第一章 专题强化3 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（人教版 浙江）

专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 ［学习目标］　会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动。 一、单边直线边界 粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d为粒子进出磁场的位置相距的距离。 例1　如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ(θ<)角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子(　　) A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 答案　C 解析　两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个离子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T，同理，负离子运动时间t2=T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB=，得r=，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ，r、θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 二、平行边界 如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。 例2　如图，在(0≤x≤L)区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从y轴上P点，以速率v沿x轴的正方向射入磁场，从磁场右边界上某点离开磁场，并经过x轴上的Q(2L，0)点，此时速度方向与x轴正方向的夹角为45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。 答案　L　 解析　粒子运动轨迹如图所示。 设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有y=(2L-L)tan 45°=L r==L 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m 解得磁场磁感应强度的大小为B=。 三、圆形边界 1.粒子进出磁场具有对称性 在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 2.在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 例3　(2024·杭州市高二期末)在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案　(1)负电荷　　(2)B　 解析　(1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R=r，又qvB=m，则粒子的比荷=。 (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径R'==r，又R'=，所以B'=B，此次粒子在磁场中运动所用时间t=T=×=。 例4　如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC=90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是(　　) A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为4d 答案　D 解析　由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作速度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心O'。如图，由几何关系可知，OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P=60°，=2d==r，洛伦兹力提供向心力qvB=m，联立解得=；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=；直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。 四、多边形边界或三角形边界 例5　如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为(　　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1 答案　B 解析　根据周期公式T=可知，只改变速度大小，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时，速度偏转角为θ1=2×60°=120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°，可得粒子在磁场中的运动时间为t1=T=；同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时，速度偏转角为θ2=2×30°=60°，所以轨迹所对应的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间为t2=T=，因此t1∶t2=2∶1，选项B正确。 多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多，但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界，如本题中带电粒子从b、c点离开磁场，就可以看成是直线边界磁场问题，根据直线边界磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。 专题强化练　［分值：100分］ 1~5题每题8分，6题12分，共52分 1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为(　　) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 答案　B 解析　由洛伦兹力提供向心力有qvB=，又T=，解得T=，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 2.(2024·金华市高二期中)如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于(　　) A.1∶(2-) B.(2-)∶1 C.2∶1 D.∶1 答案　B 解析　设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ= 解得r=，电子做匀速圆周运动有 qvB=，v=∝r 联立可得v1∶v2=(2-)∶1，故B正确。 3.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　粒子的运动轨迹如图所示，粒子做匀速圆周运动的轨道半径r==R 根据洛伦兹力提供向心力得 qv0B=m，解得B=，故A正确。 4.(2023·嘉兴市高二期中)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力及相互影响，则(　　) A.从P点射出的粒子速度大 B.从Q点射出的粒子速度大 C.从P点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D.从Q点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 答案　B 解析　粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，由图知，粒子运动的半径rP<rQ，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m，解得v=，粒子运动速度vP<vQ，故A错误，B正确。粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系(图示弦切角相等)，粒子在磁场中转过的圆心角相等，根据粒子在磁场中运动的时间t=T，又因为粒子在磁场中做圆周运动的周期T=，可知粒子在磁场中运动的时间相等，故C、D错误。 5.(2023·浙江高二月考)如图所示，边长为l0的正方形abcd区域内(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在a点处有一粒子源，能够沿ab方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，则(　　) A.轨迹不同的粒子，在磁场中运动时间一定不同 B.从c点射出的粒子入射速度大小为 C.从d点射出的粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子在边界上出射点距a点越远，在磁场中运动的时间越短 答案　C 解析　粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB=m，解得半径R=，粒子运动的周期T==，设粒子在磁场中转过的圆心角为θ，粒子在磁场中的运动时间t=T=，粒子速率不同运动轨迹不同，如果转过的圆心角θ相等，则粒子在磁场中的运动时间相等，如从ad边离开磁场的粒子在磁场中转过半个圆周，虽然运动轨迹不同，但运动时间都相同，为T，A、D错误；从c点射出的粒子半径R=l0，由qvB=m解得速度v=，B错误；从d点射出的粒子运动时间为半个周期t=T=，C正确。 6.(12分)一带电粒子的质量m=1.7×10-27 kg，电荷量q=1.6×10-19 C，以速度v=3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B=0.17 T，磁场的宽度L=10 cm，如图所示。粒子重力忽略不计，求：(g取10 m/s2，计算结果均保留两位有效数字) (1)(2分)带电粒子离开磁场时的速度大小； (2)(8分)带电粒子在磁场中运动的时间； (3)(2分)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？ 答案　(1)3.2×106 m/s　(2)3.3×10-8 s (3)2.7×10-2 m 解析　(1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时的速度大小仍为3.2×106 m/s； (2)洛伦兹力提供向心力，由qvB=m， 得轨道半径为r==0.2 m， 由题图可知偏转角θ满足sin θ===0.5，所以θ=30°=， 带电粒子在磁场中运动的周期为T=， 故带电粒子在磁场中运动的时间为t=T=T，所以t==3.3×10-8 s。 (3)由题意可得，带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离为d=r(1-cos θ)=2.7×10-2 m。 7、8题每题9分，9、10题每题15分，共48分 7.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是(　　) A.若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 答案　A 解析　正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，r=。当θ为锐角时，画出正粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，入射点与出射点间距离Oa=2rsin θ=，粒子运动周期T==，而粒子在磁场的运动时间t=T=与速度无关。当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如图所示。 由几何关系可知，入射点与出射点间距离Oa=2rsin (π-θ)=，而粒子在磁场中运动时间t=T=，与第一种情况相同。若v一定，θ越大，从时间公式可以看出运动时间越短，故A正确；若v一定，当θ为锐角时，θ越大，则Oa就越大，当θ为钝角时，θ越大，Oa越小，当θ=90°，Oa有最大值，故B错误；粒子运动的角速度ω==，与速度无关，即v越大时，ω不变，故C错误；无论θ是锐角还是钝角，运动时间均为，与速度无关。即若θ一定，无论v大小如何，则粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。 8.(多选)(2024·温州市高二期末)两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是(　　) A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.粒子射入磁场中的速率va∶vb=1∶3 C.粒子在磁场中的运动时间ta∶tb=2∶1 D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的 答案　BC 解析　根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向下偏转，带负电，故A错误； 设a、b粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得r=，设粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra=Rtan 30°，rb=，可得粒子射入磁场中的速率之比为===，故B正确；根据T=可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等。由题知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为==，故C正确；将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'=T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'=T'=T，可得==，故D错误。 9.(15分)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为多大？ 答案　kBl　kBl 解析　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力，有evaB=m， 又=k，解得va=； 电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m，又=k，解得vd=。 10.(15分)(2023·温州市高二期末)如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域边界上的三点，∠AOC=90°，∠AOD=60°。现有一对质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场，另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计，求： (1)(1分)从C点离开磁场的粒子的电性； (2)(7分)从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比； (3)(7分)从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比。 答案　(1)负电　(2)　(3) 解析　(1)粒子从C点离开磁场，根据左手定则可知，粒子带负电 (2)设磁场圆的半径为R，带电粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力， 有qvB=m，可得q=， 由图可知rC=R，=tan 30°， 所以== (3)由几何知识可知，从C点离开磁场的粒子在磁场中转过的圆心角αC=90°，从D点离开的粒子圆心角αD=120°， 则带电粒子在磁场中运动的时间为 t=T，T=，所以==·=。 学科网（北京）股份有限公司 $ DIYIZHANG 第一章 专题强化3　带电粒子在有界匀强 磁场中的运动 1 学习目标 会分析带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动。 2 一、单边直线边界 二、平行边界 专题强化练 三、圆形边界 内容索引 四、多边形边界或三角形边界 3 单边直线边界 一 4 粒子进出磁场具有对称性，从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图(a)、(b)、(c)所示，d为粒子进出磁场的位置相距的距离。 2R 2Rsin θ 2Rsin θ 　如图所示，在边界PQ上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点沿与PQ成θ(θ<)角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子重力及离子间的相互作用，则正、负离子 A.在磁场中的运动时间相同 B.在磁场中运动的位移相同 C.出边界时两者的速度相同 D.正离子出边界点到O点的距离更大 例1 √ 两离子在磁场中运动周期为T=，则知两个 离子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定 则分析可知，正离子逆时针偏转，负离子顺时 针偏转，作出两离子的运动轨迹，如图所示， 两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π-2θ，轨迹的圆心角也为2π-2θ，运动时间t1=T，同理，负离子运动时间t2=T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误； 根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB=，得 r=，由题意可知r相同，根据几何知识可得， 重新回到边界的位置与O点距离s=2rsin θ，r、 θ相同，则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B、D错误； 两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。 返回 二 平行边界 9 如图所示，带电粒子以不同速度进入双边平行直线边界且垂直纸面向里的匀强磁场，其运动轨迹可能不同，可能从同一侧离开磁场，也可能从另一侧离开磁场，往往存在临界条件。 Rsin θ 2R2 (R-d)2+L2 R+Rcos θ x2+(R-d)2　 d+Rcos θ 　如图，在(0≤x≤L)区域内存在匀强磁场，方向垂直 于纸面向外。一带电荷量为+q、质量为m的粒子从y 轴上P点，以速率v沿x轴的正方向射入磁场，从磁场 右边界上某点离开磁场，并经过x轴上的Q(2L，0)点， 此时速度方向与x轴正方向的夹角为45°。不计粒子的重力，求粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值和磁场磁感应强度的大小。 例2 答案　L　 粒子运动轨迹如图所示。 设粒子在磁场中的运动半径为r，粒子穿过磁场右边界时的纵坐标值为y，根据几何关系有y=(2L-L)tan 45°=L r==L 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m 解得磁场磁感应强度的大小为B=。 返回 圆形边界 三 13 1.粒子进出磁场具有对称性 在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。   2.在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 　(2024·杭州市高二期末)在以坐标原点O为圆心、半 径为r的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向 垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重 力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿-x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿+y方向飞出。 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； 例3 答案　负电荷　　 由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R=r，又qvB=m=。 (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子在磁场中运动所用时间t。 答案　B　 设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向 改变了60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何 知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径R'== r，又R'=，所以B'=B，此次粒子在磁场中运 动所用时间t=T=×=。 　如图所示，ACD为一半圆形区域，其中O为圆心，AD为直径，∠AOC =90°，半圆形区域内存在着垂直该平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带电粒子(不计重力)从圆弧的P点以速度v沿平行于直径AD方向射入磁场，运动一段时间从C点离开磁场时，速度方向偏转了60°，设P点到AD的距离为d。下列说法中正确的是 A.该粒子带正电 B.该粒子的比荷为 C.该粒子在磁场中运动时间为 D.直径AD长度为4d 例4 √ 由左手定则可判断，粒子带负电；过P点和C点作速 度方向的垂线，交点即为轨迹圆圆心O'。如图，由几 何关系可知，OCO'P为菱形，∠COP=∠CO'P=60°， =2d==r，洛伦兹力提供向心力qvB=m=；粒子在磁场中运动时间为t==×==×=； 直径AD的长度等于磁场区域半径的2倍，即4d，故选D。 返回 多边形边界或三角形边界 四 21 　如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场。一带电粒子从a点沿ad方向射入磁场，粒子从b点离开磁场，在磁场中的运动时间为t1；如果只改变粒子射入磁场的速度大小，粒子从c点离开磁场，在磁场中的运动时间为t2。不计粒子重力，则t1与t2之比为 A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1 例5 √ 根据周期公式T=可知，只改变速度大小，粒子 在磁场中做匀速圆周运动的周期相同。粒子两次运 动轨迹如图所示，粒子进入磁场时速度方向与ab方 向的夹角为60°，与ac方向的夹角为30°。由几何 知识知，当粒子从a点进入磁场，从b点离开磁场时， 速度偏转角为θ1=2×60°=120°，所以轨迹所对应的圆心角为120°， 可得粒子在磁场中的运动时间为t1=T=； 同理，当粒子从a点进入磁场，从c点离开磁场时， 速度偏转角为θ2=2×30°=60°，所以轨迹所对应 的圆心角为60°，可得粒子在磁场中的运动时间 为t2=T=，因此t1∶t2=2∶1，选项B正确。 返回 多边形边界磁场对带电粒子的运动限制较多，但可以根据出射点的位置把磁场看成直线边界或三角形边界，如本题中带电粒子从b、c点离开磁场，就可以看成是直线边界磁场问题，根据直线边界磁场中粒子射入磁场和射出磁场的对称性，很容易就能得出粒子运动轨迹所对应的圆心角。 总结提升 专题强化练 五 26 1.如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入磁场，不计粒子重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为 A.1∶2 B.2∶1 C.1∶ D.1∶1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础强化练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由洛伦兹力提供向心力有qvB=，又T=，解得 T=，则正、负粒子在磁场中的运动周期相等， 正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子 在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故时间之比为2∶1，B正确。 2.(2024·金华市高二期中)如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于 A.1∶(2-) B.(2-)∶1 C.2∶1 D.∶1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d， 由几何关系可知cos θ= 解得r=，电子做匀速圆周运动有 qvB=，v=∝r 联立可得v1∶v2=(2-)∶1，故B正确。 3.如图所示，空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°。不计粒子重力，该磁场的磁感应强度大小为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子的运动轨迹如图所示， 粒子做匀速圆周运动的轨道半径r==R 根据洛伦兹力提供向心力得 qv0B=m，解得B=，故A正确。 4.(2023·嘉兴市高二期中)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力及相互影响，则 A.从P点射出的粒子速度大 B.从Q点射出的粒子速度大 C.从P点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D.从Q点射出的粒子，在磁场中运动的时间长 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动， 分别从P点和Q点射出，由图知，粒子运动的半径rP< rQ，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得qvB=m，解得v=，粒子运动速 度vP<vQ，故A错误，B正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系(图示 弦切角相等)，粒子在磁场中转过的圆心角相等，根 据粒子在磁场中运动的时间t=T，又因为粒子在磁 场中做圆周运动的周期T=，可知粒子在磁场中运动的时间相等，故C、D错误。 5.(2023·浙江高二月考)如图所示，边长为l0的正方形abcd区域内(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在a点处有一粒子源，能够沿ab方向发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子射出的速率大小不同。粒子的重力忽略不计，不考虑粒子之间的相互作用，则 A.轨迹不同的粒子，在磁场中运动时间一定不同 B.从c点射出的粒子入射速度大小为 C.从d点射出的粒子在磁场中运动的时间为 D.粒子在边界上出射点距a点越远，在磁场中运动的时间越短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 qvB=m，解得半径R=，粒子运动的周期T==， 设粒子在磁场中转过的圆心角为θ，粒子在磁场中的运 动时间t=T=，粒子速率不同运动轨迹不同，如果转过的圆心角θ 相等，则粒子在磁场中的运动时间相等，如从ad边离开磁场的粒子在磁场中转过半个圆周，虽然运动轨迹不同，但运动时间都相同， 为T，A、D错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从c点射出的粒子半径R=l0，由qvB=m解得速度v=，B错误； 从d点射出的粒子运动时间为半个周期t=T=，C正确。 6.一带电粒子的质量m=1.7×10-27 kg，电荷量q=1.6×10-19 C，以速度v=3.2×106 m/s沿垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B=0.17 T，磁场的宽度L=10 cm，如图所示。粒子重力忽略不计，求：(g取10 m/s2，计算结果均保留两位有效数字) (1)带电粒子离开磁场时的速度大小； 答案　3.2×106 m/s 由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时的速度大小仍为3.2 ×106 m/s； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)带电粒子在磁场中运动的时间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　3.3×10-8 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 洛伦兹力提供向心力，由qvB=m， 得轨道半径为r==0.2 m， 由题图可知偏转角θ满足sin θ===0.5， 所以θ=30°=， 带电粒子在磁场中运动的周期为T=， 故带电粒子在磁场中运动的时间为t=T=T，所以t==3.3×10-8 s。 (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d为多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　2.7×10-2 m 由题意可得，带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离为d=r(1-cos θ)=2.7×10-2 m。 7.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)。则下列说法正确的是 A.若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越远 C.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D.若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 能力综合练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 正粒子从磁场边界入射做匀速圆周运动，洛伦兹 力提供向心力，有qvB=m，r=。当θ为锐角时， 画出正粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知， 入射点与出射点间距离Oa=2rsin θ=，粒子运动周期T==，而粒子在磁场的运动时间t=T=与速 度无关。当θ为钝角时，画出正粒子运动轨迹如 图所示。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由几何关系可知，入射点与出射点间距离Oa= 2rsin (π-θ)=，而粒子在磁场中运动 时间t=T=，与第一种情况相同。 若v一定，θ越大，从时间公式可以看出运动 时间越短，故A正确； 若v一定，当θ为锐角时，θ越大，则Oa就越大， 当θ为钝角时，θ越大，Oa越小，当θ=90°，Oa有最大值，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 粒子运动的角速度ω==，与速度无关，即v越 大时，ω不变，故C错误； 无论θ是锐角还是钝角，运动时间均为， 与速度无关。即若θ一定，无论v大小如何，则 粒子在磁场中运动的时间都保持不变，故D错误。 8.(多选)(2024·温州市高二期末)两个比荷相等的带电粒子a、b，以不同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹如图所示。不计粒子的重力，则下列说法正确的是 A.a粒子带正电，b粒子带负电 B.粒子射入磁场中的速率va∶vb=1∶3 C.粒子在磁场中的运动时间ta∶tb=2∶1 D.若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将 变为原来的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒子向 下偏转，带负电，故A错误； 设a、b粒子运动轨迹的圆心分别为Oa、Ob，如图所 示，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得r =，设粒子的圆周运动半径分别为ra、rb，圆形磁 场区域半径为R，根据几何关系有ra=Rtan 30°，rb= ===，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据T=可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周 期相等。由题知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的 圆心角分别为120°和60°，则可得粒子在磁场中的 运动时间之比为==，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，可得 此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a 粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于 a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'=T，则a粒子 在磁场中运动的时间将变为ta'=T'=T，可得==，故D错误。 9.如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为多大？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　kBl　kBl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①， 轨迹半径为ra=，由洛伦兹力提供向心力， 有evaB=m， 又=k，解得va=； 电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有=l2+(rd-)2，解得：rd=，由洛伦兹力提供向心力，有evdB=m=k，解得vd=。 10.(2023·温州市高二期末)如图所示，圆形区域内有垂直 纸面向里的匀强磁场，O为圆心，A、C、D为圆形区域 边界上的三点，∠AOC=90°，∠AOD=60°。现有一对 质量相等、电荷量不等的正、负粒子，从A点沿AO方向 以相同大小的速度垂直磁场射入，一个从C点离开磁场， 另一个从D点离开磁场，粒子的重力及相互作用力均不计，求： (1)从C点离开磁场的粒子的电性； 答案　负电 粒子从C点离开磁场，根据左手定则可知，粒子带负电 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)从C点和D点离开磁场的两个粒子的电荷量之比； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设磁场圆的半径为R，带电粒子的运动轨迹如图所示 根据洛伦兹力提供向心力， 有qvB=m，可得q=， 由图可知rC=R，=tan 30°， 所以== (3)从C点和D点离开磁场的两个粒子在磁场中运动的时间之比。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由几何知识可知，从C点离开磁场的粒子在磁场中转过的圆心角αC= 90°，从D点离开的粒子圆心角αD=120°， 则带电粒子在磁场中运动的时间为 t=T，T===·=。 返回 $