专题04 向量的概念 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题04 向量的概念 一、知识梳理 向量的有关概念： (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量． 规定：0与任一向量平行. (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、题型精练 题型1 向量的概念 【典例1】．下列量中属于向量的是（    ） A．质量 B．长度 C．力 D．温度 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断. 【详解】质量、长度、温度只有大小没有方向，不是向量； 力既有大小又有方向，是向量，C项正确． 故选：C 【典例2】．如图所示的有向线段可以表示向量（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】已知有向线段由指向， 向量的书写需加上标， 所以有向线段可以表示向量， 故选：D. 【典例3】．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 【典例4】．如图，四边形中，，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形为平行四边形，然后利用相等向量、相反向量的概念可判断. 【详解】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 【典例5】．在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 【典例6】．如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出与向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 【答案】(1)，，，，，，． (2)与 (3)，，． 【分析】（1）根据平行向量的概念分析即可. （2）根据相等向量的概念分析即可. （3）根据相反向量的概念分析即可. 【详解】（1）由三角形的性质可知，三角形的中位线平行于三角形的第三条边， 长度等于第三条边的一半， ∵、分别是、的中点， ∴，且， ∵是的中点， ∴， ∴的平行向量有，，，，，，． （2）由（1）可知，与向量相等的向量有与． （3）∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴的相反向量有，，． 三、知识检测 1．下列命题正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 【答案】D 【分析】根据零向量、单位向量、相反向量、共线向量的概念可知A、B、C错误，D正确. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误； 单位向量的模相等，它们是否相等与方向有关，故B错误； 方向相反且模相等的两个向量互为相反向量，故C错误； 若//，且A点公共，则A，B，C三点共线.故D正确. 故选：D 2．下列各选项中，是向量的是（   ） A．温度 B．质量 C．位移 D．时间 【答案】C 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】对于A，温度只有大小没有方向，故温度不是向量，故A错误； 对于B，质量只有大小没有方向，故质量不是向量，故B错误； 对于C，位移是指物体位置的变化，既有大小，又有方向，故位移是向量，故C正确； 对于D，时间只有大小没有方向，故时间不是向量，故D错误； 故选：C. 3．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的方向、大小以及正六边形的性质求解即可. 【详解】设正六边形的边长为，依次分析各选项： 对于A，由正六边形的性质可得与平行且相等，则有，故A正确； 对于B，由正六边形的性质可得与平行，即，故B正确； 对于C，在正六边形中，与均过中心，则有，即有，故C正确； 对于D，在正六边形中，，则，故D错误． 故选：D. 4．在四边形中，有，且，则这个四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据向量相等和向量模之间的关系即可判断. 【详解】由题，四边形中，， 则，又知， 则四边形为等腰梯形. 故选：A 5．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由向量的概念分析即可. 【详解】和是相反向量，模相等，方向相反，因此①正确， 平行向量是指方向相同或相反的向量，因此②正确， 单位向量是指模等于1的向量，因此，但方向不一定相同，因此③错误， 方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是相反向量，是共线向量，因此④正确. 故选:C. 6．平面向量的两个要素是（     ） A．大小和起点 B．大小和方向 C．方向和起点 D．起点和终点 【答案】B 【分析】利用向量的概念可知. 【详解】由向量的概念可知平面向量的两个要素是大小和方向； 故选：B. 7．如图所示，菱形中，下列各对向量是相等向量的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由相等向量的定义即可得解. 【详解】在菱形中. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向不同，故错误. 选项，与的大小相同，方向相同，，故正确. 故选：. 8．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A． 也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 9．是两个方向相反的单位向量，则结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义即可求解. 【详解】由单位向量定义可知，单位向量的模长均为1，方向为某个确定的方向. 对于选项A，方向不一定相同，所以不一定是相等向量，故错误. 对于选项BC，向量无法比较大小，故错误. 对于选项D，单位向量的模长相等，均为1，故正确. 故选：D． 10．如图，在圆中，向量，，是（ ） A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误， 故选：C. 11．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 【答案】B 【分析】根据向量的概念结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】A选项，与共线，故A选项正确； B选项，与相等，故B选项错误； C选项，与平行，故C选项正确； D选项，与的模相等，故D选项正确. 故选：B. 12．已知，，若，则_____. 【答案】 【分析】利用勾股定理可求 【详解】 ，为直角三角形； 由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 13．若满足，则与互为__________． 【答案】相反向量 【分析】利用相反向量的定义即可得解. 【详解】因为，所以与互为相反向量. 故答案为：相反向量. 14．“两个向量相等”是“两个向量共线”的_____条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据共线向量和相等向量的定义及充要条件的概念可判断. 【详解】若两个向量相等，则两个向量共线，即两个向量相等两个向量共线； 若两个向量共线，则两个向量不一定相等，例如：两个向量共线且模不相等，则两个向量不相等，即两个向量共线两个向量相等. 所以“两个向量相等”是“两个向量共线”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 15．四边形满足，且，则四边形是___________（填四边形的形状）. 【答案】矩形 【分析】根据相等向量的概念和矩形的判定定理即可解答. 【详解】且， 所以四边形是平行四边形， 又知，该平行四边形对角线相等， 故四边形是矩形. 故答案为：矩形. 16．已知表示“向东走2米”，则表示“__________”． 【答案】向西走2米 【分析】根据向量的几何意义即可求解. 【详解】依题意得，表示“向东走米”，则表示“向西走米”. 故答案为：向西走米. 17．图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.       【答案】见解析 【分析】位移即起点位置指向终点位置的有向线段. 【详解】解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.    18．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）（2）根据相等向量与向量模的几何意义，画出向量，即可得解； 【详解】（1）解：根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示： （2） 解：由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆． 19．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 【答案】(1) (2) (3),, 【分析】（1）利用相等向量的定义即可求解. （2）利用相反向量的定义即可求解. （3）利用共线向量的定义即可求解. 【详解】（1）因为点O是正六边形的中心， 所以有：,且与方向相同 所以与相等的向量为: . （2）因为点O是正六边形的中心， 所以有: ,且与方向相反, 所以的相反向量为: . （3）因为点O是正六边形的中心, 所以与方向相同，与方向相反, 所以与共线的向量为: ,,. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 向量的概念 一、知识梳理 向量的有关概念： (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0　. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量． 规定：0与任一向量平行. (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 二、题型精练 题型1 向量的概念 【典例1】．下列量中属于向量的是（    ） A． 质量 B．长度 C．力 D．温度 【典例2】．如图所示的有向线段可以表示向量（   ） A． B． C． D． 【典例3】．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【典例4】．如图，四边形中，，则必有（ ） A． B． C． D． 【典例5】．在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【典例6】．如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．    (1)写出向量的平行向量； (2)写出与向量相等的向量； (3)写出向量的相反向量． 三、知识检测 1．下列命题正确的是（     ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量相等 C．方向相反的两个向量互为相反向量 D．若//，则A，B，C三点共线 2．下列各选项中，是向量的是（   ） A．温度 B．质量 C．位移 D．时间 3．如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断不正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在四边形中，有，且，则这个四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 5．给出下列命题： ①； ②向量与向量的方向相同或相反，则； ③若都是单位向量，则； ④方向为南偏西的向量与方向为北偏东的向量是共线向量； 其中，正确的命题是（    ） A． ①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ B． 6．平面向量的两个要素是（     ） A．大小和起点 B．大小和方向 C．方向和起点 D．起点和终点 7．如图所示，菱形中，下列各对向量是相等向量的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 8．已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A． 也可以用表示 B．方向是由M指向N B． 起点是M D．终点是M 9．是两个方向相反的单位向量，则结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在圆中，向量，，是（ ） A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 11．如图，在平行四边形中，下列说法错误的是（    ）    A．与共线 B．与相等 C．与平行 D．与的模相等 12． 已知，，若，则_____. 13． 若满足，则与互为__________． 14． “两个向量相等”是“两个向量共线”的_____条件. 15． 四边形满足，且，则四边形是___________（填四边形的形状）. 16． 已知表示“向东走2米”，则表示“__________”． 17．图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.       18．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 19．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $