精品解析：山东临沂市郯城美澳学校2025-2026学年高一下学期数学阶段检测题

山东临沂市郯城美澳学校2025-2026学年高一下学期数学阶段检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为（ ） A. B. C. D. 20 4. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 四边形ABCD为菱形，是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，半圆的直径为圆心，是半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. ，则为内心 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为___________． 13. 已知向量满足，且与的夹角为，则___________． 14. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：，，三点共线； （2）试确定实数，使和共线； （3）若，求实数的值． 16. 已知向量． （1）若，的夹角为钝角，求的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）； （3）若与的夹角为，求的值． 17. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的最大值． 18. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛A，B，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． （1）求处与小岛之间的距离； （2）求A，B两座小岛之间的距离． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为BC中点，的面积为，求AD的长度； （3）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东临沂市郯城美澳学校2025-2026学年高一下学期数学阶段检测题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算消去分母的即可求解. 【详解】由题意得， 所以的虚部为. 2. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算即可． 【详解】由，， 则，， 所以， 又，，所以， 故选：D 3. 如图，这是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】由斜二测画法得，的边，边上的高， 所以的面积为. 4. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由及点共线，得， 而，因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律整理得到，取中点，结合向量的加法，得出，即可判断出是等腰三角形． 【详解】由，得， 取中点，因为，则，即， 所以是等膜三角形， 故选：A． 6. 如图，在中，已知是线段AD与BE的交点，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以 , 设，则， 因为三点共线，所以，得， 则， 故，则. 7. 四边形ABCD为菱形，是菱形ABCD所在平面的任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质建立平面直角坐标系，利用坐标法表示向量数量积，化简可得最小值. 【详解】 设菱形对角线与的交点为， 如图所示建立平面直角坐标系， 又，， 则， 所以，， 设，，， 则，， 则， 当时，取得最小值为， 8. 如图所示，半圆的直径为圆心，是半圆上不同于A，B的任意一点，若为半径OC上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得. 【详解】由，则，设，则， 则， 故当且仅当时，取最小值，且最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9. 已知复数（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. 若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B正确；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B正确； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C不正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D， 【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，锐角三角形中，，则，由于，且正弦函数在此区间单调递增， 所以，故选项D正确. 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. ，则为内心 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由向量的意义可知表示在的角平分线上的向量，再结合向量的数量积的性质可得；对B，由条件可得为的重心；对C，由得，同理可得，，进而可得为的垂心；对D，由正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】A，因为是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， 所以表示在的角平分线上的向量，如图： 又因为，所以的角平分线与垂直， 所以，故为等腰三角形，所以A正确； B，设是的中点，则是三角形的中线，所以， 因为，所以，得三点共线，且是中线上靠近的三等分点， 所以为重心，故B错误；如图： C，因为，所以，即，所以. 同理，得；，得， 所以为的垂心，故C错误； D，由正弦定理：，所以， 设， 由， 所以与中线向量共线，即点的轨迹经过的重心，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设在复平面内与复数对应的点为，与对应的点为， 则表示点与点之间的距离为， 则点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 因为，所以的最大值为. 13. 已知向量满足，且与的夹角为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，结合，即可求解. 【详解】由向量满足，且与的夹角为， 可得， 则，所以. 14. 落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：，，三点共线； （2）试确定实数，使和共线； （3）若，求实数的值． 【答案】（1）证明：因为，，， 所以， 所以，则有，又因为与有公共点，因此，，三点共线. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算，观察与的关系，即可得到结论； （2）根据向量共线的条件，利用向量共线定理即可求得； （3）计算和的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为与共线，则存在，有， 即，解得， 因此实数的值为. 【小问3详解】 因为，，所以， ， 又因为，所以，即， 因此实数的值为. 16. 已知向量． （1）若，的夹角为钝角，求的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）； （3）若与的夹角为，求的值． 【答案】（1）且 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可； （2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可； （3）由坐标表示向量的数量积公式，化简计算即可. 【小问1详解】 由题知，且，不共线． 则，即， 当时，，即． 综上，且； 【小问2详解】 ，，，则， 则在上的投影向量为，即为； 【小问3详解】 ，， ， 整理得：，解得：或. 17. 已知的内角所对的边分别为，向量，且． （1）求角； （2）若，求的面积； （3）若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. 【小问2详解】 因为中，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）. 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 18. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛A，B，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． （1）求处与小岛之间的距离； （2）求A，B两座小岛之间的距离． 【答案】（1）海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得. （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【小问1详解】 由题可知，在中，，，所以. 由正弦定理得，所以海里. 【小问2详解】 由题可知，在中，，，所以. 所以海里. 由余弦定理得. 所以海里. 由题可知在中，，由余弦定理得 ， 所以海里. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为BC中点，的面积为，求AD的长度； （3）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再由两角和与差的正弦公式即可分析求解； （2）先由和余弦定理求出、，再由两边平方即可计算求解； （3）先由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得； 【小问2详解】 由，可得， 又由余弦定理可得，即， 则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ， 故； 【小问3详解】 根据正弦定理得， 所以，， 可得 ， 由为锐角三角形可得，解得， 所以，可得，， 所以的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $