精品解析：江西新余市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试题

2026年新余市高三第二次模拟考试试题数学 本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．回答非选择题时，将答案用黑色字迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是“，”. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据诱导公式计算可得结果. 【详解】因为， 所以由诱导公式得． 故选：A 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性及奇偶性求解即可. 【详解】因为是周期为2的函数，所以. 因为是奇函数，当时，， 所以， 故. 5. 青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：取的中点，连接,则求解；解法二：，进行求解． 【详解】解法一：取的中点，连接, 因为，所以在中，， 则． 解法二：在正五边形中，，，． ， ， ． 故选：A 6. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集，确定函数的零点，根据函数的零点写出函数的解析式，再利用待定系数法求函数的解析式，由导数求函数的极大值. 【详解】因为不等式的解集为， 则， 故， 又，故，， 故，则， 令，解得或， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极大值点， 的极大值为． 故选D． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可得出，利用椭圆的定义结合已知条件可求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，， 所以，，可得， 则， 所以，，故． 故选：D 8. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆台的轴截面的高以及球体的知识求得正确答案. 【详解】圆台的轴截面如图等腰梯形，过分别作垂直， 垂足为，，， 所以圆台轴截面等腰梯形底角为60°，高为， 设边长为的正三角形的内切圆半径为， 则，解得， 即边长为12的正三角形内切圆半径为，， 故能放入最大球半径为，其表面积为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若 ，则关于事件 的关系正确的是（   ） A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不互斥 C. 事件 与 不相互独立 D. 事件 与 相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义判断即可. 【详解】因为，所以事件与不互斥，A错误B正确； 因为，所以. 所以，又， 所以，所以事件与相互独立，C错误D正确. 故选：BD. 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可求出等差数列的公差，判断A；求出数列的通项公式，求解方程可判断B；利用错位相减法求数列的前n项和，判断C；利用分组求和法，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式即可判断D. 【详解】对于A，设的公比为q，由于，，则， 解得，所以A正确； 对于B，由A的分析可知， 令，即，解得，不是整数， 故不存在，使得，所以B错误； 对于C，，则， 故， 两式相减得： ， 故，则，所以C正确； 对于D，， 设数列的前项和为. 则 ，所以D正确， 故选：ACD 11. 设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（ ） A. B. 共有512个子集 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的定义及关系图，求出，再逐项求解判断. 【详解】对于B，， 共9个元素，因此共有个子集，B正确； ， ，， ，, 对于C，，，C错误； 对于A，，A正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】对于正态分布，其概率密度曲线关于对称， 所以，解得. 13. 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． 【答案】26 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【详解】因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：26． 14. 以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，设，则再结合基本不等式求解即得. 【详解】由可得， 设，则 由 ，当且仅当时，等号成立. 故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设，由已知得出，进而得出是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，即可求得答案. （2）先求出成绩小于70分的频率，根据总人数，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1， 可得，解得. 【小问2详解】 由图象可得，成绩小于70分的频率为， 则成绩小于70分的人数为. 16. 如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，根据正方形的性质，可得O为AC中点，因为为中点，所以EO为中位线，即，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可求出平面PDC和平面PBC的法向量，根据二面角的向量求法，代入计算，即可求得答案. 【小问1详解】 连接AC，交BD于O，连接EO， 因为为正方形，所以O为AC中点， 因为为中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，， 以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 设AD=1，则， 所以， 因为,，,平面PDC， 所以平面PDC， 则即为平面PDC的法向量， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以，即， 所以二面角的大小 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】（1）由结合，求得，进而求得，结合，得解； （2）由正弦定理结合条件式可得，进而得，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， . 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为72. 18. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 函数不是“旋转函数”，理由如下： 逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，与函数的概念矛盾， 因此函数不是“旋转函数”. 【小问2详解】 由题意可得 函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 因此函数与函数R最多有1个交点， 即函数在上单调， 因为，且， 所以，所以， 即，，即的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当时， 所以， 令，则， 因为在上单调减，且， 所以存在，使， 即， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化： 函数的零点个数方程的根的个数函数与图象的交点的个数； 另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若恒成立，只需，恒成立，只需. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 【答案】（1）； （2）①证明见解析，；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 得 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 ①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新余市高三第二次模拟考试试题数学 本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．回答非选择题时，将答案用黑色字迹签字笔写在答题卡上． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000多年历史，其状若车轮，现存于三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5个孔，可看成5个点，记为，，，，，五边形ABCDE为正五边形，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且不等式的解集为，，则的极大值为（ ）． A. 0 B. 36 C. 72 D. 108 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于点．直线为在点处的切线，点关于的对称点为．由椭圆的光学性质知，三点共线．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若 ，则关于事件 的关系正确的是（   ） A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不互斥 C. 事件 与 不相互独立 D. 事件 与 相互独立 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 11. 设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（ ） A. B. 共有512个子集 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则___________ 13. 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数___________________． 14. 以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，绘制了如下的频率分布直方图． （1）求的值； （2）若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数； 16. 如图，四边形为正方形，是平面外一点，设平面，且，为中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为钝角，，． （1）若，求c的值； （2）求面积的最小值． 18. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”. （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $