第一章 专题强化4 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二物理选择性必修第二册教师用书（人教版 苏京）

DIYIZHANG 第一章 专题强化4　带电粒子在有界匀 强磁场中运动的临 界和多解问题 1 1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。 2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。 学习目标 2 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 二、带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 专题强化练 内容索引 3 带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 一 4 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大(所有弦长中直径最长)。 　如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强 例1 度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 (1)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； 答案　见解析 由r=得r1=d 最远点至MN的距离L1=r1+r1cos 60°=d 轨迹如图中①所示 (2)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； 答案　见解析 由r=得r2=d 最远点至MN的距离L2=r2+r2cos 60°=d，此时轨迹与边界PQ相切 轨迹如图中②所示 (3)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； 答案　见解析 由r=得r3=d 轨迹如图中③所示 (4)若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。 答案　见解析 从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当0<v≤时，质子从左边界飞出。 “放缩圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度方向相同，大小不同。 2.特点：轨迹圆圆心共线，如图所示，粒子带正电，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。 提炼·总结 3.界定方法：以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 (2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中 实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为 A. B. C. D. 针对训练1 √ 磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得a2+r2=(3a-r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB=m，联立解得B=，故选C。 　如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴 离开磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作 用，则： (1)求粒子运动的半径； 例2 答案　见解析 沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图甲所示，则半径r=L 甲 (2)①尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹；所有粒子的轨迹圆心位置特点是什么？ 答案　见解析 以L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图乙所示。 在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图丙所示 乙 丙 ②找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。 答案　见解析 发现从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短(弦长最短)，轨迹圆弧对应的圆心角最小，运动时间最短，如图丁所示。 θ=60°= t=·= 丁 (3)通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O点和右边离O点的最远距离各为多少？ 答案　见解析 通过第(2)问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图戊所示。右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L。 戊 v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。 3.界定方法：将半径R=的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。 “旋转圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度大小相等，方向不同。 2.特点：轨迹圆圆心共圆，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为 提炼·总结 返回 带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 二 22 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 　如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足 A.若磁场方向垂直纸面向里，B> B.若磁场方向垂直纸面向里，B> C.若磁场方向垂直纸面向外，B> D.若磁场方向垂直纸面向外，B> 例3 √ 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以应 满足B>，选项A错误，B正确； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1= 时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 　(2022·无锡市天一中学期中)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度大小不同的质子(不计质子重力及质子间的相互作用)，所有质子均能通过C点，质子比荷=k，则以下说法正确的是 A.质子的速度可能为BkL B.质子的速度可能为BkL C.质子由A到C的时间可能为 D.质子由A到C的时间可能为 例4 √ 因质子带正电，且所有质子均能经过 C点，作出其可能的轨迹，如图所示， 根据几何关系可知，所有圆弧所对应 的圆心角均为60°，质子可能的运动 半径为r=(n=1，2，3…)，质子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m，解得v=(n=1，2，3…)，可知质子的速度可能为BkL，不可能为BkL，故A错误，B正确； 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期T==，结合上述可知，质子由A到C的时间可能为t=nT(n=1，2，3…)， 解得t=(n=1，2，3…)，可知质子由A到C的时间不可能为，故C、D错误。 返回 专题强化练 三 30 1.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为 A.B> B.B< C.B> D.B< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础强化练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运 动的半径R==a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=a<，即B<，D项正确。 2.(2022·镇江市心湖高级中学高二期末)直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m、电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO'D为一直线段，==2=4r=，故D正确。 3.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打 在水平板上，速度v0应满足 A.v0> B.v0< C.<v0< D.v0>或v0< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B=m，解得R=，根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够打在 水平板上，两种情况临界点分别为轨迹恰好与水平板相切的点、轨迹恰好经过水平板的端点，如图所示，根据几何关系可知Rmin=，Rmax=，解得v0min=或v0max=<v0<，故选C。 4.(2023·盐城市期中)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v< C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度<v< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有=(r1-)2+l2，又r1=，所以v1=；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，所以v2=，综合上述分析可知，应使v<或v>，选项A正确。 5.如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群比荷为的负离子(不计重力及离子间的相互作用)以相同速率v0(离子在磁场中的运动半径大于R)，由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是 A.离子在磁场中运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最短 D.沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设离子轨迹所对应的圆心角为θ，则离子在磁 场中运动的时间为t=T，其中T=，所有离 子的运动周期相等，由于离子不一定从圆上同一点射出时，轨迹所对应的圆心角不一定相同， 所以离子在磁场中运动时间不一定相同，故A错误； 离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定 律得qv0B=m，解得R=，因离子的速率相同，比荷相同，故运动半径一定相同，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，而轨迹圆的弦长最长为PQ，故由Q点飞出的离子轨迹圆心角最大，即速度的偏转角最大，所对应的时间最 长，此时离子一定不会沿PQ射入，故C、D错误。 6.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量大小为q的带电粒子在MM'边界某点沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使 粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值 可能是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，解得R=。带电 粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电， 临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R1+R1cos 45°=d， 解得R1=(2-)d， 对应的最大速率v1=。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R2-R2cos 45°=d， 解得R2=(2+)d 对应的最大速率v2=，故选B。 7.如图所示，直角三角形abc区域(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子(不计重力)，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是 A.粒子运动的速率可能为 B.当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间 可能为 C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 能力综合练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图，根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，根据洛伦兹力提供向心力 qBv1=m，解得v1=，若粒子从c点射出，对应的速度最小，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2=，故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 粒子在磁场中运动的周期为T==，当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为t==，故B错误； 根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最大，即Lmax=r1=L，所以bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。 8.(2024·南京师范大学附属中学高二期末)如图所示，OACD是一长为OA=L的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为α，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则 A.粒子一定带正电 B.矩形磁场的宽度最小值为 C.粒子从O到A所需的时间为 D.匀强磁场的磁感应强度为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由左手定则可知，粒子一定带负电，选项A错误； 轨迹半径r=，如图，由几何关系得，矩形磁场的宽度最小值为d=r(1-cos α)=，选项B错误； 粒子从O到A所需的时间为t==，选项C错误； 根据qv0B=m，可得匀强磁场的磁感应强度为B=，选项D正确。 9.(2022·湖北卷改编)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷 为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与 入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角 的可能组合为 A.kBL，0° B.kBL，60° C.kBL，60° D.2kBL，60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL， 根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性 有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出 射方向与入射方向的夹角为θ=0°。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故C正确，A、B、D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(2024·淮安市高二期末)如图所示，第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上距原点O距离为a的P处有一粒子源，向第一象限内任意方向发射质量为m、电荷量为-q的粒子。若粒子以速 度v沿与x轴正方向成30°进入磁场时，粒子恰好不 过y轴。粒子重力及相互作用不计。求： (1)粒子以速度v运动时的半径r； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 粒子以速度v沿与x轴正方向成30°角方向进入磁场时恰好不过y轴，故其运动轨迹如图所示 由几何关系得r+rsin 30°=a， 解得r=a (2)匀强磁场的磁感应强度B的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　 洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动的向心力，即qvB=m 可得B= (3)改变粒子发射的速度大小与方向，若粒子从原点O射出磁场，求粒子的最小速度。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若粒子从O点射出磁场，由qvB=m 得v= 可知粒子运动的轨迹圆半径越小，速度越小，当OP为粒子运动轨迹圆直径时，rmin= 得vmin=v。 11.(2024·南通市高二期末)如图所示，第一象限内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。一个质量为m、电荷量为-q(q>0) 的带电粒子，从x轴上的P点以速度大小为v、方向 与x轴夹角θ=30°垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴 射出第一象限。已知OP=a，不计粒子重力。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小B； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 尖子生选练 答案　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 由几何关系知R=2a 带电粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力qvB=m 解得B= (2)在x轴[0，2a]区域内，均有相同的粒子以原速度v射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，求粒子在磁场中运动的时间范围和粒子打中y轴的区域范围。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案　≤t≤　2a≤y≤(2+)a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设x=0处入射的粒子与y轴交于y1，在磁场中运动时间为t1；x=2a处入射的粒子与y轴交于y2，在磁场中运动时间为t2；x=a处入射的粒子与y轴交于y3。粒子运动周期为T，如图所示 根据几何关系可得y1=y2=R=2a y3=R+Rcos 30°=(2+)a t1=T，t2=T， T== 解得≤t≤ 2a≤y≤(2+)a。 返回 $ 专题强化4　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界和多解问题 ［学习目标］　1.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题(难点)。2.了解多解的成因，会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题(难点)。 一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大，运动时间越长。 (4)在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大(所有弦长中直径最长)。 例1　如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子从A点出发，与边界成60°角进入匀强磁场。 (1)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； (2)当v=时，求出质子的轨迹半径及轨迹最远点至MN的距离，并画出轨迹图； (3)当v=时，求出质子的轨迹半径，并画出轨迹图； (4)若质子从左边界飞出磁场，求质子的速度范围。 答案　见解析 解析　(1)由r=得r1=d 最远点至MN的距离L1=r1+r1cos 60°=d 轨迹如图中①所示 (2)由r=得r2=d 最远点至MN的距离L2=r2+r2cos 60°=d，此时轨迹与边界PQ相切 轨迹如图中②所示 (3)由r=得r3=d 轨迹如图中③所示 (4)从画出的轨迹发现，当v=时，轨迹恰好与右边界PQ相切，所以当0<v≤时，质子从左边界飞出。 “放缩圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度方向相同，大小不同。 2.特点：轨迹圆圆心共线，如图所示，粒子带正电，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上。 3.界定方法：以入射点P为定点，圆心位于直线PP'上，将半径放缩确定运动轨迹，从而探索出粒子运动的临界条件。 针对训练1　(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得a2+r2=(3a-r)2，根据洛伦兹力提供向心力有evB=m，联立解得B=，故选C。 例2　如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0，L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场。若沿x轴正方向射入时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则： (1)求粒子运动的半径； (2)①尝试画出以不同速度方向射入磁场的粒子的轨迹；所有粒子的轨迹圆心位置特点是什么？ ②找出粒子在磁场中运动时间最短的轨迹，并求出最短时间。 (3)通过画轨迹，找出粒子离开磁场的位置的范围，左边离O点和右边离O点的最远距离各为多少？ 答案　见解析 解析　 (1)沿x轴正方向射入时，垂直x轴离开磁场，故粒子带正电，轨迹圆心为O点，如图甲所示，则半径r=L 甲 (2)①以L为半径从P点开始顺时针画出轨迹，如图乙所示。 乙 在P点以不同方向射入磁场的粒子轨迹的圆心必定处在以P为圆心、L为半径的圆上，如图丙所示 丙 ②发现从O点射出磁场的粒子对应的弧长最短(弦长最短)，轨迹圆弧对应的圆心角最小，运动时间最短，如图丁所示。 丁 θ=60°= t=·= (3)通过第(2)问画的轨迹图分析可知，O点右侧弦是直径时打到右侧离O点位置最远，O点左侧轨迹与x轴相切时，左侧位置离O点最远，如图戊所示。右侧最远距离OQ==L 左侧最远距离OM=L。 戊 “旋转圆法”分析临界问题 1.适用条件：速度大小相等，方向不同。 2.特点：轨迹圆圆心共圆，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R=，如图所示。轨迹圆的圆心在以入射点为圆心、半径为R=的圆上。 3.界定方法：将半径R=的圆以带电粒子入射点为定点进行旋转，从而探索粒子运动的临界条件。 二、带电粒子在有界匀强磁场中的多解问题 多解的原因： (1)磁场方向不确定形成多解； (2)带电粒子电性不确定形成多解； (3)临界状态不唯一形成多解； (4)运动的往复性形成多解。 解决此类问题，首先应画出粒子的可能轨迹，然后找出圆心、半径的可能情况。 例3　如图所示，位于A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B应满足(　　) A.若磁场方向垂直纸面向里，B> B.若磁场方向垂直纸面向里，B> C.若磁场方向垂直纸面向外，B> D.若磁场方向垂直纸面向外，B> 答案　B 解析　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识知R2=OBsin 30°=OB，而OB=s+R2，故R2=s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件；由牛顿第二定律可得qvB=，所以应满足B>，选项A错误，B正确； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知R1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB=，所以应满足B>，选项C正确，D错误。 例4　(2022·无锡市天一中学期中)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度大小不同的质子(不计质子重力及质子间的相互作用)，所有质子均能通过C点，质子比荷=k，则以下说法正确的是(　　) A.质子的速度可能为BkL B.质子的速度可能为BkL C.质子由A到C的时间可能为 D.质子由A到C的时间可能为 答案　B 解析　因质子带正电，且所有质子均能经过C点，作出其可能的轨迹，如图所示，根据几何关系可知，所有圆弧所对应的圆心角均为60°，质子可能的运动半径为r=(n=1，2，3…)，质子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m，解得v=(n=1，2，3…)，可知质子的速度可能为BkL，不可能为BkL，故A错误，B正确； 质子在磁场中做匀速圆周运动的周期T==，结合上述可知，质子由A到C的时间可能为t=nT(n=1，2，3…)，解得t=(n=1，2，3…)，可知质子由A到C的时间不可能为和，故C、D错误。 专题强化练　［分值：60分］ 1~6题每题4分，共24分 1.如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值范围为(　　) A.B> B.B< C.B> D.B< 答案　D 解析　由题意可知，电子正好经过C点时的运动轨迹如图所示，此时圆周运动的半径R==a，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于a，由带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r=，即有a<，即B<，D项正确。 2.(2022·镇江市心湖高级中学高二期末)直线OM和直线ON之间的夹角为30°，如图所示，直线OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m、电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM上的某点向左上方射入磁场，方向与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场，不计粒子重力。粒子离开磁场的出射点到两直线交点O的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r=。由题意可知，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由几何知识得CO'D为一直线段，==2=4r=，故D正确。 3.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足(　　) A.v0> B.v0< C.<v0< D.v0>或v0< 答案　C 解析　电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B=m，解得R=，根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够打在水平板上，两种情况临界点分别为轨迹恰好与水平板相切的点、轨迹恰好经过水平板的端点，如图所示，根据几何关系可知Rmin=，Rmax=，解得v0min=或v0max=，则有<v0<，故选C。 4.(2023·盐城市期中)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v< C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度<v< 答案　A 解析　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有=(r1-)2+l2，又r1=，所以v1=；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，所以v2=，综合上述分析可知，应使v<或v>，选项A正确。 5.如图所示，在半径为R的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群比荷为的负离子(不计重力及离子间的相互作用)以相同速率v0(离子在磁场中的运动半径大于R)，由P点在纸面内向不同方向射入磁场中发生偏转后，又飞出磁场，最终打在磁场区域右侧的荧光屏(足够大)上，则下列说法正确的是(　　) A.离子在磁场中运动时间一定相等 B.离子在磁场中的运动半径一定相等 C.由Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最短 D.沿PQ方向射入的离子飞出时速度的偏转角最大 答案　B 解析　设离子轨迹所对应的圆心角为θ，则离子在磁场中运动的时间为t=T，其中T=，所有离子的运动周期相等，由于离子不一定从圆上同一点射出时，轨迹所对应的圆心角不一定相同，所以离子在磁场中运动时间不一定相同，故A错误； 离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qv0B=m，解得R=，因离子的速率相同，比荷相同，故运动半径一定相同，故B正确； 由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，而轨迹圆的弦长最长为PQ，故由Q点飞出的离子轨迹圆心角最大，即速度的偏转角最大，所对应的时间最长，此时离子一定不会沿PQ射入，故C、D错误。 6.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM'和NN'是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量大小为q的带电粒子在MM'边界某点沿图示方向垂直磁场射入，粒子重力不计，要使粒子不能从边界NN'射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做匀速圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB=m，解得R=。带电粒子速率越大，轨迹半径越大，当轨迹恰好与边界NN'相切时，粒子恰好不能从边界NN'射出，对应的速率最大。若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示，由几何知识得R1+R1cos 45°=d， 解得R1=(2-)d， 对应的最大速率v1=。 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R2-R2cos 45°=d， 解得R2=(2+)d 对应的最大速率v2=，故选B。 7~9题每题5分，10题10分，共25分 7.如图所示，直角三角形abc区域(包括边界)存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为2L，∠a=30°，一粒子源固定在ac边的中点d，粒子源垂直ac边向磁场中发射不同速率的带正电的粒子(不计重力)，粒子均从bc边界射出，已知粒子质量为m、电荷量为q，下列说法正确的是(　　) A.粒子运动的速率可能为 B.当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间可能为 C.bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L D.有粒子经过的磁场区域的面积最大为πL2 答案　C 解析　根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，对应的速度最大，如图，根据几何知识可得半径r1=Lcd=L，根据洛伦兹力提供向心力qBv1=m，解得v1=，若粒子从c点射出，对应的速度最小，运动半径r2=Lcd=L，则速度v2=，则粒子的速率不可能为，故A错误；粒子在磁场中运动的周期为T==，当粒子垂直bc边射出时，粒子在磁场中运动的时间为t==，故B错误；根据题意可知当粒子运动轨迹与ab边相切时，打在bc上的点到c点的距离最大，即Lmax=r1=L，所以bc边界上有粒子射出的区域长度最大为L，有粒子经过的磁场区域的面积最大为S=-=，故C正确，D错误。 8.(2024·南京师范大学附属中学高二期末)如图所示，OACD是一长为OA=L的矩形，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、带电荷量为q的粒子从O点以速度v0垂直射入磁场，速度方向与OA的夹角为α，粒子刚好从A点射出磁场，不计粒子的重力，则(　　) A.粒子一定带正电 B.矩形磁场的宽度最小值为 C.粒子从O到A所需的时间为 D.匀强磁场的磁感应强度为 答案　D 解析　由左手定则可知，粒子一定带负电，选项A错误；轨迹半径r=，如图，由几何关系得，矩形磁场的宽度最小值为d=r(1-cos α)=，选项B错误；粒子从O到A所需的时间为t==，选项C错误；根据qv0B=m，可得匀强磁场的磁感应强度为B=，选项D正确。 9.(2022·湖北卷改编)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0° B.kBL，60° C.kBL，60° D.2kBL，60° 答案　C 解析　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图， 根据几何关系则有R=L，由qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子在两个磁场均运动一次时，如图， 因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R=L，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，可得v==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v==kBL(n=1，2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故C正确，A、B、D错误。 10.(10分)(2024·淮安市高二期末)如图所示，第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上距原点O距离为a的P处有一粒子源，向第一象限内任意方向发射质量为m、电荷量为-q的粒子。若粒子以速度v沿与x轴正方向成30°进入磁场时，粒子恰好不过y轴。粒子重力及相互作用不计。求： (1)(2分)粒子以速度v运动时的半径r； (2)(4分)匀强磁场的磁感应强度B的大小； (3)(4分)改变粒子发射的速度大小与方向，若粒子从原点O射出磁场，求粒子的最小速度。 答案　(1)a　(2)　(3)v 解析　(1)粒子以速度v沿与x轴正方向成30°角方向进入磁场时恰好不过y轴，故其运动轨迹如图所示 由几何关系得r+rsin 30°=a， 解得r=a (2)洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动的向心力，即qvB=m 可得B= (3)若粒子从O点射出磁场，由qvB=m 得v= 可知粒子运动的轨迹圆半径越小，速度越小，当OP为粒子运动轨迹圆直径时，rmin= 得vmin=v。 11.(11分)(2024·南通市高二期末)如图所示，第一象限内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子，从x轴上的P点以速度大小为v、方向与x轴夹角θ=30°垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP=a，不计粒子重力。 (1)(4分)求匀强磁场的磁感应强度的大小B； (2)(7分)在x轴［0，2a］区域内，均有相同的粒子以原速度v射入磁场，不考虑粒子间的相互作用，求粒子在磁场中运动的时间范围和粒子打中y轴的区域范围。 答案　(1)　(2)≤t≤　2a≤y≤(2+)a 解析　(1)由几何关系知R=2a 带电粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力qvB=m 解得B= (2)设x=0处入射的粒子与y轴交于y1，在磁场中运动时间为t1；x=2a处入射的粒子与y轴交于y2，在磁场中运动时间为t2；x=a处入射的粒子与y轴交于y3。粒子运动周期为T，如图所示 根据几何关系可得y1=y2=R=2a y3=R+Rcos 30°=(2+)a t1=T，t2=T， T== 解得≤t≤ 2a≤y≤(2+)a。 学科网（北京）股份有限公司 $