【解答题专项】02立体几何2026年湖南省对口招生考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （二）立体几何 一、解答题 1．如图1，在等腰直角三角形中，，，、分别是，上的点，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)证明：平面； (2)求二面角的平面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值。 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】利用线线垂直证明线面垂直 【解析】(1)在图1、2中，连接，，易得，，，， 因为， 所以， 即，， 所以平面； (2)在图2中设，交于点，取中点，连接，，则 ，， 则就是二面角的平面角， 其中，， ； (3)取中点，连接和，作，则平面， 所以就是直线与平面所成的角， 易得，， 所以。 2．如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点。 (1)求证：平面； (2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值。 【答案】(1)证明见解析．(2)． 【分析】利用线线平行证明线面平行 【解析】(1)连接交于点，连接，如图， 则是中点，又是中点，所以， 平面，平面，所以平面； (2)平面，平面，所以， 又，是中点，所以， ，平面，所以平面， 平面，所以， 所以是二面角的平面角； 由，，，得，，， 所以； 。 3．已知直三棱锥ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别为棱AB，A1C1的中点，如图所示。 (1)求证：DE∥平面BCC1B1； (2)求DE与平面ABC所成角的正切值。 【答案】(1)证明见解析．(2)． 【分析】利用线线平行证明线面平行 【解析】(1)取BC中点F，连接C1F，DF， ∵DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AC，； ∵EC1∥AC，； ∴DF∥EC1，DF＝EC1； ∴四边形DFC1E是平行四边形，DE∥C1F； ∵， ∴DE∥平面BCC1B1； ∵DE∥C1F，在直三棱锥ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC， ∴C1C⊥BC，DE与平面ABC所成角为∠C1FC； 在RT△C1CF中，CC1＝2FC， ∴。 4．如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上异于A，B重合的点。 (1)求证：平面DMB⊥平面DAM； (2)若△AMB是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D－AMB体积的比值。 【答案】(1)证明见解析．(2)3π． 【分析】利用线面垂直证明面面垂直 【解析】(1)证明：如图所示，四边形ABCD是圆柱的轴截面， ∴DA⊥平面AMB； ∵， ∴DA⊥MB； ∵AB为底圆的直径，M是下底面圆周上异于A，B重合的点； ∴MA⊥MB，且； ∴MB⊥平面DAM， ∵， ∴平面DMB⊥平面DAM； (2)假设AB＝2r，则， ∵△AMB是等腰三角形，AB是底圆直径， ∴△AMB是等腰直角三角形，； 又因为， ∴； ； 5．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且AB＝NB＝1，AD＝MA＝2。求棱锥M－NAD的体积。 【答案】见解析 【分析】利用棱锥M－NAD与棱锥N－MAD体积相等相等求解即可 【解析】 解：棱锥M－NAD与棱锥N－MAD体积相等， ； ∵MA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形， ∴AB⊥MA，AB⊥AD，且AD∩AM＝A，∴AB⊥平面MAD； ∵MA⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD， ∴N到平面MAD的距离d＝AB＝1； ∴棱锥N－MAD的体积。 6．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3． (1)求SA与BC所成角的余弦值； (2)求证：AB⊥SD。 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】利用线面垂直推面面垂直 【解析】 (1)解：∵AD∥BC， ∴∠SAD就是异面直线SA与BC所成的角； 在△SAD中，SA＝SD＝2，又在正方形ABCD中，AD＝AB＝3， ∴由余弦定理； ∴SA与BC所成角的余弦值为； (2)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD， 又AB⊥AD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥平面SAD； 又SD⊂平面SAD， ∴AB⊥SD。（线－－－面垂直定理） 7．已知三棱锥S－ABC，平面SAC⊥平面ABC，且SA⊥AC，AB⊥BC． (1)求证：BC⊥平面SAB； (2)若SB＝2，SB与平面ABC所成角的大小是30°，求点S到平面ABC的距离。 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【分析】利用线线垂直推线面垂直 【解析】(1)证明：∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，且SA⊥AC， ∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC； ∴SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A； ∴BC⊥平面SAB； (2)解：由(1)知，SA⊥平面ABC， ∴点S到平面ABC的距离即为线段SA的长度； 并且可知，SB在平面ABC内的射影为AB， ∴∠SBA即为SB与平面ABC所成的角，即∠SBA＝30°， 在Rt△SAB中，∠SAB＝90°，∠SBA＝30°，SB＝2，；　　　　　 ∴点S到平面ABC的距离是1。 8．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点。 求证：(1)PB∥平面ACM；(2)AD⊥平面PAC。 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】利用线线平行推线面平行以及线线垂直推线面垂直 【解析】(1)证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点， ∴O也是BD的中点； 在△BDP中，M为PD的中点， ∴PB∥MO； ∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM， ∴PB∥平面ACM。 (2)在△ACD中，∵∠ADC＝45°，且AD＝AC， ∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC； 又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PO⊥AD，又AC∩PO＝O； ∴AD⊥平面PAC。 9．如图所示，在三棱锥V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且O，M分别为AB，VA的中点。 求证：(1)VB∥平面MOC； (2)平面MOC⊥平面VAB。 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】利用线线平行推线面平行以及线面垂直推面面垂直 【解析】证明：(1)∵O，M分别为AB，VA的中点， ∴OM∥VB； 又VB平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC； (2)∵AC＝BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB； 又平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面VAB； 又OC⊂平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB。 10．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3。 （1）求SA与BC所成角的余弦值；（2）求证：AB⊥SD。 【答案】（1） （2）证明见解析 【分析】利用线面垂直推线线垂直 【解析】（1） ∵AD∥BC， ∴∠SAD即为SA与BC所成角；在△SAD中，SA＝SD＝2，AB＝3； ∴；SA与BC所成角的余弦值为。 （2） ∵； 在正方形ABCD中，AB⊥AD； ∴AB⊥面SAD； 又∵； ∴AB⊥SD。 11．如图（1）所示，已知正四棱锥S－ABCD，E，F分别是侧棱SA，SC的中点。 求证：（1）EF∥平面ABCD； （2）EF⊥平面SBD。 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【分析】利用线线平行推线面平行。 【解析】（1）证明：连接AC，在△SAC中，因为E，F分别是侧棱SA，SC的中点， ∴EF∥AC； 又∵； ∴EF∥平面ABCD； （2）证明：连接AC，交BD于O点，连接SO。 ∵四棱锥S－ABCD是正四棱锥， ∴四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD； ∵O点为正方形ABCD的中心， ∴SO⊥平面ABCD， ∵； ∴SO⊥AC； 又∵AC⊥BD，， ∴AC⊥平面SBD； 又∵EF∥AC， ∴EF⊥平面SBD。 12．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四棱锥P－ABCD的体积V． 【答案】V＝sh＝×××＝ 【分析】直接利用四棱锥体积公式求解即可 【解析】设O为正方形ABCD中心，则PO⊥平面ABCD，PA在平面ABCD上射影是AO，∠PAO是PA与平面ABCD所成的角，为60°，∴AO＝1，PO＝，AB＝， V＝sh＝×××＝． 13．已知正方形ABCD的边长为1，分别取BC，CD的中点E，F，连结AE，EF，AF，以AE，EF，AF为折痕折叠，使点B，C，D重合于点P，求： (1)二面角P－EF－A的平面角的正弦值； (2)三棱锥P－AEF的体积． 　　　 　　图(1)　　　　　　　　　　　　图(2)　　　 【答案】（1） （2）． 【分析】直接利用三棱锥体积公式求解即可 【解析】(1)取EF中点O，连接PO，AO． 　∴E，F分别是BC，CD的中点，∴AE＝AF，PE＝PF，∴AO⊥EF，PO⊥EF． 　∴∠POA就是二面角P－EF－A的平面角．∴点B，C，D重合于点P． 　由图(1)知PA⊥PE，PA⊥PF，PE⊥PF，∴PA⊥平面PEF 　∴PO＝CE＝，∵PA＝1 　∴AO＝＝＝ 　∴sinPOA＝＝＝．(2分) 　即二面角P－EF－A的平面角的正弦值为． 　(2)V锥P－AEF＝V锥A－PEF＝S△PEF×PA＝××PE·PF·PA ＝××××1＝．(3分) 14． 如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1中点． (1)求异面直线BD与AB1所成的角； (2)求BA1与平面BB1C1C所成角的正弦值． 【答案】（1）90° （2） 【分析】考查异面直线所成角与线面角的知识点 【解析】(1)在正三棱柱中取BC的中点E，连接AE，则AE⊥平面BB1C1C，连接B1E，则B1E是B1A在平面BB1C1C内的射影，而四边形BB1C1C是边长为3的正方形， 可证得B1E⊥BD，由三垂线定理得：AB1⊥BD，即异面直线AB1与BD所成的角为90°． (2)同理作A1F⊥B1C1，则∠A1BF是所求的线面角的平面角，在正三角形A1B1C1中，可得A1F＝，在Rt△A1BF中，A1B＝3， ∴sin∠A1BF＝＝． 15． 已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA垂直于底面，PA＝AB＝4． (1)求二面角P—BC—A的大小；(2)求四棱锥P—ABCD的体积． 【答案】（1）45° （2） 【分析】考查二面角的知识点以及四棱锥体积公式 【解析】 (1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD内的射影，又∵BC⊥AB，∴PB⊥BC，故∠PBA是二面角PBCA的平面角，在Rt△PAB中，PA＝AB＝4，得∠PBA＝45°，所以二面角PBCA的大小是45°． (2)∵PA⊥平面ABCD，∴h＝4，底面积S＝42＝16．∴四棱锥PABCD的体积V＝Sh＝． 16．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝，AB⊥AC．求： (1)直三棱柱的表面积；(2)异面直线BC1与AC所成角的度数． 【答案】（1）3＋2 （2）60° 【分析】考查表面积以及异面直线所成角 【解析】(1)由题意知：BC＝，S表面积＝(AB＋AC＋BC)×AA1＋2S△ABC ＝×＋1×1＝3＋2； ∵AC∥A1C1，∴异面直线BC1与AC所成的角为∠BC1A1，BB1⊥平面A1B1C1，∴BA1在平面A1B1C1上射影为A1B1，由A1C1⊥B1A1，知A1C1⊥BA1，BC1＝＝2， ∴cos∠BC1A1＝＝，∴∠BC1A1＝60°．即异面直线BC1与AC成60°． 17．正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝，D是CB延长线上一点，且BD＝BC． (1)求二面角B1—AD—B的大小； (2)求三棱锥C1—ABB1的体积． 【答案】（1）60° （2） 【分析】考查二面角与体积公式 【解析】(1)设AD中点为E，则BE∥AC， ∠ABC＝60°＝∠ADB＋∠DAB，又∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠DAB＝30°， 而∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝90°，∴BE⊥AD， 又∵BB1⊥平面ACD，∴B1E在平面ADC上射影为BE，由三垂线定理知BE⊥AD， ∴∠BEB1是二面角B1－AD－B的平面角，tan∠BEB1＝＝＝， ∴∠BEB1＝60°，所求二面角为60°． (2)设B1C1中点为F，则A1F⊥平面BB1C1，A1F＝，∵AA1∥平面BB1C1，A到平面BB1C1，距离也是，所求三棱锥体积：V＝S△BB1C1×A1F＝×BB1×B1C1×A1F ＝××3×＝． 18．如图，已知三棱锥三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA＝PB＝2，PC＝， (1)求二面角P－AB－C的的大小； (2)求三棱锥P－ABC的体积； (3)求点P到平面ABC的距离． 【答案】（1）45° （2）． （3）h＝1 【分析】考查二面角与体积公式以及点到平面距离 【解析】(1)取AB的中点D，连接CD、DP， ∵PA＝PB，∴DP⊥AB ∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB 由三垂线定理知CD⊥AB，所以∠CDP为二面角P­AB­C的平面角，由已知可得AB＝2，故PD＝． ∴tan∠CDP＝＝1，∴∠CDP＝45°，即二面角P­AB­C的大小是45°． (2)VP－ABC＝VC－ABP＝×PC×S△PAB＝PC×PA×PB＝． (3)由(1)可得CD＝2，因此△ABC的面积S＝×PC×CD＝×2×2＝2，令点P到平面ABC的距离为h，由VP－ABC＝VC－ABP可得，＝×2×h　∴h＝1． 19．三棱锥的顶点P在底面内的射影O是底面△ABC的垂心，PA⊥PB． (1)求证：PA⊥平面PBC； (2)若PA＝BC＝a，二面角P—BC—A为60°，求三棱锥P—ABC的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）a3． 【分析】考查二面角与体积公式 【解析】(1)∵O为三角形ABC的垂心， 连接AO，延长交BC于点H，连接PH， 则AO是AP在平面ABC内的射影，由BC⊥AO得BC⊥PA(三垂线定理)， 又PA⊥PB，PB与BC相交， ∴PA⊥平面PBC． (2)OH是PH在平面ABC内的射影，OH⊥BC，∴BC⊥PH(三垂线定理)，∠PHO是二面角P­BC­A的平面角，∴∠PHO＝60°，在直角三角形APH中，PA＝a，∴PH＝，∴体积V＝a·a·＝a3． 20、在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四棱锥P－ABCD的体积V． 【答案】 【分析】考查体积公式 【解析】设O为底面正方形的中心，则由题设知PA＝2，∠PAO＝60°，求得AO＝1，PO＝，∴AB＝BC＝，正四棱锥的体积VPABCD＝×××＝． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 JP.ZXXK.COM g AI职教 zhijiao.xkw.com 2026年湖南省对口招生考试 数学专项冲刺练习 解答题专项（二）立体几何 一、解答题 1.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6,D、E分别是AC,AB上的 点，CD=BE=V2,O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 A'-BCDB,其中A'0=V3 A A 图1 图2 (1)证明：A'O⊥平面BCDE; (2)求二面角A'一CD一B的平面角的余弦值； (3)求直线CB与平面A'BE所成角的正弦值。 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点。 C1 B (1)求证：AC1‖平面CDB1: (2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC=V2,求二面角B1-CD-B的 平面角的余弦值。 试卷第8页，共9页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 3.己知直三棱锥ABC-A1BC的所有棱长都相等，D,E分别为棱AB,A1C的中点，如 图所示。 A (1)求证：DE∥平面BCCB; (2)求DE与平面ABC所成角的正切值。 4.如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上异于A,B重合的点。 D A M (1)求证：平面DMB⊥平面DAM; (2)若△AMB是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D一AMB体积的比值。 试卷第8页，共9页 中职精品 JP.ZXXK.COM 9 AI职教 zhijiao.xkw.com 5.如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，MA⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD, 且AB=NB=1,AD=MA=2。求棱锥M-NAD的体积。 M 6.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD, SA=SD=2,AB=3. (1)求SA与BC所成角的余弦值； (2)求证：AB⊥SD。 S D B 试卷第8页，共9页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 7.己知三棱锥S-ABC,平面SAC⊥平面ABC,且SA⊥AC,AB⊥BC. (1)求证：BC⊥平面SAB; (2)若SB=2,SB与平面ABC所成角的大小是30°，求点S到平面ABC的距离。 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=ACO为 AC的中点，PO⊥平面ABCD,M为PD的中点。 求证：(1)PB∥平面ACM:(2)AD⊥平面PAC. 试卷第8页，共9页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 9.如图所示，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形，AC ⊥BC,且O,M分别为AB,VA的中点。 求证：(1)VB∥平面MOC:(2)平面MOC⊥平面VAB。 10.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD, SA=SD=2,AB=3。 (1)求SA与BC所成角的余弦值；(2)求证：AB⊥SD。 试卷第8页，共9页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 11.如图(1)所示，己知正四棱锥S-ABCD,E,F分别是侧棱SA,SC的中点。 求证：(1)EF∥平面ABCD: (2)EF⊥平面SBD。 (1) (2) 12.在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四 棱锥P-ABCD的体积V. 13.己知正方形ABCD的边长为1，分别取BC,CD的中点E,F,连结AE,EF,AF, 以AE,EFE,AF为折痕折叠，使点B,C,D重合于点P,求： (1)二面角P一EF-A的平面角的正弦值； (2)三棱锥P-AEF的体积. 试卷第8页，共9页 中职精品 JP.ZXXK.COM g AI职教 zhijiao.xkw.com 图(1) 图(2 14.如图，直三棱柱ABC-A1B1C的所有棱长都为3，D为CC中点. (1)求异面直线BD与AB所成的角； (2)求BA1与平面BB1CC所成角的正弦值. 15.己知四棱锥P一ABCD的底面是正方形，PA垂直于底面，PA=AB=4. (1)求二面角P一BC一A的大小；(2)求四棱锥P一ABCD的体积. 16.在直三棱柱ABC-A1BC中，AB=AC=1,AA1=2,AB⊥AC.求： (1)直三棱柱的表面积；(2)异面直线BC与AC所成角的度数. 试卷第8页，共9页 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 17.正三棱柱ABC-A1B1C的底面边长为3，侧棱AA1=3)2,D是CB延长线上一点，且 BD=BC. (1)求二面角B1一AD-B的大小： (2)求三棱锥C一ABB1的体积. 18.如图，己知三棱锥三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=2,PC=2, (1)求二面角P-AB-C的的大小； (2)求三棱锥P-ABC的体积； (3)求点P到平面ABC的距离. 19,三棱锥的顶点P在底面内的射影O是底面△ABC的垂心，PA⊥PB (1)求证：PA⊥平面PBC: (2)若PA=BC=,二面角P-BC一A为60°，求三棱锥P一ABC的体积. 试卷第8页，共9页 中职精品 ⊙A职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 20、在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四 棱锥P-ABCD的体积V. 试卷第8页，共9页