，因为OP2=OP3，θ=45°，由几何关系可知，连线P2P3为圆周的直径，由几何关系可得r=h，联立解得B=。 带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键。 例3　(2023·杭州市高二期末)如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场，从y=L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x=2L处的c点。不计粒子重力。求： (1)磁感应强度B的大小； (2)电场强度E的大小； (3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)带电粒子的运动轨迹如图 由几何关系可知r+rcos 60°=L 解得r=L 又因为qv0B=m 解得B= (2)带电粒子在电场中运动时，沿x轴有 2L=v0t2，沿y轴有L=a 又因为qE=ma 解得E= (3)带电粒子在磁场中运动时间为 t1=T=·=××= 带电粒子在电场中运动时间为t2=， 所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为 =。 例4　如图所示，平面直角坐标系xOy中，在x轴上方和y=-L下方存在电场强度大小相等、方向相反(均平行于y轴)的匀强电场，在x轴下方和y=-L间存在垂直坐标平面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经过y轴上的点P1(0，L)时的速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上的点P2(L，0)进入磁场，经偏转垂直y=-L虚线进入下方电场，不计粒子重力，sin 37°=，cos 37°=，求： (1)粒子到达P2点时的速度大小和方向； (2)电场强度E和磁感应强度B的大小； (3)粒子从P1点出发后至第5次经过x轴所经历的时间及此时经过x轴的位置坐标。 答案　(1)v0　方向与x轴正方向的夹角为53° (2)　　(3)　(L，0) 解析　(1)如图所示，粒子从P1到P2做类平抛运动，设到达P2时的y轴方向分速度为vy，由运动学规律有L=v0t1，L=t1，可得t1=，vy=v0，故粒子在P2点时的速度大小v==v0，设v与x轴正方向的夹角为β，则tan β==，即β=53° (2)粒子从P1到P2， 由动能定理有qEL=mv2-m 可得E= 作出粒子运动轨迹如图所示， 设在磁场中做匀速圆周运动的半径为r， 则由几何关系可得r==L 由qvB=m得B== (3)粒子运动一个周期的轨迹如图所示， 粒子从P1运动到P2，t1= 又因为T磁== 粒子从P2运动到M的时间为t2=T磁= 粒子从M运动到N， 由牛顿第二定律得加速度a== 则t3== 则粒子第5次经过x轴经历了2个周期加1个类平抛的时间， 即为t=4(t1+t2+t3)+t1= 每个周期内粒子会沿x轴正方向移动的距离为 Δx=2×L+2×(L-L·cos 37°)=4L 则粒子第5次经过x轴距坐标原点的距离为 x=2Δx+L=L，则坐标为(L，0)。 二、带电粒子在立体空间中的运动 例5　(2024·台州市高二期末)如图，在空间直角坐标系O-xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)匀强电场的电场强度的大小E； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。 答案　(1)　(2) 解析　画出平面图如图甲所示： (1)粒子在电场区域内做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看，如图乙所示 甲　　　　　　　　　　乙 粒子从O1点进入右边磁场，则L=v0t =at2，qE=ma 联立解得E= (2)设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴正方向夹角为θ，如图乙所示，则vy=at，v= tan θ= 故tan θ=1 即有θ=45°，v=v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，则qvB=m，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，根据几何关系有R+Rcos 45°=L 解得B=。 此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和在磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。 专题强化练 训练1　带电粒子在组合场中的运动　［分值：50分］ 1、2题每题4分，3题11分，共19分 1.(多选)(2024·宁波市高二期中)一带负电粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电压为U。将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行S2)，图中Ox垂直极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ=60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则(　　) A.极板S1带正电 B.粒子到达O点的速度大小为 C.此粒子在磁场中运动的时间t= D.若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d= 答案　BC 解析　带负电粒子向右加速，所受静电力向右，电场强度向左，说明极板S1带负电，故A错误；设粒子到达O点的速度大小为v，由动能定理可得qU=mv2，解得v=，故B正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ=60°=，此粒子在磁场中运动的时间t=T=×=，故C正确； 若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，把上述求得的速度大小代入可得r=，则该有界磁场区域的宽度d=r=，故D错误。 2.(2023·绍兴市高二期末)如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差U=100 V，带电粒子以初速度v0=300 m/s沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，粒子射入磁场和射出磁场的M、N两点间的距离d=20 cm，则(　　) A.当v0=600 m/s，U=50 V时，d=20 cm B.当v0=600 m/s，U=100 V时，d=40 cm C.当v0=300 m/s，U=50 V时，d<20 cm D.当v0=600 m/s，U=100 V时，d<40 cm 答案　B 解析　设带电粒子离开电场时的速度为v， 与水平方向夹角为θ， 可得v= 以速度v进入磁场中做匀速圆周运动， 由牛顿第二定律可得qvB=m 可得粒子在磁场中运动的半径r=， 由几何关系可得MN的距离d=2rcos θ 解得d=，与U无关， 故当v0=300 m/s时，d=20 cm， 当v0=600 m/s时，d=40 cm，B正确，A、C、D错误。 3.(11分)(2023·杭州市高二期中)如图所示，在xOy坐标系的0≤y≤d的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在d<y≤2d的区域内分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。现从原点O处沿x轴正方向发射出速率为v0、比荷(电荷量与质量之比)为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回电场。已知电场强度E=，不计粒子重力。求： (1)(3分)粒子第一次穿过MN时的速度； (2)(3分)磁场的磁感应强度B的大小； (3)(5分)粒子再次回到x轴时在电场和磁场中运动的总时间。 答案　(1)2v0，方向与MN夹角为60°斜向右上方　(2)　(3) 解析　(1)粒子的运动轨迹如图，设粒子第一次穿过MN时的速度为v，粒子在电场中做类平抛运动，由动能定理Eqd=mv2-m，解得v=2v0，同时有cos θ==，故可知θ=60°，即方向与MN夹角为60°斜向右上方； (2)设粒子在磁场中的运动轨迹半径为R，根据几何关系有=sin 30°，解得R=d，粒子在磁场中做圆周运动Bqv=m，解得B=； (3)根据对称性可知粒子从磁场中进入电场时与MN的夹角为60°，根据几何知识可知粒子在磁场中运动的圆心角为240°，粒子在磁场中运动的周期为T，可知在磁场中运动的时间为t1=T，T=，解得t1=，粒子开始在电场中做类平抛运动时竖直方向有t2===，粒子再次进入电场中做减速运动，根据对称性可知粒子第二次在电场中的时间也为t2，到达x轴时速度沿x轴方向，故粒子再次回到x轴时在电场和磁场中运动的总时间为t总=2t2+t1=。 4题6分，5题12分，共18分 4.(多选)如图所示，虚线MN上方为匀强电场，下方为匀强磁场，匀强电场的电场强度大小为E，方向竖直向下且与边界MN成θ=45°角，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在电场中有一点P，P点到边界MN的竖直距离为d。现将一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P处由静止释放(不计粒子所受重力，电场和磁场范围足够大)。则下列说法正确的是(　　) A.粒子第一次进入磁场时的速度大小v= B.粒子第一次进入磁场到第一次离开磁场的时间t= C.粒子第一次离开磁场到第二次进入磁场的时间t1= D.粒子第一次在磁场中运动的半径R= 答案　AB 解析　设粒子第一次进入磁场时的速度大小为v，由动能定理可得qEd=mv2-0，解得v=，故A正确； 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T==，由几何关系可得，粒子第一次进磁场到第一次出磁场用时t=，故B正确； 粒子在电场中做类平抛运动则有x=vt1，y=a，qE=ma，由几何知识可得x=y，解得t1=，故C错误； 由qvB=m，代入v=，解得R=，故D错误。 5.(12分)(2023·杭州市高二期中)如图所示，半径为R、磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形磁场区域，右侧与y轴相切于C点，下侧与x轴相切于O点，感光板(足够大)与y轴的距离为1.5R。已知质量为m，带电荷量为q的粒子过O点垂直于x轴射入，从C点垂直于y轴射出。不计粒子的重力。 (1)(3分)求该粒子速率v0； (2)(4分)若在y轴与感光板之间充满垂直纸面的匀强磁场，求能使该粒子击中感光板的磁感应强度大小范围； (3)(5分)现有大量速率为v0的同种粒子沿不同方向从坐标O点处射入磁场。若在y轴与感光板之间加沿y轴正方向E0=的匀强电场，求粒子打在感光板上的范围。 答案　(1)　(2)B1≤B　(3)y轴正方向上，2R≤y≤4R 解析　(1)由几何关系可得r=R， 由洛伦兹力提供向心力得qv0B=， 解得v0= (2)粒子进入右侧磁场后，粒子仍做匀速圆周运动，当圆周与感光板相切时，粒子恰好打在感光板上，即粒子的半径r1=1.5R，由洛伦兹力提供向心力得qv0B1=m，解得B1=B，能使粒子击中感光板的磁感应强度大小范围为B1≤B。 (3)粒子进入电场后，粒子在电场中均可看作做类平抛运动，由牛顿第二定律qE0=ma， 又E0=， 在x轴方向上有1.5R=v0t， 在y轴方向上有y=at2，解得y=2R，如图所示，粒子打在感光板上的范围为：y轴正方向上， 2R≤y≤4R。 6.(13分)如图甲所示，粒子加速器与速度选择器并排放置，已知速度选择器内匀强磁场磁感应强度大小为B1、电场强度大小为E。在速度选择器右侧建立xOy坐标系，0≤x≤d的区域里有磁场，规定磁场方向垂直纸面向里为正，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，其中T0=。质量为m、电荷量为+q的粒子从加速器M极板由静止释放，通过N极板中间的小孔后进入速度选择器，沿直线穿过速度选择器后从O点沿x轴射入磁场。 (1)(3分)求粒子到达O点的速度v0和M、N两板间的电压U0； (2)(3分)若粒子在t=0时从O点射入磁场，且在t<的某时刻从点P(d，)离开磁场，求B0的大小； (3)(7分)若B0=，粒子在t=时刻从O点射入磁场，求粒子离开磁场时的位置坐标。 答案　(1)　　(2)　(3)(d，-d) 解析　(1)粒子沿直线穿过速度选择器，根据受力平衡可得qE=qv0B1 解得v0= 粒子经过加速电场过程，根据动能定理可得 qU0=m 解得M、N两板间的电压为U0= (2)若粒子在t=0时从O点射入磁场，且在t<的某时刻从点P(d，)离开磁场，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得qv0B0=m 由几何关系可得R2=d2+(R-)2 解得R=d 联立解得B0== (3)若B0=，则粒子在磁场中的轨道半径为R1==d 粒子在磁场中运动的周期为 T1===2T0 粒子在t=时刻从O点射入磁场，可知粒子进入磁场时磁场方向刚好变为向外，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据图中几何关系可得 cos θ= == 可知粒子离开磁场时的纵坐标为 y=-(3R1+R1sin θ)=-d 则粒子离开磁场时的位置坐标为(d，-d)。 训练2　带电粒子在立体空间中的运动(选练)　［分值：50分］ 1题5分，2题12分，共17分 1.(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是(　　) 答案　A 解析　由题意知当质子垂直Oyz平面进入磁场后先在MN左侧运动，刚进入时根据左手定则可知受到y轴正方向的洛伦兹力，做匀速圆周运动，即质子会向y轴正方向偏移，y轴坐标增大，在MN右侧磁场方向反向，由对称性可知，A可能正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故C、D错误。 2.(12分)如图所示，M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分，M与N间的电势差为U；底面半径为L的圆柱体区域内有竖直向上的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子，从圆筒M右侧由静止释放，粒子在两筒间做匀加速直线运动，在N筒内做匀速直线运动，粒子自圆筒N出来后，正对着磁场区域的中心轴线垂直进入磁场区域，在磁场中偏转了60°后射出磁场区域，忽略粒子受到的重力。求： (1)(3分)粒子进入磁场区域时的速率； (2)(9分)磁感应强度的大小。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子在电场中加速，由动能定理可知qU=mv2，解得v= (2)根据题意以及“径向进，径向出”的规律，轨迹如图所示(俯视图) 分析可得粒子在磁场中运动的轨迹半径 R=Ltan 60°=L 粒子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m 解得B= 3题6分，4题13分，5题14分，共33分 3.(2024·宁波市高二期末)如图所示空间内有一垂直于x轴的足够大的平面M，M将x≥0的区域分成Ⅰ、Ⅱ两部分，分别填充磁感应强度大小为B，方向相反且平行于y轴的匀强磁场，xOy平面内有一带电粒子从O点以速度v射入Ⅰ区的匀强磁场中，速度方向与x轴正向成θ=37°，粒子在Ⅰ、Ⅱ两区域内运动后会经过y轴上的P点，其中yP=7d，不计带电粒子的重力，sin 37°=0.6。则该粒子的比荷为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将粒子的入射速度沿水平方向与竖直方向分解，则有vx=vcos θ=v，vy=vsin θ=v，粒子水平方向的分运动为匀速圆周运动，竖直方向的分运动为匀速直线运动，假设粒子带正电，Ⅰ、Ⅱ两部分磁场方向分别沿y轴正方向与y轴负方向，作出粒子水平方向运动的俯视图如图所示。 粒子在水平方向中做匀速圆周运动，则有qvxB=m，粒子做匀速圆周运动的周期T=，解得R=，T=，粒子在左右磁场中做圆周运动的半径相等，则有α=60°，粒子在水平方向做圆周运动的时间tx=T，粒子在竖直方向做匀速直线运动的时间ty=，根据分运动的等时性有tx=ty，解得=，故选A。 4.(13分)(2024·台州市高二期末)如图所示，空间直角坐标系Oxyz中，M、N为竖直放置的两金属板构成的加速器，两板间电压为U。荧光屏Q位于Oxy平面上，虚线分界面P将金属N、荧光屏Q间的区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P与Oxy平面平行，ab连线与z轴重合。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿y轴负方向的匀强磁场和y轴正方向匀强电场，磁感应强度大小为、电场强度大小为。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板上的a点静止释放，经加速器加速后从N板上的b孔射出，最后打在荧光屏Q上。不考虑粒子的重力，M、N、P、Q足够大，不计M、N间的边缘效应。求： (1)(3分)粒子在b点速度大小及在磁场中做圆周运动的半径R； (2)(4分)粒子经过P分界面时到z轴的距离； (3)(6分)粒子打到光屏Q上的位置，用坐标(x，y，z表示)。 答案　(1)　d　(2)d-d (3)(d，，0) 解析　(1)粒子在电场加速过程，根据动能定理有qU=mv2，解得v=。粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qBv0=m，结合上述解得R=d。 (2)作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 根据几何关系有sin θ=，解得θ=45° 可知粒子经过P分界面时到z轴距离为 x1=R-Rcos 45°=d-d。 (3)在区域Ⅱ电场中，粒子在z轴上移动的时间为t=，在x轴上做匀速直线运动，则有x2=vsin θt=d，所以在x轴的横坐标为x=x1+x2=d 在y轴上做初速度为0的匀加速直线运动，且qE=ma，则有y=at2=，可知坐标为(d，，0)。 5.(14分)(2023·浙江高二期末)如图所示为某离子实验装置的原理图，Ⅰ区宽度为d1，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；Ⅱ区宽度为d2，左边界与x轴垂直交于O1点，右边界与x轴垂直交于O2点，其内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=。足够大的测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心与O2点重合，以O2为原点建立zO2y坐标系，从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，离子以某初速度沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区到达测试板。离子从Ⅰ区飞出时的位置到O1点的距离l。忽略离子间的相互作用，不计离子的重力。求： (1)(3分)离子进入Ⅰ区的初速度大小； (2)(4分)离子在Ⅱ区运动的路程； (3)(7分)离子打在测试板上的位置与O2点的连线沿y轴方向的距离。 答案　(1)d1　(2) (3) 解析　(1)设离子在Ⅰ区内做类平抛运动的时间为t1，则x方向d1=v0t1，y方向l=a，由牛顿第二定律得qE=ma，解得v0=d1； (2)离子刚飞出Ⅰ区时沿y轴方向的速度大小vy=at1=，合速度的大小为v==，在Ⅱ区内沿x方向做匀速直线运动，设离子在Ⅱ区运动的时间为t2，x方向d2=v0t2，解得t2=，离子在Ⅱ区运动的路程s=vt2=； (3)设离子在Ⅱ区yO2z平面方向做匀速圆周运动的半径为r，则qvyB=m，T=，解得r=，T=，则离子在yO2z平面方向转动的圈数N==周，由几何关系可知，离子打在测试板上的位置与O2点的连线沿y轴方向的距离ly==。 学科网（北京）股份有限公司 $