10.4整式的除法学案 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

10.4整式的除法 知 识 清 单 知识点1 单项式的除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 【知识解读】 单项式的除法步骤： ①系数除以系数作为商的系数，注意符号； ②同底数幂按照除法法则（底数不变，指数相减）计算； ③只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 素 养 提 升 考点1 单项式的除法 例题讲解： 1．计算（﹣2x3）2÷x4结果是（　　） A．﹣4x2 B．4x2 C．﹣4x3 D．4x3 2．下列运算正确的是（　　） A．3x2+x2＝4x4 B．（x﹣1）2＝x2+1 C．6x4y÷2x3＝3x D．（﹣x2y）2＝x4y2 3．已知3x4y3÷▲＝xy2，则“▲”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 4．一个长方形的面积为12a3b2，它的长为3a3b，则宽为（　　） A．4b B．4a2b C．3ab D．3a2b 跟踪训练： 1．计算： （1）（28x4y2）÷（7x3y）． （2）4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 2．计算（﹣2x3）2÷（﹣x）2的结果是（　　） A．4x3 B．4x4 C．﹣2x4 D．﹣2x3 3．下列运算正确的是（　　） A．﹣2m+（﹣3m）＝5m B．3xy2﹣x2y＝2xy2 C．xy2×（﹣2x2y）＝﹣2x2y2 D．﹣10n8÷2n8＝﹣5 4．小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如﹣4x6y4÷■＝2xy，则“■”所表示的式子是（　　） A．﹣2x5y5 B．﹣2x5y3 C．﹣4x3y5 D．2x5y3 5．计算28x4y2÷（﹣7x3y）的正确结果是（　　） A．4xy B．﹣4xy C．4x2y D．4xy2 6．已知，那么（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝6，b＝3 C．a＝3，b＝6 D．a＝7，b＝6 7．8x6y4z÷（　　）＝4x2y2，括号内应填的代数式为（　　） A．2x3y2 B．2x3y2z C．2x4y2z D． 8．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 9．如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（　　） A．b B．2b C．4b2 D．2a 10．计算下列各式①（a3）2÷a5＝1；②（﹣x4）2÷x4＝x4；③（x﹣3）0＝1（x≠3）；④．正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知 识 清 单 知识点2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 【知识解读】 多项式的除法注意事项： ①符号问题：在计算过程中，要特别注意各项的符号。同号相除为正，异号相除为负。 ②系数运算：系数相除时，要准确进行除法运算。 ③同底数幂运算:同底数幂相除，底数不变，指数相减。 ④不要漏项:在分别相除和相加合并的过程中，要确保每一项都参与运算，不能漏项。 素 养 提 升 考点2 多项式除以单项式 例题讲解： 1．下列计算正确的是（　　） A．（﹣m）2•（﹣m3）＝m5 B．2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b C．（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x+1 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 2．一个长方形的面积是12a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．12a2﹣6a+2 B．6a3﹣3a2+a C．6a2﹣3a D．6a2﹣3a+1 3．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是﹣6x3+3x2﹣9x，由此可以推断出正确的计算结果是　 　 ． 4．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（y﹣4x）﹣4xy]÷4x，其中x＝2，y＝1． 跟踪训练： 1．下列计算正确的是（　　） A．（﹣3mn3）2＝6m2n6 B．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab﹣4b2 C．（a﹣2b）（﹣2b﹣a）＝4b2﹣a2 D．（6x2y3﹣2xy）÷2xy＝3xy2 2．计算：（9a3b4c﹣6a4b5）÷（﹣3ab4）＝　 ． 3．（1）计算：（﹣3m）2+6m2＝　 ； （2）计算：（18a3﹣9a2﹣3a）÷3a＝　 　 ． 4．计算：（2x3）2（﹣3y2）÷（﹣6x2y）＝　 ． 5．计算：（2x3﹣2x）÷2x﹣（﹣2x）2＝ 　 　 ． 6．计算：[5a4•a2﹣（3a3）2]÷（2a2）3的结果为 　 　 ． 7．已知长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，一边长为2a，则另一边长为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣3b+1 C．4a2﹣6ab D．2a2﹣3b+2 8．若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的周长是　 　 ． 9．计算：（﹣4ab3+8a2b2）÷（4ab）﹣（2a+b）（a﹣b）． 10．计算： （1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a+2a； （2）（x+5）（2x﹣7）． 11．计算： （1）（﹣2x2y）3•（3xy）2÷6x； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）． 12．计算[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+2x（2x﹣y）]÷2x． 13．先化简，后求值：，其中x＝3，y＝﹣2． 14．先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x﹣x3y÷x2]÷y，其中，y＝2026． 15．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（2x），其中x＝﹣2，． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.4整式的除法 知 识 清 单 知识点1 单项式的除法 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 【知识解读】 单项式的除法步骤： ①系数除以系数作为商的系数，注意符号； ②同底数幂按照除法法则（底数不变，指数相减）计算； ③只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 素 养 提 升 考点1 单项式的除法 例题讲解： 1．计算（﹣2x3）2÷x4结果是（　　） A．﹣4x2 B．4x2 C．﹣4x3 D．4x3 【解答】解：原式＝4x6÷x4 ＝4x2． 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A．3x2+x2＝4x4 B．（x﹣1）2＝x2+1 C．6x4y÷2x3＝3x D．（﹣x2y）2＝x4y2 【解答】解：根据合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方逐项分析判断如下： A、3x2+x2＝4x2≠4x4，故该选项不符合题意； B、（x﹣1）2＝x2﹣2x+1≠x2+1，故该选项不符合题意； C、6x4y÷2x3＝3xy≠3x，故该选项不符合题意； D、（﹣x2y）2＝x4y2，故该选项符合题意； 故选：D． 3．已知3x4y3÷▲＝xy2，则“▲”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【解答】解：∵3x4y3÷▲＝xy2， ∴▲＝3x4y3÷xy2＝3x3y， 故选：B． 4．一个长方形的面积为12a3b2，它的长为3a3b，则宽为（　　） A．4b B．4a2b C．3ab D．3a2b 【解答】解：由题意得：12a3b2÷3a3b ＝（12÷3）•（a3÷a3）•（b2÷b） ＝4b， 故选：A． 跟踪训练： 1．计算： （1）（28x4y2）÷（7x3y）． （2）4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 【解答】解：（1）（28x4y2）÷（7x3y）＝4xy． （2）原式＝4x3y÷2y•（﹣3xy3）2 ＝4x3y÷2y•9x2y6 ＝2x3•（9x2y6） ＝18x5y6． 2．计算（﹣2x3）2÷（﹣x）2的结果是（　　） A．4x3 B．4x4 C．﹣2x4 D．﹣2x3 【解答】解：原式＝4x6÷x2＝4x4， 故选：B． 3．下列运算正确的是（　　） A．﹣2m+（﹣3m）＝5m B．3xy2﹣x2y＝2xy2 C．xy2×（﹣2x2y）＝﹣2x2y2 D．﹣10n8÷2n8＝﹣5 【解答】解：根据合并同类项，单项式乘单项式和单项式除以单项式的法则逐项分析判断如下： A、﹣2m+（﹣3m）＝﹣5m，原选项计算错误，不符合题意； B、3xy2，x2y不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、xy2•（﹣2x2y）＝﹣2x3y3，原选项计算错误，不符合题意； D、﹣10n8÷2n8＝﹣5，原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如﹣4x6y4÷■＝2xy，则“■”所表示的式子是（　　） A．﹣2x5y5 B．﹣2x5y3 C．﹣4x3y5 D．2x5y3 【解答】解：根据单项式除以单项式运算法则可得： ﹣4x6y4÷2xy＝﹣2x5y3， ∴“■”所表示的式子是﹣2x5y3， 故选：B． 5．计算28x4y2÷（﹣7x3y）的正确结果是（　　） A．4xy B．﹣4xy C．4x2y D．4xy2 【解答】解：28x4y2÷（﹣7x3y）＝﹣4xy． 故选：B． 6．已知，那么（　　） A．a＝2，b＝3 B．a＝6，b＝3 C．a＝3，b＝6 D．a＝7，b＝6 【解答】解：由题意可得5﹣b＝2，a﹣3＝3， 解得：a＝6，b＝3， 故选：B． 7．8x6y4z÷（　　）＝4x2y2，括号内应填的代数式为（　　） A．2x3y2 B．2x3y2z C．2x4y2z D． 【解答】解：8x6y4z÷（　　）＝4x2y2， 括号内应填的代数式为8x6y4z÷4x2y2＝2x4y2z， 故选：C． 8．已知6x4y3÷★＝2xy2，则“★”所表示的式子是（　　） A．12x5y5 B．3x3y C．3x3y2 D．4x3y 【解答】解：由题意得，6x4y3÷2xy2＝3x3y， 故选：B． 9．如图，将一个大正方形分成2个矩形和2个正方形，分别标为①，④和②，③，其中③，④两个部分已标注面积，则正方形②的边长为（　　） A．b B．2b C．4b2 D．2a 【解答】解：由条件可得正方形③的边长为a， ∴矩形④的宽为2ab÷a＝2b， ∴正方形②的边长为2b， 故选：B． 10．计算下列各式①（a3）2÷a5＝1；②（﹣x4）2÷x4＝x4；③（x﹣3）0＝1（x≠3）；④．正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①（a3）2÷a5＝a6÷a5＝a，原计算错误； ②（﹣x4）2÷x4＝x8÷x4＝x4，原计算正确； ③（x﹣3）0＝1（x≠3），原计算正确； ④2a10b3，原计算错误； 所以计算正确的有2个， 故选：C． 知 识 清 单 知识点2 多项式除以单项式 多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加 【知识解读】 多项式的除法注意事项： ①符号问题：在计算过程中，要特别注意各项的符号。同号相除为正，异号相除为负。 ②系数运算：系数相除时，要准确进行除法运算。 ③同底数幂运算:同底数幂相除，底数不变，指数相减。 ④不要漏项:在分别相除和相加合并的过程中，要确保每一项都参与运算，不能漏项。 素 养 提 升 考点2 多项式除以单项式 例题讲解： 1．下列计算正确的是（　　） A．（﹣m）2•（﹣m3）＝m5 B．2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b C．（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x+1 D．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1【解答】解：A、（﹣m）2⋅（﹣m3）＝﹣m2+3＝﹣m5，本选项错误，不符合题意； B、2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a2+3b1+1＝﹣4a5b2，本选项错误，不符合题意； C、（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x+1，本选项正确，符合题意； D、（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．一个长方形的面积是12a3﹣6a2+2a．若它的长是2a，则它的宽是（　　） A．12a2﹣6a+2 B．6a3﹣3a2+a C．6a2﹣3a D．6a2﹣3a+1 【解答】解：由题意得：它的宽＝（12a3﹣6a2+2a）÷2a ＝12a3÷2a﹣6a2÷2a+2a÷2a ＝6a2﹣3a+1， 故选：D． 3．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法算成了乘法，得到的答案是﹣6x3+3x2﹣9x，由此可以推断出正确的计算结果是　2x2﹣4x+3　 ． 【解答】解：（﹣6x3+3x2﹣9x）÷（﹣3x）＝2x2﹣x+3， 则（﹣3x）+（2x2﹣x+3）＝2x2﹣4x+3， 故答案为：2x2﹣4x+3． 4．先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（y﹣4x）﹣4xy]÷4x，其中x＝2，y＝1． 【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣y2+4xy﹣4xy）÷4x ＝（4x2﹣4xy）÷4x ＝4x2÷4x﹣4xy÷4x ＝x﹣y， 当x＝2，y＝1时，原式＝2﹣1＝1． 跟踪训练： 1．下列计算正确的是（　　） A．（﹣3mn3）2＝6m2n6 B．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab﹣4b2 C．（a﹣2b）（﹣2b﹣a）＝4b2﹣a2 D．（6x2y3﹣2xy）÷2xy＝3xy2 【解答】解：选项A：∵原式＝（﹣3）2m2（n3）2＝9m2n6≠6m2n6，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵原式＝a2﹣4ab+（2b）2＝a2﹣4ab+4b2≠a2﹣4ab﹣4b2，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵原式＝（﹣2b+a）（﹣2b﹣a）＝（﹣2b）2﹣a2＝4b2﹣a2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵原式＝6x2y3÷2xy﹣2xy÷2xy＝3xy2﹣1≠3xy2，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 2．计算：（9a3b4c﹣6a4b5）÷（﹣3ab4）＝　2a3b﹣3a2c ． 【解答】解：（9a3b4c﹣6a4b5）÷（﹣3ab4） ＝[9a3b4c÷（﹣3ab4）]﹣[6a4b5÷（﹣3ab4）] ＝（﹣3a2c）﹣（﹣2a3b） ＝2a3b﹣3a2c． 3．（1）计算：（﹣3m）2+6m2＝　15m2 ； （2）计算：（18a3﹣9a2﹣3a）÷3a＝　6a2﹣3a﹣1　 ． 【解答】解：（1）先算乘方，再合并同类项可得： （﹣3m）2+6m2＝9m2+6m2＝15m2； （2）利用整式的除法运算法则计算可得： （18a3﹣9a2﹣3a）÷3a＝6a2﹣3a﹣1． 4．计算：（2x3）2（﹣3y2）÷（﹣6x2y）＝　2x4y ． 【解答】解：（2x3）2（﹣3y2）÷（﹣6x2y） ＝（4x6）（﹣3y2）÷（﹣6x2y） ＝﹣12x6y2÷（﹣6x2y） ＝2x4y． 故答案为：2x4y． 5．计算：（2x3﹣2x）÷2x﹣（﹣2x）2＝ 　﹣3x2﹣1　 ． 【解答】解：（2x3﹣2x）÷2x﹣（﹣2x）2 ＝x2﹣1﹣4x2 ＝﹣3x2﹣1， 故答案为：﹣3x2﹣1． 6．计算：[5a4•a2﹣（3a3）2]÷（2a2）3的结果为 　　 ． 【解答】解：[5a4•a2﹣（3a3）2]÷（2a2）3 ＝[5a6﹣9a6]÷8a6 ＝﹣4a6÷8a6 ． 故答案为：． 7．已知长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，一边长为2a，则另一边长为（　　） A．2a﹣3b B．2a﹣3b+1 C．4a2﹣6ab D．2a2﹣3b+2 【解答】解：∵长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，一边长为2a， ∴长方形的另一边为：（4a2﹣6ab+2a）÷2a＝2a﹣3b+1． 故选：B． 8．若长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a，则这个长方形的周长是　8a﹣2b+6　 ． 【解答】解：∵长方形面积是3a2﹣3ab+9a，一边长为3a， ∴另一边长＝（3a2﹣3ab+9a）÷3a＝a﹣b+3， ∴这个长方形的周长＝2（a﹣b+3+3a） ＝2（4a﹣b+3） ＝8a﹣2b+6， 故答案为：8a﹣2b+6． 9．计算：（﹣4ab3+8a2b2）÷（4ab）﹣（2a+b）（a﹣b）． 【解答】解：（﹣4ab3+8a2b2）÷（4ab）﹣（2a+b）（a﹣b） ＝﹣b2+2ab﹣（2a2﹣2ab+ab﹣b2） ＝﹣b2+2ab﹣2a2+2ab﹣ab+b2 ＝3ab﹣2a2． 10．计算： （1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a+2a； （2）（x+5）（2x﹣7）． 【解答】解：（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a+2a ＝4a2﹣2a+1+2a ＝4a2+1； （2）（x+5）（2x﹣7） ＝2x2﹣7x+10x﹣35 ＝2x2+3x﹣35． 11．计算： （1）（﹣2x2y）3•（3xy）2÷6x； （2）（x+2y﹣z）（x﹣2y+z）． 【解答】解：（1）原式＝﹣8x6y3•9x2y2÷6x ＝﹣72x8y5÷6x ＝﹣12x7y5； （2）原式＝[x+（2y﹣z）][x﹣（2y﹣z）] ＝x2﹣（2y﹣z）2 ＝x2﹣（4y2﹣4yz+z2） ＝x2﹣4y2+4yz﹣z2． 12．计算[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+2x（2x﹣y）]÷2x． 【解答】解：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+2x（2x﹣y）]÷2x ＝[x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2+4x2﹣2xy]÷2x ＝[6x2﹣6xy]÷2x ＝3x﹣3y． 13．先化简，后求值：，其中x＝3，y＝﹣2． 【解答】解：原式＝（x2+4xy+4y2﹣3x2+xy﹣3xy+y2﹣5y2） ＝（﹣2x2+2xy） ＝3x﹣3y． 当x＝3，y＝﹣2时， 原式＝3×3﹣3×（﹣2）＝15． 14．先化简，再求值：[（2x+y）2﹣4x•x﹣x3y÷x2]÷y，其中，y＝2026． 【解答】解：原式＝（4x2+4xy+y2﹣4x2﹣xy）÷y ＝（y2+3xy）÷y ＝y+3x， 将，y＝2026代入得： 原式． 15．先化简，再求值：[（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）]÷（2x），其中x＝﹣2，． 【解答】解：原式＝（4x2﹣y2+x2+2xy+y2﹣4x2+2xy）÷（2x） ＝（x2+4xy）÷（2x） ； 把x＝﹣2，代入得：原式． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $