第07讲 计数原理在古典概率中的应用（知识清单+8题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修第二册）数学高二重难点讲义与测试

第07讲 计数原理在古典概率中的应用 知识清单 知识点01：计数原理在古典概率中的应用 知识点02：排列组合的综合应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：实际问题中的计数问题 题型2：代数中的组合计数问题 题型3：数字排列问题 题型4：涂色问题 题型5：实际问题中的组合计数问题 题型6：几何组合计数问题 题型7：分组分配问题 题型8：其他组合计数模型 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 计数原理在古典概率中的应用 古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝ 当n值较大时，枚举法难以使用，就需要利用排列组合的知识． 知识点02 排列组合的综合应用 排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/26 21:09:41；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 题型1：实际问题中的计数问题 【例1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【答案】D 【分析】应用分类分步计数，结合排列数求不同的排法数. 【详解】当乙在第五道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 当乙在第六道，甲有3种站法，其它4人做全排有种站法，则共有种， 所以共有144种不同排法. 故选：D 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期末）食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有________种． 【答案】 【分析】根据分步乘法原理得出结果即可. 【详解】第一步从食堂个门中一个门进，有种办法； 第二步，从另一个门出，有种办法；所以共有种不同的走法. 故答案为： 【变式1-2】（25-26高二下·上海·月考）从5名男生和5名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有_____种.（结果用数值表示） 【答案】200 【分析】分类讨论男、女生人数，根据分步乘法计数原理结合组合数运算求解即可. 【详解】因为男生和女生都不少于2人， 若男生2人且女生3人，则不同的选法种； 若男生3人且女生2人，则不同的选法种； 综上所述：不同的选法种. 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）5个工程队分别承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队各承建其中的1项，且甲工程队不能承建1号子项目.问：不同的承建方案有多少种？ 【答案】96 【分析】利用计数原理计算即可. 【详解】由题意可知：五个工程队承建五个项目，有种不同承建方案， 而甲工程队承建1号项目的方案有种方案， 故共有种不同方案. 题型2：代数中的组合计数问题 【例2-1】（24-25高二上·上海·假期作业）有__________个不同的正约数. 【答案】24 【分析】将写成几个质数的乘积，根据约数个数定理可得. 【详解】因为， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 表示：质数的个数加1， 所以不同正约数的个数为. 故答案为：. 【变式2-1】（24-25高二下·上海普陀·期末）把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 【答案】14 【分析】根据数列的单调性确定在的两侧，然后根据那些数字在的右侧进行分类讨论，从而求得正确答案. 【详解】依题意，数列恰好先递减后递增，所以在的两侧， 从中选出一个数排在的右侧，其余排在的左侧， 得到先减后增的数列有， 从中选出两个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 从中选出三个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有， 故满足条件的数量总个数为个. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【答案】56 【分析】首先根据排列组合的方式，确定符合条件的五位数有6个，再根据二项式定理，确定含项的系数． 【详解】由五位数需满足可知，， 再从2，3，4，5中任取两个数，大数是，小数是，剩下两个数按照大小分别是，． 故能组成个这样的五位数，则． 则在的展开式中，含项系数为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知（），其中i为虚数单位．将组合数、、、…、作为元素构成集合，将展开式的项的系数、、、···、作为元素构成集合． (1)求的值； (2)在中随机选取三个数，求最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案的种数； (3)设、，求的概率． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用赋值法，令即可求； （2）由题设共有11个元素，对应6个不同数值，最大数有1个、最小数有2个，再应用组合数及间接法求选取方案数； （3）问题化为求的概率，结合组合数、二项式定理及复数的乘方性质有、且，进而有或且均为奇数，最后确定有序数对个数并应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】（1）令，则； （2）由题设含、、、、、， 所以，共有11个元素， 若随机选取三个数均不是最大、小数有种，而从中任选三个数有种， 所以最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案种； （3）由，即， 由题设，由组合数且构成，共41个元素， 对于，由展开式通项的系数且构成，共41个元素， 所以选取的样本空间容量为， 由于，即，则，故， 所以，只需为奇数时， 所以，即或，显然均为奇数， 对于，共有20个对应的有序数对， 对于（），共有20个对应的有序数对， 综上，共有40个数对，故的概率. 题型3：数字排列问题 【例3-1】（24-25高二上·上海松江·月考）由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 【答案】6 【分析】用列举法写出所有四位数可得． 【详解】满足题意的四位数有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6个， 故答案为：6. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是________ 【答案】 【分析】通过个位数字是0和2，两类情况讨论即可求解； 【详解】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 【变式3-2】（24-25高二上·上海松江·月考）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 【答案】 【分析】按照二位正整数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数， 故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数． ①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择， 则这样的偶数有个； 则集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25高二上·上海·假期作业）用0－5这六个数字可以组成没有重复的 (1)四位偶数有多少个？ (2)能被5整除的四位数有多少？ 【答案】(1) (2)108 【分析】（1）根据末尾数字为偶数，利用分类加法计数原理即可求， （2）根据末尾数字为0或者5，分类即可求解. 【详解】（1）末位为0的四位偶数有个； 末位为2的四位偶数有个； 末位为4的四位偶数有个； 故共有个四位偶数 （2）能被5整除的数的个位数字是0或5． 根据分类计数原理知 当末位是0时，千位、十位和百位从5个元素中选3个进行排列有种结果， 当末位是5时，千位数字不能取零，有种取法，十位和百位从4个元素中选2个进行排列有种结果， 共有个结果， 根据分类计数原理知共有个能被5整除的四位数． 题型4：涂色问题 【例4-1】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域A，有5种颜色可选， ②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;     ③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选; ④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择, 则不同的涂色方案有种; 故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 【答案】 【分析】根据排列的知识求得正确答案. 【详解】从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者， 不同的安排方案种数为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高二上·上海·假期作业）给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有_________种 【答案】72 【分析】分用3色涂或4色涂两种情况求解可得结论. 【详解】若用3色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成三组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是15，34，2，此时的涂法有种， 若用4色涂，则应先把1，2，3，4，5五块区域分成四组，每组能用一种颜色涂， 分组方法是1，5，34，2或15，3，4，2，此时的涂法有种， 所以总的涂色方法有. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，用6种不同的颜色将A､B､C三个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且有公共边的区域不能涂同一种颜色.问：不同的涂色方法共有多少种？    【答案】 【分析】利用特殊位置法，结合分步计数原理即可得解. 【详解】先考虑涂区域，有6种不同的颜色可选，故有6种涂法； 再考虑区域，由于有公共边的区域不能涂同一种颜色，故有5种涂法； 最后考虑区域，显然也有5种涂法； 故不同的涂色方法有种. 题型5：实际问题中的组合计数问题 【例5-1】（24-25高二下·上海·期中）“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出恰有1项当天会决出奖牌、2项都不会当天决出奖牌、5个项目中随机选择2个项目的种类数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】恰有1项当天会决出奖牌有种选择，2项都不会当天决出奖牌有种选择， 5个项目中随机选择2个项目有种选择， 则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为. 故选：D 【变式5-1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【答案】A 【分析】利用组合计数问题，结合排除法求解即得. 【详解】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”（当时有），要么“逆序”，因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故选：A 【变式5-2】（25-26高二下·上海·月考）某学校一天安排5节课，现把语文、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理各一节和数学两节共10节课排到两天的课表中，两节数学不能在同一天上，共有______种安排方法．（结果用数值表示） 【答案】2016000 【分析】先将两节数学分到两天，再从8门课选4门安排在第一天，剩下4门在第二天，最后对每天5节课分别全排列，用分步乘法计数原理计算总安排数. 【详解】因为两节数学不能在同一天，因此两天各有1节数学课， 每天共5节课，第一天还需要从剩余8门不同的科目中选4门，凑够5节课，剩下4门自动归第二天， 所以选法为：， 又因为第一天的5节课全排列，第二天的5节课也全排列， 所以排列数分别为、，即：， 所以总安排数：. 【变式5-3】（25-26高二上·上海·月考）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (2)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选： ①五局三胜：先赢得三局者为胜，最多打五局； ②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局． 若甲在一局中获胜的概率为，用含的式子表示在两种赛制下甲获胜的概率，并分析当时，从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （2）分别计算五局三胜定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小． 【详解】（1）设至少有2个是“长发球回合”为事件， 10个发球回合中，其中“长发球回合”的有7个， 则总事件由中，至少有2个是“长发球回合”有， 所以， 即从这10个发球回合中随机抽取3个，至少有2个是“长发球回合”的概率为； （2）五局三胜，甲获胜的概率为 三局两胜，甲获胜的概率为； 当时，， 因此从甲的角度考虑，三局两胜对他更有利． 题型6：几何组合计数问题 【例6-1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【答案】A 【分析】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内，所以交点的个数就是四边形的个数，再由组合数计算即可； 【详解】任取轴和轴上的两点，可以组成一个四边形，这个四边形的两条对角线有一个交点，这个交点在第一象限内， 所以交点的个数就是四边形的个数，即个， 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二下·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【答案】80 【详解】从9个点中任选3个点的组合数为. 共线4点中选3个无法构成三角形，需减去. 可确定三角形个数：. 【变式6-2】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形． 【答案】 【分析】结合题意由组合数计算即可； 【详解】从一组中任选两条直线与另一组中任选两条直线，就可以构成一个平行四边形， 所以共有个， 故答案为：1260. 【变式6-3】如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？    【答案】 【分析】根据有没有取到点的两种情况分别计算，而没取到点又分两种情况计算，最后根据分类相加即可求解. 【详解】当取到点时，在、上各取一点（与点不同），有种； 当不取到点时， 一是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种； 二是从上取两点（与点不同），在上取一个点（与点不同），有种. 所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有种. 题型7：分组分配问题 【例7-1】（24-25高二上·上海松江·月考）4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 【答案】A 【分析】选2本捆绑作为一本书与其它2本书一起分给三个人． 【详解】由题意有1人分得2本书，方法数为， 故选：A． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【答案】B 【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果. 【详解】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）某校举办中学生模拟联合国大会，参会代表按地域分为亚太、欧洲、非洲、美洲个不同团组.现需将名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）全部安排到这个团组担任接待工作，每个团组至少安排人，则不同的安排方案共有________种. 【答案】 【分析】先将名志愿者分为四组，再将这四组人分配到个团组担任接待工作，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先将这名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）分为组，每组的人数分别为、、、， 再将这四组人分配到个团组担任接待工作， 由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案种数为. 故答案为：. 【变式7-3】（24-25高二下·上海·月考）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (2)将4封标有序号的信放到四个标有的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 【答案】(1)1800 (2)8 【分析】（1）从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法，进而可得； （2）以组的序号相同分析，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，进而可得. 【详解】（1）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法． 故共有种放法； （2）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，同理可知其它序号相同时各有2种选择， 故共有种放法． 题型8：其他组合计数模型 【例8-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 【答案】36 【分析】应用隔板法结合组合数公式计算求解. 【详解】因为个评优指标没有差别，把他们排成一排．相邻名额之间形成个空隙． 在个空档中选个位置插个隔板，把评优指标分成份，对应地分给3个班级，每一种隔板方法对应一种分法，则有有种分法． 故答案为：36. 【变式8-1】微信红包金额的单位为分.在某次抢红包游戏中，红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分，则这5人抢得红包的金额（不计先后次序）的所有不同组合为__________种.（用组合数回答） 【答案】 【解析】此问题相当于将1000个一分硬币分成4份，所以采用隔板法求解. 【详解】隔板法：10元=1000分，在1000个一分硬币隔开的去除头尾的999个空位中插入4块挡板，即得符合题意的情况为. 故答案为： 【点睛】此题考查的是排列组中的隔板法，在解题中要认真审题，属于基础题. 【变式8-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______. 【答案】130 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 【变式8-3】（24-25高二上·上海）6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 【答案】10 【分析】利用隔板法，6本书之间的5个空插入3个挡板，即可求解. 【详解】6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，6本书之间的5个空插入3个挡板，有种不同的分法. 一、填空题 1．正整数2022有______个不同的正约数． 【答案】 【分析】将写成几个质数的乘积，再利用组合数计算即可. 【详解】因为， 故所有的正约数有：个. 故答案为：. 2．用这十个数字组成没有重复数字的三位数的个数为______. 【答案】 【分析】借助分步加法原理计算即可得. 【详解】百位上有种可能，之后十位有种可能，个位有种可能， 故共有个. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____.（结果用数字作答） 【答案】72 【分析】分析可知，个位数有种选择，将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，个位数有种选择， 将其余四个数字分别排在万、千、百、十位上， 由分步乘法计数原理可知，奇数的个数为个. 故答案为：. 4．如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____________. 【答案】/ 【分析】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种，且每种情况出现的可能性相同，故为古典概型，由列举法计算出它们作为顶点的三角形是直角三角形的方法种数，求比值即可． 【详解】从正六边形的6个顶点中随机选择3个顶点，选择方法有种， 在正六边形中，直角三角形有，共12个， 由古典概型可知以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率 故答案为：． 5．（25-26高二上·上海·期末）某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 【答案】 【分析】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课，结合分步乘法计数和分类加法计数原理求结论. 【详解】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课， 其中只选1门知识类选修课的选法有种. 选2门知识类选修课的选法有种. 所以符合条件的选法有种. 故答案为：18. 6．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有___________个． 【答案】 【分析】令，，求出集合的非空子集数，与集合的子集数，再由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】集合中的完全平方数有，，， 令，， 则集合的非空子集有个， 集合的子集有个， 则满足条件的集合为集合的非空子集与集合的子集的并集， 故一共有个. 故答案为： 7．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 【答案】8 【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可. 【详解】两种颜色类型的，有种； 类型的，有种（两个面相邻、相对） 类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点） 因此共有8种. 故答案为：8. 8．（24-25高二下·上海·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，结合组合计数问题求出集合中非空子集个数，进而求出概率. 【详解】， 由数列，得每隔三项为奇数、偶数、奇数，不断重复出现， 则中奇数项有1350个，偶数项有675个， 由且，得集合的非空子集个数为个， 而中所有元素之和为奇数的集合个数为 则中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为： 9．（25-26高二上·上海·期末）将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 【答案】36 【分析】根据分组分配即可求解． 【详解】先将4名程序专家分成一个2人组和两个1人组，共有种，再分配给3个AI实验室,有种， 所以共有种不同的分配方案． 10．（25-26高二上·上海·期末）现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 【答案】 【分析】按只会划左桨的人进行分类即可求出答案. 【详解】由题意得，这12名划船运动员中任选6人，其中3人划左桨，3人划右桨，可以分为下面3种情况： ①只会划左桨的2人全部安排，双桨都会的5人中选取1人划左桨， 再从剩余的9人中选3人划右桨，有种； ②只会划左桨的2人安排1人，双桨都会的5人中选取2人划左桨， 再从剩余的8人中选3人划右桨，有种； ③只会划左桨的2人安排0人，双桨都会的5人中选取3人划左桨， 再从剩余的7人中选3人划右桨，有种； 综上，共有种. 故答案为： 11．（24-25高二上·上海·假期作业）在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有______个． 【答案】72 【分析】先安排个位，再安排千位，最后考虑十位和百位. 【详解】根据题意，第一步个位有4种选法，第二步千位有3种选法，最后十位和百位有种选法， 所以不能被5整除的数共有个. 故答案为：72. 12．（25-26高二上·上海·期末）如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 【答案】296 【分析】从高度为1的顶点沿竖直向上的棱爬到高度为2的顶点，一共有7处，计算通过这7条棱各自的情况总数，再相加即可. 【详解】 从高度为1的顶点沿竖直向上的棱爬到高度为2的顶点，一共有7处，分别记为，，，，，，，且，，，，， 点下方的点记为，，，，，另外，点上方的点记为， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有种路径， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 则从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，再到有1种路径， 又到有种路径，则从到到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，竖直的棱向上爬再到有1种路径， 则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到到有种路径， 沿竖直的棱向上爬再到有1种路径，则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到到有种路径，从到到到有种路径， 再到有1种路径，则从到到有种路径， 因此从到可能的爬行路径共有种. 故答案为：296. 二、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件中仅有2件次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率计算公式即可得出． 【详解】有2件次品的取法为，总取法为. 则仅有2件次品的概率为. 故选：A. 14．（24-25高二下·上海·月考）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案. 【详解】根据分层抽样，初中部和高中部分别抽取人和人，不同的抽样结果的种数为 所以选： 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 【答案】D 【分析】由题确定圆上的整点，然后由两点确定一条直线及过圆整点的切线条数可得答案. 【详解】因，，则公共点为： ，共12个. 若这样的直线为圆的切线，则满足题意的切线有12条； 若这样的直线不为圆的切线，则由两点确定一条直线，满足的直线有条. 则这样的直线有78 条. 故选：D 16．（25-26高二上·上海·期末）定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．64个 B．57个 C．56个 D．54个 【答案】D 【分析】分四个数中只有两个数相同或只有两对数时或四个数中有三个数相同时三种情况讨论求解即可. 【详解】当四个数中只有两个数相同，先确定重复的数，有种情况，再排序有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有 当四个数中只有两对数时，先选2个不同的数，有种情况，再对两对数排序，有种情况（排除单调不减和不增的排列各1种），故有种情况； 当四个数中有三个数相同时，先选出两个数，再从选出的两个数中选出重复的数，有种情况，再排序，有种情况（排除单调排列2种），故有种情况； 所以总方法数有． 故选：D 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·假期作业）有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 【答案】432 【分析】可用间接法求解.先求出0可以在首位的所有排列，再减去0在首位的排列即可. 【详解】如果0可以排在首位，所有的排法有：种. 其中0在首位的排法有：种， 所以满足条件的排法有：种. 18．（24-25高二上·上海·假期作业）求方程的非负整数解的个数. 【答案】66 【分析】转化为把13个相同小球放在三个不同的盒子里，利用隔板法，即可求得答案. 【详解】可将问题转化为把13个相同小球放入三个不同的箱子中， 由于箱子中的球可以为0，可知不满足隔板法的使用条件， 因此我们可以选择添加三个球，即给箱子中各添加一个球， 这样就将问题转化为把13个相同小球放入三个不同箱子中，且每个箱子中至少有一个球， 即将原问题转化为求的正整数解的个数， 因此可得方程的非负整数解的个数是. 所以方程的非负整数解的个数为. 19．（24-25高二上·上海·假期作业）6本不同的书放入三个不同的书架里，每个书架2本共有多少分法？ 【答案】 【分析】先分3堆，再分到三个不同的书架即可. 【详解】先平均分成3堆， 再把3堆分给3个书架可得分法为， 6本不同的书放入三个不同的书架里，每个书架2本共有种分法. 20．在一张节目单中原有6个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有6个节目前后相对顺序．问：一共有多少种不同的插法？ 【答案】 【分析】由题意知插入的个节目且保持这些节目的相对顺序不变，有三类办法排进去个节目连排，个节目互不相邻，有且仅有个节目连排，根据分类计数原理得到结果． 【详解】依题意插入的个节目有三类办法排进去： ①个节目连排，有种方法； ②个节目互不相邻，有种方法； ③有且仅有个节目连排，有种方法． 根据分类计数原理共有种插法． 21．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案. （2）根据分的组合情况进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】（1）学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数为种. （2）学生乙最终获得分，有两种情况： ①，抽到张“龙”卡以及其它任意张卡，方法数有种. ②，抽到抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，方法数有种. 所以学生乙最终获得分的不同的抽法种数为种. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 计数原理在古典概率中的应用 知识清单 知识点01：计数原理在古典概率中的应用 知识点02：排列组合的综合应用 题型讲解 （举一反三） 题型1：实际问题中的计数问题 题型2：代数中的组合计数问题 题型3：数字排列问题 题型4：涂色问题 题型5：实际问题中的组合计数问题 题型6：几何组合计数问题 题型7：分组分配问题 题型8：其他组合计数模型 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01 计数原理在古典概率中的应用 古典概率的计算公式 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝ 当n值较大时，枚举法难以使用，就需要利用排列组合的知识． 知识点02 排列组合的综合应用 排列组合问题的一些解题技巧： ①特殊元素优先安排； ②合理分类与准确分步； ③排列、组合混合问题先选后排； ④相邻问题捆绑处理； ⑤不相邻问题插空处理； ⑥定序问题除法处理； ⑦分排问题直排处理； ⑧“小集团”排列问题先整体后局部； ⑨构造模型； ⑩正难则反、等价转化． 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑： ①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/26 21:09:41；用户：15921142042；邮箱：15921142042；学号：32447539 题型1：实际问题中的计数问题 【例1-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第一道或第二道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【变式1-1】（25-26高二上·上海·期末）食堂有4个门，从一个门进，再从另一个门出，不同的走法一共有________种． 【变式1-2】（25-26高二下·上海·月考）从5名男生和5名女生中选取5人组成一个宣传小组，其中男生和女生都不少于2人的选法有_____种.（结果用数值表示） 【变式1-3】（23-24高二上·上海·课后作业）5个工程队分别承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队各承建其中的1项，且甲工程队不能承建1号子项目.问：不同的承建方案有多少种？ 题型2：代数中的组合计数问题 【例2-1】（24-25高二上·上海·假期作业）有__________个不同的正约数. 【变式2-1】（24-25高二下·上海普陀·期末）把这五个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先递减后递增，则这样的数列共有__________个. 【变式2-2】（23-24高二下·上海·期中）用1､2､3､4､5组成没有重复数字的五位数，若满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数是__________.（用数字作答） 【变式2-3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知（），其中i为虚数单位．将组合数、、、…、作为元素构成集合，将展开式的项的系数、、、···、作为元素构成集合． (1)求的值； (2)在中随机选取三个数，求最大数与最小数至少有一个被选中的选取方案的种数； (3)设、，求的概率． 题型3：数字排列问题 【例3-1】（24-25高二上·上海松江·月考）由1、2、3、4可以组成______个2在百位的没有重复数字的四位数. 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是________ 【变式3-2】（24-25高二上·上海松江·月考）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·假期作业）用0－5这六个数字可以组成没有重复的 (1)四位偶数有多少个？ (2)能被5整除的四位数有多少？ 题型4：涂色问题 【例4-1】如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【变式4-1】（24-25高二下·上海闵行·期末）从5名同学中选2名分别去A、B两个不同地点做志愿者，不同的安排方案种数为________． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·假期作业）给图中区域涂色，要求相邻区域不同色，现有4种可选颜色，则不同的着色方法有_________种 【变式4-3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，用6种不同的颜色将A､B､C三个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且有公共边的区域不能涂同一种颜色.问：不同的涂色方法共有多少种？    题型5：实际问题中的组合计数问题 【例5-1】（24-25高二下·上海·期中）“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【变式5-2】（25-26高二下·上海·月考）某学校一天安排5节课，现把语文、英语、物理、化学、生物、政治、历史、地理各一节和数学两节共10节课排到两天的课表中，两节数学不能在同一天上，共有______种安排方法．（结果用数值表示） 【变式5-3】（25-26高二上·上海·月考）在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． (1)如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； (2)假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选： ①五局三胜：先赢得三局者为胜，最多打五局； ②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局． 若甲在一局中获胜的概率为，用含的式子表示在两种赛制下甲获胜的概率，并分析当时，从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 题型6：几何组合计数问题 【例6-1】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，轴正半轴上有4个点，轴正半轴上有6个点，将轴上的4个点和轴上的6个点连成24条线段，这24条线段在第一象限内的交点最多有（ ）个 . A．90 B．85 C．80 D．75 【变式6-1】（25-26高二下·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【变式6-2】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形． 【变式6-3】如图，在的两边、上分别有5个点和6个点（都不同于点O），这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？    题型7：分组分配问题 【例7-1】（24-25高二上·上海松江·月考）4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 【变式7-1】（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（    ） A．30 B．60 C．120 D．360 【变式7-2】（25-26高二上·上海·期末）某校举办中学生模拟联合国大会，参会代表按地域分为亚太、欧洲、非洲、美洲个不同团组.现需将名志愿者（甲、乙、丙、丁、戊）全部安排到这个团组担任接待工作，每个团组至少安排人，则不同的安排方案共有________种. 【变式7-3】（24-25高二下·上海·月考）结合排列组合，解决下列问题． (1)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (2)将4封标有序号的信放到四个标有的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？ 题型8：其他组合计数模型 【例8-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）有10个评优指标分到3个不同的班级.若每班至少分配到1个指标，则指标个数的不同分配方法共有__________种. 【变式8-1】微信红包金额的单位为分.在某次抢红包游戏中，红包总额为10元，共有5人参加抢红包，每人所得红包金额至少为1分，则这5人抢得红包的金额（不计先后次序）的所有不同组合为__________种.（用组合数回答） 【变式8-2】（24-25高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为______. 【变式8-3】（24-25高二上·上海）6本相同的书分给4名同学，每人至少一本，有多少种不同的分法？ 一、填空题 1．正整数2022有______个不同的正约数． 2．用这十个数字组成没有重复数字的三位数的个数为______. 3．（24-25高二下·上海闵行·月考）用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为____.（结果用数字作答） 4．如图，6只小狗恰好在正六边形广场的顶点上玩耍，从中随机选取三只（视作点）连结成线，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____________. 5．（25-26高二上·上海·期末）某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 6．（23-24高二下·上海·期末）集合是的子集，且中的元素有完全平方数，则满足条件的集合共有___________个． 7．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 8．（24-25高二下·上海·期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，（，）.已知，且，则中所有元素之和为奇数的概率为_____.（用最简分数表示） 9．（25-26高二上·上海·期末）将4名程序专家全部分配到1，2，3号3个AI实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，则不同的分配方案共有______种． 10．（25-26高二上·上海·期末）现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 11．（24-25高二上·上海·假期作业）在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有______个． 12．（25-26高二上·上海·期末）如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 一、单选题 13．（24-25高二下·上海·月考）有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件中仅有2件次品的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海·月考）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生，已知该校初中部和高中部分别有和名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线（不全为 0）与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有（  ） A．60 条 B．66 条 C．72 条 D．78 条 16．（25-26高二上·上海·期末）定义“摆动数列”如下：存在正整数t，满足，且存在正整数s，满足．已知“摆动数列”共4项，若，则这样的数列共有（    ） A．64个 B．57个 C．56个 D．54个 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·假期作业）有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 18．（24-25高二上·上海·假期作业）求方程的非负整数解的个数. 19．（24-25高二上·上海·假期作业）6本不同的书放入三个不同的书架里，每个书架2本共有多少分法？ 20．在一张节目单中原有6个节目已排好顺序，现要插入3个节目，并要求不改变原有6个节目前后相对顺序．问：一共有多少种不同的插法？ 21．某班级在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个学生从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，若抽中“福”“龙”“迎”“春”张卡片，则额外获得2分． (1)求学生甲抽到“福”“龙”“迎”“春”4张卡片的不同的抽法种数； (2)求学生乙最终获得分的不同的抽法种数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $