专题11 向量内积的坐标表示 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题11 向量内积的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量内积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③夹角：cos θ＝ 　＝. （2）两向量垂直 已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 二、题型精练 题型1 向量内积的坐标表示 【典例1】．如果 （    ） A． B．3 C． D．7 【典例2】．已知向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．5 【典例3】．已知向量，，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．135° D．150° 【典例4】．已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．已知，求： (1)； (2)； (3)． 题型2 两向量垂直 【典例1】．向量与垂直的条件是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．已知向量，，若，则实数的值为（     ） A． B．2 C． D．1 【典例3】．若向量满足，且，则向量的模是（    ） A． B．2 C． D．8 三、知识检测 1．已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，那么等于（   ） A． B．1 C．8 D．14 4．已知向量，若，则（ ） A． B．2 C．2或 D．2或 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知向量满足，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．11 8．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 9．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 10． 已知向量，，则________． 11． 已知向量， ， 且，则___________． 12． 已知向量，，，则__________． 13． 已知向量，，则________ 14．已知的坐标为，的坐标为，求： (1)； (2)，； (3)． 15．已知向量，，求为何值时： (1)与垂直； (2)与平行． 16．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 17．在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 向量内积的坐标表示 一、知识梳理 （1）向量内积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝ x1x2＋y1y2 . ②模：|a|＝＝ 　. ③夹角：cos θ＝ 　＝. （2）两向量垂直 已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0． 二、题型精练 题型1 向量内积的坐标表示 【典例1】．如果 （    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【典例2】．已知向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：A. 【典例3】．已知向量，，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】因为， 又，所以. 故选：B . 【典例4】．已知向量，若向量的夹角为钝角，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角关系得到且与不共线，即可求解. 【详解】由题意得： 且与不共线， 即，解得：且， 所以实数的范围是， 故选：C. 【典例5】．已知，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解即可. 【详解】（1）解：因为 又因为 所以 （2）解： （3）解： 题型2 两向量垂直 【典例1】．向量与垂直的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量垂直时内积为零，结合向量内积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得. 故选：A. 【典例2】．已知向量，，若，则实数的值为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据向量坐标的线性运算求得，再根据向量垂直的性质求解. 【详解】因为向量，， 所以. 因为， 所以， 解得. 故选：A. 【典例3】．若向量满足，且，则向量的模是（    ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】根据向量的运算法则以及垂直的性质求解即可. 【详解】. 因为，所以. 所以，进而. 故选：C. 三、知识检测 1．已知向量，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 则， 故选：. 2．设平面向量，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，模的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则． 故选：B. 3．已知平面向量，那么等于（   ） A． B．1 C．8 D．14 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算和向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得， 所以． 故选：D. 4．已知向量，若，则（ ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由向量的内积坐标表示即可得解. 【详解】∵向量，且， ∴，即，解得或. 故选：C. 5．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由向量得，， 则，解得. 故选：B. 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求出值，代入模长公式即可得解. 【详解】向量，且， 则，解得， 所以，则， 故选：. 7．已知向量满足，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．11 【答案】B 【分析】利用向量内积的运算律及内积的坐标运算求解. 【详解】由题意，， 故选：B. 8．设向量，则（ ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】根据向量垂直和平行的坐标表示，结合充分必要条件的概念，即可解得. 【分析】对A，当时，则，所以， 可化为，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，可化为， 解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足， 所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 9．设，且与的夹角是锐角，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角为锐角，得到内积的要求即可求解. 【详解】夹角为锐角 故选：A . 10．已知向量，，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标公式计算，再代内积的坐标公式计算即可. 【详解】， 则. 故答案为：. 11．已知向量， ， 且，则___________． 【答案】 【分析】由向量线性运算和垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量， 所以. 又，且， 所以，解得. 故答案为：. 12．已知向量，，，则__________． 【答案】 【分析】根据向量的模长先求未知数，再代入易得向量内积. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 13．已知向量，，则________ 【答案】 【分析】先求解的坐标，再由模长公式计算即可. 【详解】因为向量，， 所以， 则. 故答案为：. 14．已知的坐标为，的坐标为，求： (1)； (2)，； (3)． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用向量的内积的坐标表示求解； （2）利用向量的模的坐标表示求解； （3）利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）∵的坐标为，的坐标为， ∴. （2）∵的坐标为，的坐标为， ∴，， （3）∵，，， ∴. 15．已知向量，，求为何值时： (1)与垂直； (2)与平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，求得，，利用垂直的坐标表示可求解； （2）由（1）知，，根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】（1）由题意得，， ． 因为与垂直， 所以，化简得， 解得； （2）由（1）知，， 因为与平行， ，解得． 16．已知向量. (1)求； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据题意，结合向量坐标的线性运算，及向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以； （2）因为向量，， 所以， 又， 所以，解得. 17．在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)若，求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量垂直建立数量积为零的方程，可得答案； （2）由题目中点的坐标可得向量坐标，利用向量线性运算建立方程组，可得答案. 【详解】（1）由题知，，， 因为，所以， 即，解得. （2），，， 因为， 即， 所以，解得， 则. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $